第4章 专题强化练5 数列中的奇偶项问题（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（人教A版2019）

专题强化练5　数列中的奇偶项问题 1.(2024陕西咸阳武功普集高级中学月考)已知数列{an},a1=2,a2=0,且an+2=an+2·(-1)n,则数列{an}的前32项之和为(　　) A.128　　　　B.64　　　　C.32　　　　D.16 2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=4,an+an+1=4n+2(n∈N*),则使得Sn<2 023成立的n的最大值为(　　) A.32　　　　B.33　　　　C.44　　　　D.45 3.如图,已知每行的数字之和构成的数列为等比数列,记该数列的前n项和为Sn,且bn=,将数列{bn}中的整数项依次取出组成新的数列{cn},则c20=(　　) A.545　　　　B.51　　　　C.560　　　　D.48 4.设数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=令bn=(log2a2n)2·sin,则数列{bn}的前100项和为(　　) A.-4 950　　　　B.-5 000　　　　C.-5 050　　　　D.-5 250 5.数列{an}中,a1=1,an+1=使an≤2 021对任意的n≤k(k为正整数)恒成立的k的最大值为(　　) A.1 209　　　　B.1 211　　　　C.1 213　　　　D.1 215 6.(多选题)大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和,它是世界数学史上第一道数列题.已知大衍数列{an}满足a1=0,an+1=则(　　) A.a3=4 B.a2 024=1 012×2 024 C.数列{an}的前n项和Sn=n(n-1) D.数列{(-1)nan}的前60项和T60=930 7.已知数列{an}满足an+(-1)nan+1=1+ (-1)n,记数列{an}的前n项和为Sn,则S2 024=　　　　.  8.若数列{an}中不超过f(m)的项数恰为bm(m∈N*),则称数列{bm}是数列{an}的生成数列,称相应的函数f(m)是数列{an}生成{bm}的控制函数.已知an=2n,且f(m)=m,数列{bm}的前m项和为Sm,若Sm=30,则m的值为　　　　.  9.已知数列{an}满足a1=1,an+1=bn=a2n+2n,则=　　　　;数列{an}的前20项和S20=　　　　.  答案与分层梯度式解析 1.C　由an+2=an+2·(-1)n可知, 当n为奇数时,an+2=an-2, 当n为偶数时,an+2=an+2, 因此数列{an}的奇数项构成首项为2,公差为-2的等差数列,偶数项构成首项为0,公差为2的等差数列,则S32=16×2+×2=32. 故选C. 方法技巧　数列中的奇偶项问题考查方向:①等差、等比数列中的奇偶项求和问题;②数列中连续两项的和或积问题;③含有(-1)n的问题;④通项公式分奇偶项有不同表达式的问题;⑤含三角函数的问题.需要对n分奇偶讨论,寻找奇数项,偶数项之间的关系,分组求和,还可能涉及错位相减法求和或裂项相消法求和. 2.C　当n为偶数时,Sn=a1+a2+…+an=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an-1+an)=6+14+…+4n-2==n(n+1), 令Sn=n(n+1)<2 023,且n为偶数, 解得2≤n≤44,故n的最大值为44; 当n为奇数时,Sn=a1+a2+…+an=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(an-1+an)=4+10+18+…+4n-2=4+=n2+n+2, 令Sn=n2+n+2<2 023,且n为奇数, 解得1≤n≤43,故n的最大值为43. 综上所述,n的最大值为44.故选C. 方法技巧　数列中出现(-1)n,sin,an+an+1+…+an+k=f(n)等形式时,常利用并项法求Sn.注意分类讨论的应用,比如奇偶项,同时还需注意起止项的处理. 3.B　由题图知,每行的数字之和构成的等比数列为20,21,22,23,…,易知其公比为2, ∴Sn=, 则数列{bn}的整数项为4,6,9,11,14,16,…, ∴数列{cn}的偶数项是以6为首项,5为公差的等差数列, ∴c2n=6+5(n-1)=5n+1,∴c20=5×10+1=51. 故选B. 4.B　由已知可得数列{a2n-1}是以1为首项,1为公差的等差数列,故a2n-1=n,数列{a2n}是以2为首项,2为公比的等比数列,故a2n=2n, 因此bn=(log22n)2·sin,显然是周期为4的周期数列, 则b4k-3+b4k-2+b4k-1+b4k=(4k-3)2sin+(4k-2)2·sin=(4k-3)2-(4k-1)2=-8(2k-1)(k∈N*), 令cn=b4n-3+b4n-2+b4n-1+b4n,则cn=-8(2n-1),数列{cn}是等差数列, 数列{bn}的前100项和即数列{cn}的前25项和,为=-5 000.故选B. 方法技巧　呈周期性的数列求和问题,先按周期求出片段和,再借助求和公式求解即可. 5.B　由已知得数列{an}中的项为1,6,11,6,11,16,11,16,21,16,21,26,21,26,31,…, 观察发现这些项可按1,6,11,16,21,…;6,11,16,21,26,…;11,16,21,26,31,…的规律将原数列分为三个等差数列: 当n=3m+1,m∈N时,数列为1,6,11,16,21,…,即an=, 当n=3m+2,m∈N时,数列为6,11,16,21,26,…,即an=, 当n=3m+3,m∈N时,数列为11,16,21,26,31,…,即an=, 易得a1 209=2 021,a1 210=2 016,a1 211=2 021,a1 212=2 026>2 021, 所以满足an≤2 021对任意的n≤k(k∈N*)恒成立的k的最大值为1 211.故选B. 6.ABD　令k≥1且k∈N*, 当n=2k时,a2k+1=a2k+2k①; 当n=2k-1时,a2k=a2k-1+2k-1+1=a2k-1+2k②, 由①②得a2k+1-a2k-1=4k, 所以a3-a1=4,a5-a3=8,……,a2k+1-a2k-1=4k, 累加可得a2k+1-a1=a2k+1=4+8+…+4k=4×=2k2+2k,故a2k+1=2k2+2k. 令2k+1=n(n≥3且n为奇数),得an=, 当n=1时,a1=0满足上式, 所以当n为奇数时,an=, 当n为奇数时,an+1=an+n+1=, 所以an=,其中n为偶数, 所以an= 所以a3==4,故A正确. a2 024==1 012×2 024,故B正确. 易知a1+a2+a3+a4=0+=14≠4×(4-1)=12, 故C错误. 因为a2n-a2n-1==2n, 所以{(-1)nan}的前2n项和T2n=-a1+a2-a3+a4-…-a2n-1+a2n=2×1+2×2+…+2×n=2×=n(n+1), 则T60=30×(30+1)=930,故D正确.故选ABD. 7.答案　3 038 解析　由an+(-1)nan+1=1+(-1)n可得, 当n=2k(k∈N*)时,a2k+a2k+1=1+①, 当n=2k-1(k∈N*)时,a2k-1-a2k=1-②, 当n=2k+1(k∈N*)时,a2k+1-a2k+2=1-③, ①+②可得a2k+1+a2k-1=2+, ①-③可得a2k+a2k+2=, ∴S2 024=a1+a2+a3+a4+…+a2 023+a2 024 =(a1+a3)+(a2+a4)+(a5+a7)+(a6+a8)+…+(a2 021+a2 023)+(a2 022+a2 024) =[(a1+a3)+(a5+a7)+…+(a2 021+a2 023)]+[(a2+a4)+(a6+a8)+…+(a2 022+a2 024)] = =1 013+×506=3 038. 8.答案　11 解析　由题意可得,m为偶数时,2n≤m,则bm=, m为奇数时,2n≤m-1,则bm=, ∴bm= m为偶数时,Sm=b1+b2+…+bm=(b1+b3+…+bm-1)+(b2+b4+…+bm)=(1+2+…+m)-, m为奇数时,Sm=b1+b2+…+bm=Sm+1-bm+1=,由Sm=30,得=30或=30,因为m∈N*,所以m=11. 9.答案　2;1 756 解析　由an+1= 可得a2n+2=a(2n+1)+1=a2n+1+(2n+1)-3=a2n+1+2n-2, 又a2n+1=2a2n,所以a2n+2=2a2n+2n-2, 因为bn=a2n+2n,所以bn+1=a2n+2+2(n+1)=2a2n+4n, 所以=2. 由a1=1,可得a2=a1+1-3=-1,所以b1=a2+2=1, 所以数列{bn}是首项为1,公比为2的等比数列,可得bn=2n-1, 所以a2n=2n-1-2n,则a2n-1=a2(n-1)+1=2a2(n-1)=2n-1-4(n-1),n≥2, 因为a1=1适合上式,所以a2n-1=2n-1-4(n-1), 所以数列{an}的前20项和S20=(a1+a3+…+a19)+(a2+a4+…+a20)=(20+21+22+…+29)-(0+4×1+4×2+…+4×9)+(20+21+22+…+29)-(2×1+2×2+2×3+…+2×10)== 1 756. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$