精品解析：江西省宜春实验中学2024-2025学年上学期八年级数学阶段性质量检测(二)

宜春实验中学2024～2025学年度上学期阶段性质量检测（二） 八年级数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可． 【详解】分母中含有字母的是，，， ∴分式有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键． 2. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方和积的乘方．根据同底数幂的乘法法则可判断选项A，根据幂的乘方和积的乘方法则可判断选项B，D，根据同底数幂的除法法则可判断选项C． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 若与的乘积中不含x的一次项，则a的值是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】先根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项，得出，再求出a即可． 【详解】解： ， ∵与的乘积中不含x的一次项， ∴， 解得： 故选：D． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，合并同类项后，让这一项的系数为0是解题关键． 4. 如图，太阳光线平行照射在正五边形的物体上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形内角和定理，三角形内角和定理，平行线的性质，根据正多边形内角和定理求出的度数，再根据三角形内角和定理求出的度数，然后由平行线的性质可得答案． 【详解】解：如图： ∵五边形是正五边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5. 下列说法错误的是（ ） A. 若式子有意义，则x的取值范围是或 B. 分式中的x、y都扩大原来的2倍，那么分式的值不变 C. 分式的值不可能等于0 D. 若表示一个整数，则整数x可取值的个数是4个 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用分式的定义以及分式的性质、分式有意义的条件分别分析得出答案． 【详解】A. 若式子有意义，则x的取值范围是且，故原选项不正确，符合题意； B. 分式中的x、y都扩大原来的2倍，，所以分式的值不变，故原选项正确，不符合题意； C. 分式，当且时，此分式的值不等于0，此时x无解，所以分式的值不可能等于0，故原选项正确，不符合题意； D. 若表示一个整数，则整数x可取值是，共有4个，故原选项正确，不符合题意； 故选：A 【点睛】此题主要考查了分式的性质、分式的值为0的条件、分式有意义的条件，正确把握相关性质是解题关键． 6. 如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM=3cm，PN=4cm，MN=4.5cm，则线段QR的长为（ ） A. 4.5 B. 5.5 C. 6.5 D. 7 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据轴对称的性质得到OA垂直平分PQ，OB垂直平分PR，则利用线段垂直平分线的性质得QM=PM=3cm，RN=PN=4cm，然后计算QN，再计算QN+EN即可． 解：∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上， ∴OA垂直平分PQ， ∴QM=PM=3cm， ∴QN=MN﹣QM=4.5cm﹣3cm=1.5cm， ∵点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上， ∴OB垂直平分PR， ∴RN=PN=4cm， ∴QR=QN+RN=1.5cm+4cm=5.5cm． 故选B． 考点：轴对称的性质． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 7. 计算：______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查积的乘方的逆用．逆用积的乘方进行计算即可． 【详解】解： ； 故答案为：2． 8. 若分式的值等于，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式值为零的条件，涉及绝对值方程、分式有意义的条件等知识，根据题意得到，且，求解即可得到答案．熟记分式值为零的条件是解决问题的关键． 【详解】解：分式的值等于， ，且， 解得， 故答案为：． 9. 若，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据逆用幂的乘方与同底数幂的除法运算进行计算即可． 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查了幂的乘方与同底数幂的除法，正确的计算是解题的关键． 10. 如图，已知直线l经过点（0，﹣1）并且垂直于y轴，若点P（﹣3，2）与点Q（a，b）关于直线l对称，则a+b＝_______． 【答案】-7 【解析】 【分析】根据轴对称的性质求出点Q的坐标，再求出a+b的值． 【详解】解：（1）∵点P（-3，2）与点Q（a，b）关于直线l对称， ∴a=-3，b=-4， Q（-2，-4）， ∴a+b=-3-4=-7． 故答案为：-7． 【点睛】本题考查坐标与图形变化-对称，解题的关键是掌握轴对称的性质，属于中考常考题型． 11. 如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为_____． 【答案】100° 【解析】 【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点P 、P ，连P 、P，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长= PP，然后得到等腰△OP1P2中，∠O PP+∠O PP=100°，即可得出∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OPM+∠OPN=100°． 【详解】分别作点P关于OA、OB的对称点P 、P,连接PP，交OA于M，交OB于N，则 O P=OP=OP,∠OPM=∠MPO,∠NPO=∠NPO， 根据轴对称的性质,可得MP=PM,PN=PN，则 △PMN的周长的最小值=PP， ∴∠POP=2∠AOB=80°， ∴等腰△OPP中,∠OPP+∠OPP=100°， ∴∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OPM+∠OPN=100°， 故答案为100° 【点睛】此题考查轴对称-最短路线问题，解题关键在于作辅助线 12. 如图，在中，，点D在边上，、关于所在的直线对称，的角平分线交边于点G，连接．为等腰三角形时，_________． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据题意，先求出 ，再利用轴对称性质得 ，再证明 ，继而得到的度数，为等腰三角形时分三种情况讨论，①当时， ②当时， ③当时，利用的内角和分别求出即可． 【详解】解：在中，， ， 、关于所在的直线对称， ， ， ， 是的角平分线， ， 在与中， ， ， ， ， 如图，令与交点为Q， 因为为等腰三角形，分三种情况讨论： ①当时， ， ， ， 又， 在中， ， ； ②当时， ， 在中， ， ； ③当时， ， ， 在中， ， ； 综上所述： 当或时，为等腰三角形． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；轴对称的性质，三角形全等的判定定理——，三角形外角的性质，三角形的内角和，熟练掌握这些性质和定理是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的除法，分式的加法，平方差公式．熟练掌握分式的除法，分式的加法，平方差公式是解题的关键． （1）将除法变成乘法，再根据分式的乘法计算求解即可； （2）先通分，再利用同分母分式的加减法计算，然后约分求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 14. 把下列各式因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，涉及提公因式因式分解、平方差公式因式分解等知识，熟练掌握因式分解的方法求解是解决问题的关键． （1）先提公因式，再由平方差公式因式分解即可得到答案； （2）先对式子恒等变形，再提公因式即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 15. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查由完全平方公式恒等变形求值，熟记完全平方公式，灵活变形是解决问题的关键． （1）将恒等变形为，再将代入计算即可得到答案； （2）将恒等变形为，再将代入计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解：， ． 16. 下面是小华化简分式的过程： 解： …………① ………………………② ．………………………③ （1）小华的解答过程在第__________步开始出现错误； （2）请你帮助小华写出正确的解答过程，并计算当时分式的值． 【答案】（1）① （2） 原式 ， 当时，原式． 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握其运算法则即可求解． （1）根据分式的混合运算法则即可求解． （2）利用分式的混合运算法则化简分式，再将代入原式即可求解． 【小问1详解】 解：因为， 所以第①步开始出现错误， 故答案为：①； 【小问2详解】 略 17. 如图，为等边三角形，为边上的高，点为边上的中点，请仅用无刻度的直尺按要求作图． （1）在图①中，作的平分线； （2）在图②中，以点为顶点作三角形，使所作三角形面积等于面积的． 【答案】（1） 点（三角形的三条角平分线会交于一点） （2） （或）即为所求 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的中线平分三角形的面积： （1）运用等边三角形的三线合一，故先连接交于一点，然后连接点A与该点并延长交于一点，即为点（三角形的三条角平分线会交于一点），即可作答； （2）根据三角形的中线平分三角形的面积以及结合（1）的作图过程，即可作答； 灵活运用等边三角形的三线合一是解题的关键． 【小问1详解】 解：的平分线如图所示： 过程如下： 因为为等边三角形，为边上的高， 所以为的平分线， 因为点为边上的中点， 故为边的中线，为的平分线， 故先连接交于一点，然后连接点A与该点并延长交于一点，即为点（三角形的三条角平分线会交于一点） 【小问2详解】 解：连接交于一点，即点， 由（1）得，点是的中点，点是的中点， 则是的中线， 所以 因为点是的中点， 所以是的中线 则 因为为等边三角形，点是的中点，点是的中点， 所以是等边三角形， 故, 那么 （或）即为所求 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在四边形中，，点E为上一点，连接相交于点F，． （1）判断的形状，并说明理由． （2）若，求的长． 【答案】（1） 解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）6 【解析】 【分析】（1）证明是等边三角形，可得，再由平行线的性质可得，则结论得证； （2）连接交于点O，由题意可证是的垂直平分线，由是等边三角形，可得，由（1）中是等边三角形，可得，可得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接交于点O， ∵， ∴是的垂直平分线， 即． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，线段垂直平分线的逆定理，等边三角形的性质和判定等知识，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键． 19. 数学活动课上，王老师提出这样一个问题：在中，是边上的中线，若，，你能判断的取值范围吗？如图①，小聪同学考虑到，可以通过构造全等把一些分散的已知条件转化到一个三角形中，因此得到如下解题思路：延长到，使，连接，构造一对全等三角形，然后在中就可以判断的取值范围，从而求出的取值范围． （1）根据小聪的思路，直接写出的取值范围； （2）类比上述解题思路，解决问题：如图②，在中，，，垂足为，是上一点，过点作交的延长线于点，若，，求的长． （3）如图③，王老师在原外部，以为直角顶点作两个等腰直角三角形，分别为与，连接，猜想与的中线的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1） （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）证明得出，由三角形三边关系可得出答案； （2）证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案； （3）延长至，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【小问1详解】 解：∵是边上的中线， ∴ 在和中 ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：，， ． ， ． 在和中， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：结论：， 理由如下：延长到，使，连接， 由（1）可知， ，． 与是等腰直角三角形， ，，， ，． ， ． 在和中， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，等腰直角的性质，角的关键．作辅助线证明三角形全等是解答关键关键． 20. 先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则 原式． 再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：______； （2）因式分解：； （3）求证：若为正整数，则代数式的值一定是某一个整数的平方． 【答案】（1） （2） （3） 证明： ， ∵n为正整数， ∴也为正整数， ∴代数式的值一定是某一个整数的平方． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法． （1）把看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可； （2）令，代入后因式分解后代入即可将原式因式分解； （3）将原式转化为，进一步整理为，根据n为正整数得到也为正整数，从而说明原式是整数的平方． 【小问1详解】 解： ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：令，则原式变为， 故； 【小问3详解】 略 五、解答题（本大题1题，共10分） 21. 等腰中，，，点、点分别是轴、轴上两个动点，直角边交轴于点，斜边交轴于点． （1）如图（1），已知点的横坐标为，直接写出点的坐标； （2）如图（2），当等腰运动到使点恰为中点时，连接，求证：； （3）如图（3），若点在轴上，且，点在轴的正半轴上运动时，分别以、为直角边在第一、二象限作等腰直角和等腰直角，连结交轴于点，问当点在轴的正半轴上运动时，的长度是否变化?若变化请说明理由，若不变化，请求出的长度． 【答案】（1） （2） 证明：如图2，过点C作交y轴于点G， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）的长度不变， 【解析】 【分析】（1）如图1，过点C作轴于点F，构建全等三角形：，结合该全等三角形的对应边相等易得的长度，由点A是y轴上一点可以推知点A的坐标； （2）过点C作交y轴于点G，则，即得，，由，可证得，从而得到结论； （3）如图3，过点C作轴于点E，构建全等三角形：，结合全等三角形的对应边相等推知：，．再结合已知条件和全等三角形的判定定理得到：，故． 【小问1详解】 解：如图1，过点C作轴于点F， ∵轴于点F， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∵点的横坐标为， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的长度不变，理由如下： 如图3，过点C作轴于点E， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形综合题．主要利用了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜春实验中学2024～2025学年度上学期阶段性质量检测（二） 八年级数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若与的乘积中不含x的一次项，则a的值是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 9 4. 如图，太阳光线平行照射在正五边形的物体上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法错误的是（ ） A. 若式子有意义，则x的取值范围是或 B. 分式中的x、y都扩大原来的2倍，那么分式的值不变 C. 分式的值不可能等于0 D. 若表示一个整数，则整数x可取值的个数是4个 6. 如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM=3cm，PN=4cm，MN=4.5cm，则线段QR的长为（ ） A. 4.5 B. 5.5 C. 6.5 D. 7 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 7. 计算：______． 8. 若分式的值等于，则______． 9. 若，则_________ 10. 如图，已知直线l经过点（0，﹣1）并且垂直于y轴，若点P（﹣3，2）与点Q（a，b）关于直线l对称，则a+b＝_______． 11. 如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为_____． 12. 如图，在中，，点D在边上，、关于所在的直线对称，的角平分线交边于点G，连接．为等腰三角形时，_________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 14. 把下列各式因式分解： （1）； （2）． 15. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 16. 下面是小华化简分式的过程： 解： …………① ………………………② ．………………………③ （1）小华的解答过程在第__________步开始出现错误； （2）请你帮助小华写出正确的解答过程，并计算当时分式的值． 17. 如图，为等边三角形，为边上的高，点为边上的中点，请仅用无刻度的直尺按要求作图． （1）在图①中，作的平分线； （2）在图②中，以点为顶点作三角形，使所作三角形面积等于面积的． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在四边形中，，点E为上一点，连接相交于点F，． （1）判断的形状，并说明理由． （2）若，求的长． 19. 数学活动课上，王老师提出这样一个问题：在中，是边上的中线，若，，你能判断的取值范围吗？如图①，小聪同学考虑到，可以通过构造全等把一些分散的已知条件转化到一个三角形中，因此得到如下解题思路：延长到，使，连接，构造一对全等三角形，然后在中就可以判断的取值范围，从而求出的取值范围． （1）根据小聪的思路，直接写出的取值范围； （2）类比上述解题思路，解决问题：如图②，在中，，，垂足为，是上一点，过点作交的延长线于点，若，，求的长． （3）如图③，王老师在原外部，以为直角顶点作两个等腰直角三角形，分别为与，连接，猜想与的中线的数量关系，并证明你的结论． 20. 先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则 原式． 再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：______； （2）因式分解：； （3）求证：若为正整数，则代数式的值一定是某一个整数的平方． 五、解答题（本大题1题，共10分） 21. 等腰中，，，点、点分别是轴、轴上两个动点，直角边交轴于点，斜边交轴于点． （1）如图（1），已知点的横坐标为，直接写出点的坐标； （2）如图（2），当等腰运动到使点恰为中点时，连接，求证：； （3）如图（3），若点在轴上，且，点在轴的正半轴上运动时，分别以、为直角边在第一、二象限作等腰直角和等腰直角，连结交轴于点，问当点在轴的正半轴上运动时，的长度是否变化?若变化请说明理由，若不变化，请求出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $