精品解析：甘肃省渭源县第一中学2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试卷

2024-2025学年甘肃省定西市渭源县第一高级中学 期末质量检测卷高一数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个正确选项. 1. 已知复数满足，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 2. 下列向量的概念错误的是（ ） A. 长度为0的向量是零向量，零向量的方向是任意的 B. 零向量和任何向量都是共线向量 C. 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等 D. ，，则 3. 已知向量，满足，，，，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 4. 如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（ ） A. B. C. 2 D. 5. 用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中．若原的周长为，则（ ） A. B. C. D. 6. 某组合体的上、下部分分别是圆台和圆柱.圆台和圆柱的高相等，且圆台的下底面与圆柱的上底面重合，圆台的上底面半径是下底面半径的一半，则圆台与圆柱的体积之比为（ ） A. B. C. D. 7. 设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（ ） A. 0.01 B. 0.1 C. 1 D. 10 8. 已知四面体中，，，则当四面体的体积最大时，其外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 已知复数，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 复数对应的点位于复平面第四象限 C. D. 若复数满足，则的最大值是 10. 若是空间中三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若△ABC为锐角三角形，则 C. 若，，，则满足条件的△ABC有两个 D. 若，则△ABC为等腰三角形 三．填空题（本大题共3个小题，每题5分共15分） 12. 已知平面向量，，满足与的夹角为锐角，，，，且的最小值为，向量的取值范围是________． 13. 如果满足的有且只有一个，那么实数的取值范围是_____． 14. 若事件和相互独立，，，则________. 四、简答题：本大题共5小题，共77分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，已知a，b，c分别是的内角A，B，C所对的边， 记 且 . （1）求角C; （2）若 求的取值范围. 16. 如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧棱底面，且，点是的中点，连接. （1）证明：平面； （2）若，证明：平面； （3）若二面角的正弦值为，求的长. 17. 某初级中学正在开展“文明城市创建人人参与，志愿服务我当先行”的创文活动.为了了解该校志愿者参与服务的情况，现对该校全体志愿者进行随机抽样调查.根据调查数据绘制了不完整统计图（如图），条形统计图中七年级、八年级、九年级、教师分别指七年级、八年级、九年级、教师志愿者中被抽到的志愿者，扇形统计图中的百分数指的是该年级被抽到的志愿者人数与样本容量的百分比. （1）请补全条形统计图. （2）请你求出扇形统计图中教师所对应的扇形的圆心角的度数. （3）若该校共有志愿者人，则该校七年级大约有多少名志愿者？ 18. 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1到5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手． （1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率； （2）表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“”的事件概率． 19. 如图，在正方体中，E是棱的中点． （1）试判断直线与平面ACE的位置关系，并说明理由； （2）若正方体的棱长为1，求点B到平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年甘肃省定西市渭源县第一高级中学 期末质量检测卷高一数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个正确选项. 1. 已知复数满足，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，根据共轭复数的定义、复数运算法则及复数相等的概念，即可求解复数，根据复数的模长公式即可求解. 【详解】设，，由， ∴，解得， ∴，∴. 故选：D. 2. 下列向量的概念错误的是（ ） A. 长度为0的向量是零向量，零向量的方向是任意的 B. 零向量和任何向量都是共线向量 C. 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等 D. ，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据零向量，相等向量，共线向量的定义即可求解. 【详解】对于A, 零向量的长度为0，且方向是任意的，故A正确， 对于B，规定零向量与任意向量共线，故B正确， 对于C，相等向量的模长和方向都相同，故相等向量一定是共线向量，但共线向量是方向相同或者相反的两个向量，模长不一定相等，故共线向量不一定相等，C正确， 对于D，当为零向量时，此时不一定能得到，故D错误， 故选：D 3. 已知向量，满足，，，，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的定义先求出的值，再由得到，将，，代入计算即可求出. 【详解】因为，，， 所以. 因为，所以， 所以. 故选：A 4. 如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，由，利用向量相等求解. 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系： 则， 所以， 因为， 所以， 则，解得， 所以， 故选：B 5. 用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中．若原的周长为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则，由直观图画出原图，得到，，求得，进而得到的长. 【详解】如图所示，根据斜二测画法的规则，可由直观图画出原图， 因为，可得，， 易知且为的中点，所以，且， 又的周长为，所以，即， 则，则. 6. 某组合体的上、下部分分别是圆台和圆柱.圆台和圆柱的高相等，且圆台的下底面与圆柱的上底面重合，圆台的上底面半径是下底面半径的一半，则圆台与圆柱的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆台和圆柱的体积公式直接计算即可得解. 【详解】设圆台的上底面半径为，高为，则圆台和圆柱的底面半径为， 则圆台体积，圆柱体积， 所以圆台与圆柱的体积之比为. 故选：B 7. 设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（ ） A. 0.01 B. 0.1 C. 1 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果. 【详解】因为数据的方差是数据的方差的倍， 所以所求数据方差为 故选：C 【点睛】本题考查方差，考查基本分析求解能力，属基础题. 8. 已知四面体中，，，则当四面体的体积最大时，其外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设到平面的距离为，根据四面体的体积公式确定体积与的关系，从而确定四面体的体积最大的情况，从而可确定其外接球求解类型得结论. 【详解】设到平面的距离为， 则， 又，所以当平面时四面体的体积最大， 在中，由余弦定理得， 则，所以， 当四面体的体积最大时，可以将四面体补成如图所示的长方体， 故此时四面体外接球的半径， 四面体外接球的表面积． 故选：C． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 已知复数，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 复数对应的点位于复平面第四象限 C. D. 若复数满足，则的最大值是 【答案】CD 【解析】 【分析】对于AC，利用复数的四则运算和模长公式计算即可判断；对于B，利用复数除法计算后根据复数的几何意义即可判断；对于D，利用复数的模的几何意义数形结合即可计算判断. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，其对应的点位于复平面第三象限，故B错误； 对于C，因，故，故C正确； 对于D，由可知，复数对应的点的轨迹为以点为圆心，半径为5的圆， 而可理解为点到圆上的点的距离，如图所示. 由图知，当且仅当圆上的点在处(三点共线)时，距离最大，为，故D正确. 故选：CD. 10. 若是空间中三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据空间中线线关系、线面关系和面面关系逐项判断即可. 【详解】是空间中三条不同的直线，是两个不同的平面， 对于A，若，则由线面平行的性质得，故A正确； 对于B，若，则与平行或相交或，故B错误； 对于C，若，则，又，则，故C正确； 对于D，若，则与相交或平行，故D错误. 故选：AC. 11. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若△ABC为锐角三角形，则 C. 若，，，则满足条件的△ABC有两个 D. 若，则△ABC为等腰三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】根据余弦函数的单调性及三角形中大角对大边可判断选项A；先根据△ABC为锐角三角形得出，再根据正弦函数的单调性和诱导公式可判断选项B；先利用正弦定理得出，再根据大边对大角及正弦函数的性质可判断选项C；先根据正弦定理得出，再根据二倍角正弦公式及正弦函数的性质即可判断选项D. 【详解】对于选项A：∵在上单调递减且， ∴， 则，故选项A不正确； 对于选项B：∵△ABC为锐角三角形， ∴，且，， 即. 又∵函数在上单调递增， ∴， ∴，故选项B正确； 对于选项C：因为，，， 所以由正弦定理：可得. 又因为， 则，且， 所以满足条件的角C有两个，故选项C正确； 对于选项D，∵， 则由正弦定理可得， ∴，即， ∴或，即或， ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选项D不正确， 故选：BC． 三．填空题（本大题共3个小题，每题5分共15分） 12. 已知平面向量，，满足与的夹角为锐角，，，，且的最小值为，向量的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可知的最小值为，用含的式子表示，利用二次函数最小值的表示方式，表示其最小值让其等于3构建方程，解得，由与的夹角为锐角，舍掉负值，代入原二次函数对称轴的表达式中，解得；表示，展开（设），将已知模长代入展开式，可化简为，利用三角函数的值域，即可得答案. 【详解】由题， 因为，，所以， 因最小值为，且由二次函数分析可知，当时，取得最小值， 所以，解得， 又因为与的夹角为锐角，所以，故； 因为， 又有， 将模长代入，设， 即原式， 因为，所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出，再由数量积的运算律转化为（）的三角函数. 13. 如果满足的有且只有一个，那么实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理结合到距离，然后根据题意结合图形求解即可. 【详解】因为在中，，， 所以到距离， 因为有且只有一个， 所以由图可知或， 即实数的取值范围是. 故答案为： 14. 若事件和相互独立，，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据相互独立事件概率乘法公式以及容斥原理即可得出答案. 【详解】因为事件与独立，所以事件与事件独立，故， 根据容斥原理可知：. 故答案为： 四、简答题：本大题共5小题，共77分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，已知a，b，c分别是的内角A，B，C所对的边， 记 且 . （1）求角C; （2）若 求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先利用向量共线的坐标表示列出等式，然后根据正弦定理和和差的正弦公式化简从而求得. （2）先根据正弦定理将分别用表示出来，然后列出的表达式并化简，最后根据的范围求出的范围即可. 【小问1详解】 因为， 所以，化简得， 利用正弦定理得， 因为，所以， 所以，因为，所以. 又，所以. 【小问2详解】 根据正弦定理，所以， 同理. 所以. 因为，所以，所以. 所以的取值范围为. 16. 如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧棱底面，且，点是的中点，连接. （1）证明：平面； （2）若，证明：平面； （3）若二面角的正弦值为，求的长. 【答案】（1）证明：如图，取的中点F，连接,因为E为中点，所以且, 又因为，且，所以且, 故四边形为平行四边形，故,平面,平面, 所以平面. （2）证明：如图，找的中点G，连接, 则, 因为,所以，又因为，， 所以四边形为正方形，所以,且, 在三角形中，,在三角形中， 因为,故, 又因为底面，底面,所以, 又因为且平面,所以平面. （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点F，连接，利用线面平行的判定定理即可证明结论. （2）找的中点G，连接，证明，再利用线面垂直的判定定理即可证明. （3）首先做辅助线，找出二面角的平面角，利用正弦函数定理即可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，作交于M,作交于点N，连接, 由，，所以,所以, 又因为底面，且底面,所以, 又,且平面，所以平面, 因为平面,所以，又，且,平面，所以平面, 因为平面，所以,又，平面，所以平面, 所以二面角的平面角为,所以, 设，在三角形中，利用等面积法得， 在三角形中，，利用等面积法得，所以， 整理得：，即， 故或（舍），所以 17. 某初级中学正在开展“文明城市创建人人参与，志愿服务我当先行”的创文活动.为了了解该校志愿者参与服务的情况，现对该校全体志愿者进行随机抽样调查.根据调查数据绘制了不完整统计图（如图），条形统计图中七年级、八年级、九年级、教师分别指七年级、八年级、九年级、教师志愿者中被抽到的志愿者，扇形统计图中的百分数指的是该年级被抽到的志愿者人数与样本容量的百分比. （1）请补全条形统计图. （2）请你求出扇形统计图中教师所对应的扇形的圆心角的度数. （3）若该校共有志愿者人，则该校七年级大约有多少名志愿者？ 【答案】 （1） （2）； （3）名. 【解析】 【分析】（1）本题首先可根据题意求出样本容量、八年级志愿者被抽到的人数以及九年级志愿者被抽到的人数，然后补全条形统计图即可； （2）可根据教师志愿者被抽到的人数所占百分比求出对应的圆心角的度数； （3）可通过总人数以及七年级志愿者所占比例得出结果. 【详解】（1）由题意知样本容量为， 则八年级志愿者被抽到的人数为， 九年级志愿者被抽到的人数为， 补全条形统计图如下： （2）因为教师志愿者被抽到的人数所占百分比为， 所以对应的扇形的圆心角的度数为. （3）（名），该校七年级大约有240名志愿者. 【点睛】本题考查条形统计图以及扇形统计图的实际应用，考查如何补全条形统计图，考查条形统计图以及扇形统计图之间的关系，考查计算能力，是简单题. 18. 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1到5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手． （1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率； （2）表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“”的事件概率． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据古典概型分别求出甲、乙选中号歌手的概率；利用求得结果；（2）根据，分别求解出两人选择号歌手和三人选择号歌手的概率，加和得到结果. 【详解】（1）设表示事件“观众甲选中号歌手”，表示事件“观众乙选中号歌手” 则， 事件与相互独立，与相互独立 则表示事件“甲选中号歌手，且乙没选中号歌手” 即观众甲选中号歌手且观众乙未选中号歌手的概率是 （2）设表示事件“观众丙选中号歌手”，则 依题意，，，相互独立，，，相互独立，且，，，彼此互斥 故“”的事件的概率为 【点睛】本题考查独立事件概率的求解问题，关键是能够利用古典概型分别求解出符合题意情况的概率，属于基础题. 19. 如图，在正方体中，E是棱的中点． （1）试判断直线与平面ACE的位置关系，并说明理由； （2）若正方体的棱长为1，求点B到平面的距离． 【答案】（1）平面，理由： 如图： 连接DB，交AC于点O，连接EO 在中，E，O分别为，DB中点， 所以EO是的中位线， ，平面，平面 平面 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据中位线得出线线平行，再证明线面平行即可； （2）根据等体积计算得出点到平面距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 正方体的棱长为1 ， 是等边三角形， 又到底面ABCD距离为， 设B到平面的距离为h， ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $