第1章 2.1 等差数列的概念及其通项公式（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（北师大版2019）

§2 等差数列 知识点 1 等差数列的概念 知识 清单破 2.1 等差数列的概念及其通项公式 文字语言 对于一个数列,如果从第2项起,每一项与它的前一项的差都是同一个常数,那么称这样的数列为等差数列,称这个常数为等差数列的公差,通常用字母d表示 数学符号 在数列{an}中,若an+1-an=d(n∈N+)或an-an-1=d(n≥2,n∈N+)成立,则称数列{an}为等差数列,常数d称为等差数列的公差 递推关系 an+1-an=d(n∈N+)或an-an-1=d(n≥2,n∈N+) 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 　　若首项是a1,公差是d,则等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d. 知识点 2 等差数列的通项公式 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 　　如果在a与b之间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A叫作a与b的等差中项.如果A是a 与b的等差中项,那么A-a=b-A,所以A= . 显然,在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后 一项的等差中项. 知识点 3 等差中项 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 　 　　对于an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),可将an记作f(n),它是定义在正整数集(或其子集)上的函数.其 图象是直线y=dx+(a1-d)上的一些等间隔的点,这些点的横坐标是正整数,其中公差d是该直线 的斜率,即自变量每增加1,函数值增加d. 当d>0时,数列{an}为递增数列(如图(1)); 当d<0时,数列{an}为递减数列(如图(2)); 当d=0时,数列{an}为常数列(如图(3)). 知识点 4 等差数列与一次函数的关系 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念   第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 知识点5　 1.通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N+). 2.若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则ak+al=am+an. 3.若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d. 4.若{an},{bn}分别是以d1,d2为公差的等差数列,则{pan+qbn}是以pd1+qd2为公差的等差数列. 5.若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)组成公差为md的等差数列. 知识点 5 等差数列的常用性质 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”. 1.若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列一定是等差数列.  (　    ) 2.若5位同学的年龄(单位:岁)相等,则他们的年龄不构成等差数列. (　    ) 3.甲、乙的月收入(单位:万元)分别为1,2,则甲、乙月收入(单位:万元)的等差中项为1.5. (        ) 4.若数列{an}为等差数列,则其通项公式为关于n的一次函数. (　    ) 5.若数列{an}的通项公式为an=kn+b,则{an}是公差为k的等差数列. (　    ) 知识辨析 ✕ 提示 ✕ 提示 ✕ 提示 差是同一个常数时才是等差数列. 该数列为常数列. 当公差为0时,其通项公式为常数函数,不是一次函数. √ √ 提示 ∵ -an=k(n+1)+b-(kn+b)=k,∴{an}是公差为k的等差数列. 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 判定一个数列是等差数列的常用方法 (1)定义法:an+1-an=d(d为常数,n∈N+)⇔{an}为等差数列. (2)通项公式法:an的通项公式是关于n的一次函数⇔{an}是公差不为0的等差数列. (3)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N+)⇔{an}为等差数列.特别地,对于三个数a,b,c,2b=a+c⇔a,b,c (或c,b,a)成等差数列. 其中定义法和等差中项法是证明一个数列为等差数列的方法和直接依据. 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 等差数列的判定(证明) 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 已知各项均不为0的数列{an}满足an= (n≥2,n∈N+),且a2=-1.求证:数列 为等 差数列. 典例 证明    将an= (n≥2,n∈N+)两边同时取倒数,可得 = +3(n≥2,n∈N+), 所以 - =3(n≥2,n∈N+), 因为a2=-1,所以 - =3,所以 =-4. 所以数列 是首项为-4,公差为3的等差数列. 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 1.求等差数列通项公式的一般思路 (1)方程思想:设出基本量a1与d,利用已知条件构建方程组,求出a1与d,即可写出数列的通项公 式. (2)利用等差数列通项公式的推广:已知等差数列中的两项an与am时,可利用an=am+(n-m)d(n,m ∈N+)求出公差d,进而写出等差数列的通项公式. 2.利用递推关系式构造等差数列求通项公式 将递推关系式进行转化,可构造出等差数列,常见的转化形式如下: (1)转化为“(an+2-an+1)-(an+1-an)=常数”的形式,则数列{an+1-an}是等差数列. (2)转化为“ - =常数”的形式,则数列 是等差数列. 疑难 2 求等差数列的通项公式 讲解分析 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 (3)转化为“ - =常数”的形式,则数列 是等差数列,其中c为实数. (4)转化为“ - =常数”的形式,则数列{ }是等差数列. (5)转化为“ - =常数”的形式,则数列{ }是等差数列. 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 (1)已知在公差为d的等差数列{an}中,a6=12,a18=36,则数列{an}的通项公式为an=　　　     　    ; (2)已知数列{an}满足an+1=3an+3n,且a1=1,求数列{an}的通项公式. 典例 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)解法一:由题意可得 解得  ∴an=2+(n-1)×2=2n. 解法二:∵a18=a6+(18-6)d, ∴d= =2, ∴an=a6+(n-6)d=12+(n-6)×2=2n. (2)将an+1=3an+3n两边同时除以3n+1,得 = + ,即 - = . 由等差数列的定义知,数列 是以 = 为首项, 为公差的等差数列, ∴ = +(n-1)× = , 故an=n·3n-1. 答案    (1)2n 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 　　借助等差数列的性质解决有关项的问题,可以简化计算,但不一定每道题都适用,能应用 性质的此类题都应具有一定的特征,所以解决等差数列的有关问题时,可先考虑应用等差数 列的性质,若不能应用性质,则考虑将其转化成与首项和公差有关的式子进行求解. 讲解分析 疑难 3 等差数列性质的应用 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 在等差数列{an}中,已知a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求此数列的通项公式. 典例 解析    设等差数列{an}的公差为d. 解法一:易知a1+a7=2a4, ∴a1+a4+a7=3a4=15, ∴a4=5. ∵a2a4a6=45,∴a2a6=9, ∴(a4-2d)(a4+2d)=9, 即(5-2d)(5+2d)=9,解得d=±2. 当d=2时,an=a4+(n-4)d=2n-3; 当d=-2时,an=a4+(n-4)d=-2n+13. ∴an=2n-3或an=-2n+13. 解法二:同解法一得a4=5,a2a6=9, 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 又∵a1+a7=a2+a6=2a4=10, ∴ 解得 或  当a2=1,a6=9时,a6=a2+4d=1+4d=9, 解得d=2, ∴an=a4+(n-4)d=2n-3; 当a2=9,a6=1时,a6=a2+4d=9+4d=1, 解得d=-2, ∴an=a4+(n-4)d=-2n+13. ∴an=2n-3或an=-2n+13. 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 解决有关等差数列实际问题的基本步骤 (1)审题:仔细阅读材料,认真理解题意; (2)建模:将已知信息翻译成数学语言,将实际问题转化为数学中有关数列的问题; (3)判型:分析该数列是不是等差数列; (4)求解:求出该有关数列问题的解; (5)还原:将所得结果还原到实际问题中. 讲解分析 疑难 4 等差数列的实际应用 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有一关于等差数列的问题:“今有五人分五 钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何?”可理解为:“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5 钱,甲、乙两人所得钱数之和与丙、丁、戊三人所得钱数之和相等.问五人各得多少钱?” (“钱”是古代的一种质量单位)这个问题中五人所得钱数依次成等差数列,则戊所得为 (        ) A.  钱　    B.  钱　    C.  钱　    D.  钱 典例 信息提取    ①甲、乙、丙、丁、戊所得钱数依次成等差数列;②甲、乙两人所得钱数之和与 丙、丁、戊三人所得钱数之和相等. 数学建模    以五人分五钱为背景建立等差数列模型,这五人所得钱数可视为等差数列的5项, 故可设第3项为a,再以d为公差向两边分别设项进行求解. B 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 解析    依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱数分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d, 由甲、乙两人所得钱数之和与丙、丁、戊三人所得钱数之和相等,得a-2d+a-d=a+a+d+a+2d, 得a=-6d, 又五人分五钱,所以a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5,所以a=1, 则a+2d=a+2× = = . 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 $$