第4章 专题探究2 数列求和-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

专题探究2数列求和 黑题 专题强化 限时：50min 题组1公式法 题组3裂项相消法 1.*(2025·江苏苏州高二期中)已知递增等 5.*★(2025·山东淄博高二月考)已知数列 差数列{an}中，a6=18且a2是a1,a4的等比 {an}的前n项和为Sn,且满足2Sn=3(a。-1). 中项，则它的第4项到第11项的和为( (1)求数列{an}的通项公式； A.180 B.198 C.189 D.168 (2)已知cn= 1-2n ·an,求数列{cn}的前 2.(2025·河北廊坊高二期中)设等比数列 n(n+1) {an}的公比为q,前n项和为Sn.令bn=Sn-1, n项和T 数列{bn}的前n项和为Tn (1)若2a1a2+a3=0,2S2=T2,9>0,求{an}的 通项公式； (2)若{b}为等比数列，且 2025=1 2,求. 6.*(2025·湖北武汉高二期中)已知递增数 列{an}满足a1=1,点(an,an+1)在函数f(x)= 4x+9的图象上 (1)证明：数列{log2(an+3)}是等差数列； 题组2倒序相加法 an+3 3.”已知函数x=1,则f(g)+r(日) (2)若b,(a+4)(a+4) 求数列{bn}的前 n项和T +f(2)+f(1)+f2)++f(8)+ f(9)= 4.*(2025·广东珠海高二月考) 已知正数数列{an}是公比不等于1 视频讲解C 的等比数列，且a1a225=1,试用推导等差数列 前n项和的方法探求：若f(x)= 1+x2,则 f(a1)+f(a2)+…+f(a22s)= 选择性必修第二册·RJ黑白题30 题组4错位相减法 题组5分组（并项）求和法 7.**(2025·辽宁葫芦岛高二期末)已知Sn是 9.*★(2025·四川眉山高二期中)已知等差数列 等差数列{an}的前n项和，S=a=9,数列 {an},a1=1,公差d=1,则数列{(-1)1an}的 {bn}是公比大于1的等比数列，且b+b2+b3= 前2025项和为 () 14,b1·b2·b3=64 A.-1013B.-505C.505 D.1013 (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； 10.整(2025·四川内江高二月考)记[x]表示 (2)设cn=an·bn,求{cn}的前n项和Tn 不超过x的最大整数，〈x〉=x-[x],如 视频讲解 [2.4]=2,〈2.4〉=0.4，已知数列{an}的通项 公式为a.=3n-2,数列16.}满足6.= 2[an]-3(an〉，则b1+b2+b3+…+b2o=（) A.23 B.22 C.24 D.25 11.(2025·江西赣州高二月考)已知数列 {an}的通项公式为an=2”+n,前n项和 为Sn,则S6= 12.禁(2025·辽宁沈阳二中高二月考)已知 等比数列{an}是递减数列，{an}的前n项和 为Sn,且二、2S2、8a3成等差数列，3a2= 8.**(2025·四川遂宁高二月考)设{an}是等 a1+2a3,数列{bn}满足b1=2bn-2n+1,b1= 差数列，{b}是各项都为正数的等比数列.且 3,nEN*. a1=b1=1,a3+b2=7,2a2-b3=2,neN*. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (1)求{an},{bn}的通项公式； [anbn,n是奇数， (2)若cn=(an+1)√bn,求数列{cn}的前n项 (2)若cn= 求数列{cn}的 和Sn 2"an ,n是偶数， bbn+2 前2n项和T2· 第四章黑白题312.n2解析：令m=1,则an1=a1+an+2n,即a1-an=2n+1,故 an-a-1=2(n-1)+1,an-1-an-2=2(n-2)+1,…,a2-a1=3,累 加得a.-a1=3+5+7++[2(n-1)+1],故an=1+3+5+…+ [2(n-1）+1]=1+2n-1-n2. 2 3.B解析：在an=(n+2)(a1-an)中，取n=1,可得a1= 3(ag,)代人a=2,解得a=号，又由a.=(a+2(a 9。+2于是a2.… a)可得21=n+3」 a2 3. an-1 an-2 ·1=2X a 了*×xtx+2+2」 4.5 文nX+2,故a- 2026+2-1014. 2 4据新4=1安货数别发}是 首项为会豆公比为4的等比数列会安4 4=2,2=,2= 2a4 a2’g8a=28故选D. 2 2.1 5.C解析：设a1+x=了(a,+),即a1=了a,3x,所以 =4，解得x=-12,所以01-12=子（a,-12),所以 1 ®，-12！是首项为a,-12=-1,公比为子的等比数列，所以 &=(号)广”房以=121x(号）门 -1 6.D解析：因为a*1=4an+6n-5(n∈N),所以an+1+2n+1= a+1+2(n+1)-1=4(an+2n-1),所以数列{an+2n-1}是以 a1+2×1-1=4为首项，公比q=4的等比数列，所以an+2n- 1=4·41=4",所以an=4-(2n-1),所以a5=45-29. 7.C解析：因为a1=an+2√a+I+1,所以aa1+1= （√an+I)+2√an+I+1,即a1+1=(√an+1+1)2,等式两 边开方可得√a1+I=√an+I+1,即√a+1+I-√an+I=1, 所以数列{√an+1}是首项为√a,+I=2,公差为1的等差数 列，所以√an+1=2+(n-1)×1=n+1,所以an=n2+2n,所以 a10=102+20=120. 8.2解析：由a1= n 02即2111 =。2:可得1=0+2」 amt1 an 2' 又双=之所以数别（日}是以宁为清项，号为公装的等为 数列，所以上=+( 2 。2+2n-D,即。=所以g,= 9.an=4×3-1-5×21解析：设a1+入·3”=2(an+入·3-1)， 整理得a1=2a,-入·3-1，可得入=-4，即a1-4×3=2(an- 4×3-1),且a1-4×31-1=-5≠0，则数列{an-4·3-1}是首项 为-5，公比为2的等比数列，所以an-4×3-1=-5×2-1,即 an=4×3-1-5×2-1. 10.3”1解析：依题意a1=1,4=4,4a1-30,-02=0,an2 2 a1=3(a1-an）,所以数列{aa1-an}是首项为a2-a1=3, 公比为3的等比数列，所以a+1-a。=3”,所以an=a1+(a2 4)+(a-2)+…+(a,-a)=1+3+3+…+37=仁3 41出满足，所以6=放答案为 3"-1 2 选择性必修第二册·RJ 11.C解析：由a,=25+5→S.-81=28.+5→3+ 2 -(+3)(m≥2，neN),且a=2s+5=2a,+5 4=-5,显然8女名所以{3，+}是以名为首项，1 为公比的等比数列，即s,+了-()(-1)，放3脑 ()-w5-5 12.B解析：因为正项数列{an的前n项和为Sn,且满足a1= 3,a1-an+1=2Sn,当n=1时，则有a-a2=2S1=6,即a a2-6=0,解得a2=-2(舍)或a2=3;当n≥2且n∈N时， 由a1-an1=2S,可得a2-a,=2Sn1,上述两个等式作差得 a21-a子-a+1ta.=2a.,整理得(a+1+a.)(aa1-a.-1)=0, 由题意可知a+1+an>0,所以a+1-a.=1,且a2-a1=0不满 足a+1-an=1,所以，数列{an}从第二项开始为以1为公差 的等差数列，故a10=a2+8=3+8=11. 13.解：由已知得2Sn=(n+1)a.①，所以2Sn1=(n+2)an+1②， ②-①得2a1=(n+2)an1-(n+1)a.,所以21=2，故数列 n+l n {丹}为常数列，则各=二=1，所以a,=n n 1 专题探究2数列求和 黑题 专题强化 1.A解析：设递增等差数列{an}的公差为d,则d>0,a6= 18=a1+5d, 18且a2是a1,a4的等比中项，. 解 l(a1+d)2=a(a1+3d), 得a1=d=3,.第4项到第11项的和为S-S,=11a1+ 0）-(3a32）-8=a+52=60d=10,即 数列{an}的第4项到第11项的和为180. 2.解：(1)因为a2=a19,a3=a19,所以2a1g+a19=a19(2a1+ q)=0,所以2a1+q=0,所以q=-2a1,又2S2=T2,所以2(a1+ a2)=b1+b2=S1-1+(S2-1)=2a1+a2-2,所以a2=a19=-2.又 因为q=-2a1,所以-2a=-2.因为g>0,解得q=2,a1=-1.所 以an=a1g1=-2 (2)因为{bn}为等比数列，bn=Sn-1,所以b经=b1·b3,即 (S2-1)2=(S,-1)·(S,-1),因为等比数列{a,}的公比为 9,前n项和为S.,所以(a1+a2-1)2=(a1-1)·(a1+a2+a3 1),所以(a1+a19-1)2=(a1-1)·(a1+a19ta192-1),化简可 得a,=1-g,则a,=1-g≠0，g≠1，所以3.=a1）=1-y, 1-g 所以b.=S。-1=-9,所以{bn}是首项为-q,公比为q的等比 数.所以把可图， g(1-g25) 1-g 7弓期得g=2 1+11 1,设（兮）(g）+…(合）2）*… 黑白题20 8)9)=m①，则9)8+…2)1)/(2)）片 …(g)+r(兮)=m②.①+②得[（兮）9)] (g)8)]++[r(分)+2)]+)+f)1+ [2)(分)]++[8)(g)]+f(9)+ f()门=2m,2m=17,m=7故答案为7 4.4050解析：正数数列{a,}是公比不等于1的等比数列， a题=1则an1aeN,a<205,由动年 当0时() 4 44x2 1+x21+x2 4,于是a)a)=a,)()4,令m f(a1)+f(a2)+…+f(a2s),则T2ms=fa2ms)+f(a2ma)+…+ f(a1),因此2T2s=[f(a1)+f(a2s)]+[f(a2）+f(a24)]+ +[f(a2s)+fa1)]=4×2025,所以T2s=4050. 5.解：(1)数列{an}中，2Sn=3(an-1),当n≥2时，2S-1= 3(an-1-1),两式相减得2a。=3an-3an-1,即an=3an-1, 由2a1=2S1=3(a1-1),得a1-3,因此数列{an}是以3为 首项，3为公比的等比数列，所以数列{an}的通项公式an= 3.31=3. (2)由(1)知，cn= …a 1-2n …(食)3a n+1n+1 6.(1)证明：因为a1=1,所以当n=1时，log2(a1+3)=log24=2, 又因为点(a.,a+1)在函数f(x)=4x+9的图象上，所以 a1=4a+9,logz a++3)-log2 (a+3)=logz (4a+ 12)-log2(a.+3)=log24(an+3)]-log2(an+3)=log24=2,所 以数列{1og2(an+3)}是首项为2，公差为2的等差数列. (2)解：由(1)可知，log2(an+3)=2n,所以an+3=22=4“ a+3 4 a=4-3,所以6.(a.+4)(a1+4)(4+1)(4+) 专(414)所以元=场+城=兮（南 14+1+…+ 111 1/1111 3（4+14*1+1 ,所以T.=34+14+14+14+1 t111T1 +4+14中3（+4)，即 (54)】 7.解：(1)对等差数列{an},因为S3=a1+a2+a3=3a2=9→a2= 3,由a=a2+3d=3+3d=9→d=2,所以an=a2+(n-2)d=3+ (n-2)×2=2n-1.对公比大于1的等比数列{bn},b1·b2· b,=b6=64=→b2=4,由b+b2+b,=14=4+4+4g=14=2g2- 5q+2=0=→(2g-1)(g-2)=0,又q>1,所以q=2,所以bn= b2·g-2=4×2m-2=2.所以an=2n-1,bn=2". 参考答案 (2)因为cn=(2n-1)×2”,所以T.=1×2+3×22+5×23+…+ (2n-1)×2”,2Tn=1×22+3×23+…+(2n-3)×2+(2n-1)× 21,两式相减得-T.=2+2×(22+2+…+2")-(2n-1)× 21=2+2x21-2)(（2n-10x2=-6+（3-2n)x21.所 1-2 以Tn=6+(2n-3)×2* 8.解：(1)由题意，设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn} 的公比为g(g>0),则6，=1+2+q=7, 化简得 (2a2-b3=2(1+d)-g2=2, 2d+9,6，整理得g2+g-6=0,解得9=-3（含去），或g=2, 02d-g2=0, 则d=9-22 F2=2=2,故a=2n-1,neN‘,bn=2,neN (2)因为6，=(a,+D瓜=2n·2分=n·2宁，则根据错位相 减法得8.=12+2x2+3x2++n2学①，2产9.= 1x22+2x2++(n-1）·2学+n·221②，由①-②得 （-2j小=24224*2a…2.2-2 1-22 n…221=2-221 2n·21,放3=2-21 (1-2)1-2 2-[(1-2)n+1]221 3-2√2 9.D解析：因为d=1,a1=1,所以an=1+n-1=n,此时令bn= (-1)*1an=(-1)tn,而其前2025项和为1-2+3-4+ …-2024+2025=(1-2)+(3-4)+…+2025=1012×(-1)+ 2025=1013,故D正确. 10.D解析：由于bn=2[an]-3(an）=5[am]-3an= 5[g2-46=5([兮]-2nt6=5[行]-a4,面 器[号]=04011+12+2+2+33+34+44+55+5+ 6+66=6,故6.-2(5[台]-m4）-5x632021 2 4×20=25. 11.147解析：S6=(2+22+23+24+2+2)+(1+2+3+4+5+ 6)-2x(1-2)46x(1+6)=2-2+21=2+19=147. 1-2 2 12.解：（1)设等比数列{an}的公比为q,由题意可得 3a2=a1+2a3,(3a9=a1+2a19, 4-+,则4(aag）-+8 则 ,因为数列{an} a a 是递减的等比数列，解得=？=习，所以a=4g (}）广，因为61=26.-2n+1,所以61-2(m+1)-1 2(b。-2n-1),因为b1=3,则b1-2×1-1=0,所以bn-2n-1= 0,故bn=2n+1. 2当为奇数时62令-测人 3 子会多两 225+…+ 黑白题21 22-122*=21 () =-日化衡得4-g )当为俱数时.6点2 1 号()含88兮时司 立)兮点)做八A+ 11 52912n+131 B.=1809.214(4n+5) 专题探究3数列的综合应用 黑题 专题强化 1.D解析：设第n环天心石块数为an,上层共有n环，Sn为 {an}的前n项和，则{an}是首项为9，公差为9的等差数列， a,=9+9(n-1)=9n,S.=之(n2+n),上层，中层、下层的块数 分别为Sn,S2n-Sn,Sn-S2,由下层比中层多729块，得 S-8=8-8+729,即2(92+3n)-2(6r+2) 是(+2a)-2(a+)+7,解得a=9,所以中下两层共 有扇面形石板88=(m+2)949)=2g7(块》。 2.A解析：由题意，蒲第一天长高三尺，以后蒲每天长高前一 天的一半，所以蒲生长长度构成首项为a,=3,公比为g,= 号的等比数列，其前a项和为$一 -()广] 人 2 (?）八又由莞第一天长高一尺，每天长高前一天的两倍， 则莞生长长度构成首项为b,=1,公比为92=2的等比数列， 1-2 即2-1b6-6x(分）广则2+7，令1=2，则245 2n 时间最少为3天. 3.8解析：由题意得A=(a1,a2,a3,a4,a5,…),A*=(a2a1, a3-a2,a4-a3,a5-a4,…）,（A*)*=(a3-2a2+a1,a4-2a3+ 2,a5-2a4+a3,…).:(A*）*的所有项都是3，.a3-2a2+ a1=3,a4-2a3+a2=3,a5-2a4+a3=3,由a5-2a4+a3=3得 18-22+a3=3,解得a3=7,由a4-2a3+a2=3得11-14+a2=3, 解得a2=6,由a3-2a2+a1=3得7-12+a1=3,解得a1=8. 4.D解析：由题意可知分段函数在每一段上为增函数，且 (3-a>0, f8)>f7),即a>1, 解得2<a<3,故实数a的 (a8-6>(3-a)×7-3, 取值范围是(2,3). 5.4"-4+n64 1解折：8，=0+-3·4-101-23441 : 当n≥2，n∈N时，a.=(a,-a1)+(a1-a2)++(a- 选择性必修第二册·RJ a1)+a1=(3·4-1+1)+(3·4-2+1)+…+(3×4+1)+1=3× 4(1-4)n-1+1=4-4+nk(a,+4-m）≥2n-5=(4-4+ 1-4 n+4-m)≥2n-5→k≥，设6,3 26-4号 2n-3 「A02=10”,当n=12时，62>b1,b3>b2,当n≥3，neN 时，bn1<b.<bn1<…<b<b,因此b是数列{bn}的最大项， 要想数列{an}对任意的neN,k(an+4-n)≥2n-5恒成 立，只需≥。4即的最小值为4 6.解：(1)等差数列{a,中，设公差为1，则a=3,→ (a14=3a5 2r2-=a a+d=3, (neN),数列{bn}中的前n项和为Sn,且2Sn=3bn-1①，当 n=1时，b1=1,当n≥2时，2Sn-1=3bn-1-1②，①-②得b.= 3bn-1(n≥2)，故数列{bn}是以1为首项，3为公比的等比数 列，所以bn=3-(neN). (2)数列cn}中，cn=(an+1)·bn=2n·3-1.则Tn=2×3°+ 4×3+…+(2n-2)·3-2+2n·3m-1,所以3Tn=2×3+4×32+ …+(2n-2)·3-1+2n·3,故-2Tn=2+2(3+32+…+ 3)-2n3”=(1-2m）·3-1,所以T,=（2m-1)·3+1因 2 为(-1)·m>Tn-n·3=- 2,对neN恒成立.当n为奇 、13” 3"1 数时，(-1)”·m=-m>2-29m<2-2→m< (信)号子1，当：为萄时.(-0m= 台)分 13”、 -=-4.综上，实数m的取 值范围为(-4,1) 第四章章末检测 1.C解析：令√2n=√42，解得n=21,所以√42是这个数列 的第21项. 2.C解析：对于数列{an},因为a+1 a,+1 -5a+3且a1=1,则 -5+3-1,4=1+1 3、5三1，…，以此 类推可知，对任意的n∈N·,an4=an,因为2025=4×506+ 1,故a20s=a1=1. 3.A解析：由S4=Sg,得a+a6+…+ag=0,则5a,=0,所以a,= 0,又a3+a11=2a,=0,所以k=11.故选A. 4.A解析：设{an}的公比为g,因为a3+S3=2,a6+S6=a393+ S3(1+g3)=q3(a3+S3)+S3=2g3+S3=6+3,所以q3=3,所以 a+=1-1 dotaug 5.B解析：由题意得a1=1,a2=3=1+2,a3=6=1+2+3,a4= 10=1+2+3+4…观察规律可得an=1+2+3+…+n= D,所以am-10x101=5050, 2 2 白题22