第4章 专题强化练3 数列的递推公式及通项公式（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（人教A版2019）

专题强化练3　数列的递推公式及通项公式 1.在数列{an}中,a1=14,-3,则(　　) A.是等比数列　　　　B.是等比数列 C.是等比数列　　　　D.是等比数列 2.已知数列{an}满足a1=1,,n∈N*,则下列结论错误的是(　　) A.a4=2 B.数列{nan}是等比数列 C.数列{an}为递增数列 D.数列{an-6}的前n项和Sn的最小值为S6 3.已知数列{an}满足a3-a2=9,an-4an-1+3an-2=0(n≥3),则an-a1=(　　) A.　　　　C.2·3n-6　　　　D. 4.(多选题)已知函数f(x)=,f(1)=1,f(3)=-3,若xn+1=f(xn),x1=,则(　　) A.a=-1,b=2　　　　B.为等差数列 C. 5.已知数列{an}满足a1=1,an+1=pan+q(p,q∈R,n∈N*),设{an}的前n项和为Sn,则下列说法不正确的有(　　) A.若p=-1,q=3,则a10=2 B.若p=-1,q=3,则S10=15 C.若p=2,q=1,则a10=1 024 D.若p=2,q=1,则S10=2 036 6.已知数列{an}满足a1=t,an+1-2an=-n+1,若{an}是递减数列,则实数t的取值范围为(　　) A.(-1,1)　　　　B.(-∞,0) C.(-1,1]　　　　D.(1,+∞) 7.(多选题)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=pan+3n(n∈N*,p∈R),则下列结论正确的是(　　) A.若p=0,则Sn= B.若p=1,则an= C.若p=2,则数列{an-3n}是等比数列 D.若p=3,则数列是等差数列 8.已知数列{an}中,a1=2,+an+1=3an+1(n∈N*),Sn是数列的前n项和,则S2 023=(　　) A.1- C.1- 9.已知数列{an}满足a1=1,a2=6,an+1+an-1=2an+2n-1+2(n∈N*,且n≥2). (1)求证:数列{an+1-an-2n}是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. 答案与分层梯度式解析 1.B　由-3,得, 因为-3=4≠0, 所以是等比数列,且首项为4,公比为2. 故选B. 2.C　由,得=2, 因为1·a1=1, 所以数列{nan}是首项为1,公比为2的等比数列,则nan=2n-1,即an=,B中结论正确; a4==2,A中结论正确; 因为a2==1=a1,所以数列{an}不是递增数列,C中结论错误; 显然an>0,,当n≥2时,an+1>an,故数列{an}从第2项起单调递增,又a6=>6,因此数列{an-6}的前6项均为负数,从第7项起均为正数,所以数列{an-6}的前n项和Sn的最小值为S6,D中结论正确.故选C. 3.A　由已知得an-an-1=3(an-1-an-2)(n≥3), 所以a3-a2=3(a2-a1)=9,即a2-a1=3, 所以{an+1-an}是以3为首项,3为公比的等比数列, 因此an+1-an=3×3n-1=3n, 当n≥2时,a2-a1=3,a3-a2=32,……,an-an-1=3n-1, 累加得an-a1=3+32+…+3n-1=. 故选A. 4.ACD　由A正确; 由A选项可得f(x)=,则xn+1=,所以-1,所以,又-1=2,所以数列是首项为2,公比为2的等比数列,所以-1=2n,即xn=,B错误,D正确; +…++…+<1,C正确.故选ACD. 5.C　对于A,B,若p=-1,q=3,则an+1+an=3,an+2+an+1=3,两式相减可得an+2=an,∴{an}是周期为2的周期数列, 由a1=1,an+1+an=3,得a2=2,则a10=a2=2,S10=5(a1+a2)=5×3=15,故A,B中说法正确; 对于C,D,若p=2,q=1,则an+1=2an+1, 可得an+1+1=2(an+1),∵a1+1=2, ∴数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列, ∴an+1=2n,则an=2n-1,∴a10=210-1=1 023, S10=a1+a2+…+a10=21-1+22-1+…+210-1=21+22+…+210-10=-10=2 036,故C中说法错误,D中说法正确.故选C. 6.B　由an+1-2an=-n+1得an+1-(n+1)=2(an-n), 易知当t=1时,a1=1,a2=2,不满足{an}是递减数列,故t≠1, 因此数列{an-n}是以a1-1=t-1为首项,2为公比的等比数列, 故an-n=(t-1)2n-1,因此an=n+(t-1)2n-1, 由于{an}是递减数列,因此an+1<an恒成立,得n+1+(t-1)2n<n+(t-1)2n-1, 化简得(1-t)2n-1>1,故1-t>,因此1-t>=1,解得t<0.故实数t的取值范围为(-∞,0).故选B. 方法技巧　求形如an+1=pan+qn+r形式的递推数列的通项公式时,可设an+1+(n+1)x+y=p(an+nx+y),移项整理,对比系数可得x,y的值,从而构造等比数列求得an+nx+y的表达式,进而求出an. 7.CD　对于A,当p=0时,an+1=3n,所以an=3n-1=1·3n-1, 即{an}是以1为首项,3为公比的等比数列, 所以Sn=,故A错误; 对于B,当p=1时,an+1=an+3n,则an=an-1+3n-1,……,a2=a1+3(n≥2), 利用累加法可知an=a1+(n≥2),显然a1=1符合上式,故an=(n∈N*),故B错误; 对于C,当p=2时,an+1=2an+3n,则an+1-3n+1=2an+3n-3n+1=2(an-3n), 显然an≠3n,所以{an-3n}是以a1-3=-2为首项,2为公比的等比数列,故C正确; 对于D,当p=3时,an+1=3an+3n,则,即为首项,为公差的等差数列,故D正确.故选CD. 8.B　因为+an+1=3an+1,所以+an-2=3an+1-3,即(an+2)(an-1)=3(an+1-1), 两边同时取倒数得, 整理得,即, 所以S2 023=+…++…+.故选B. 9.解析　(1)证明:当n=1时,a2-a1-21=6-1-2=3, 当n≥2时,由an+1+an-1=2an+2n-1+2, 得an+1-an=an-an-1+2n-1+2, 则(an+1-an-2n)-(an-an-1-2n-1) =(an-an-1+2n-1+2-2n)-(an-an-1-2n-1)=2, ∴数列{an+1-an-2n}是首项为3,公差为2的等差数列. (2)由(1)得an+1-an-2n=3+(n-1)×2=2n+1,即an+1-an=2n+2n+1, ∴当n≥2时,a2-a1=21+3,a3-a2=22+5,……,an-an-1=2n-1+(2n-1), 将以上各式左右两边分别相加, 可得(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=21+22+…+2n-1+[3+5+…+(2n-1)],即an-a1==2n+n2-3, 又a1=1,∴an=2n+n2-2. 解题模板　求数列通项公式的常用方法:①利用an=求数列的通项公式;②若递推公式为an-an-1=f(n)(n≥2),则利用累加法求通项公式;③若递推公式为=f(n)(n≥2),则利用累乘法求通项公式. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$