云南省丽江地区中学等学校2024-2025学年高一下学期期末联考数学试题

绝密★启用前 云南省丽江地区中学等学校2024-2025学年 高一下学期期末联考数学试题 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数满足：，则(    ) A. B. C. D. 2.一组数据，，，，，，，，，，，的上四分位数即第百分位数为(    ) A. B. C. D. 3.设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题： 若，，则 若，，，则 若，，则 若，，则 其中正确命题的序号是(    ) A. B. C. D. 4.已知非零向量，满足，则是，均为单位向量的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.已知函数，对任意的恒有，且在区间上有且只有一个使得，则的值可以是(    ) A. B. C. D. 6.在正四棱台中，，，若正四棱台的高为，则其表面积为(    ) A. B. C. D. 7.已知在中，是边上的一个定点，满足，且对于边上任意一点，恒有，则(    ) A. B. C. D. 8.如图，已知正方体的棱长为，，分别为，的中点则下列选项中错误的是(    ) A. 直线平面 B. 在棱上存在一点，使得平面平面 C. 三棱锥在平面上的正投影图的面积为 D. 若为棱的中点，则三棱锥的体积为 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知为虚数单位，复数，下列说法正确的是(    ) A. B. 复数在复平面内对应的点位于第一象限 C. D. 为纯虚数 10.在中，设，，的对边分别为，，，若，，，则(    ) A. B. C. 的面积为 D. 11.平行六面体的棱长都为，，，则下列结论正确的是(    ) A. B. 与平面所成角的正弦值为 C. 在上的投影向量为 D. 直线与之间的距离为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知一组数据，，，，分别是，，，，它们的平均数是，则对于以下数据：，，，，的方差是______． 13.如图，梯形是水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则在平面图形中， ______；图形的面积为______． 14.已知直三棱柱的侧棱长为，底面为等边三角形若存在球与该三棱柱的各条棱都相切，求该直三棱柱的外接球的体积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题3分 如图，在棱长为的正方体中，点，分别为棱，的中点，点为棱上的动点含端点． 求三棱锥的体积； 当平面平面时，求直线与平面所成角的余弦值． 16.本小题15分 某高校体检随机抽取名学生，测得他们的身高单位：，按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示． 求和频率分布直方图中身高在及以下的学生人数； 估计该校名学生身高的下四分位数结果保留整数． 已知落在区间的样本平均数是，方差是，落在区间的样本平均数是，方差是，求两组样本成绩合并后的平均数和方差． 参考公式：若总体划分为层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，记总的样本平均数为，样本方差为，则． 17.本小题分 已知向量，，其中，函数，且． 求函数的解析式； 求在上的值域； 若对，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 18.本小题分 如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，，平面平面，且，． 若平面与平面相交于直线，求证：； 求证：； 求二面角的余弦值． 19.本小题分 已知是锐角三角形，角，，的对边分别为，，，且满足，在所在平面内以为边向外作如图所示，，，． 求； 求的内切圆半径； 求的面积的取值范围． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：由，得． 故选：． 2.【答案】  【解析】解：数据，，，，，，，，，，，， 按从小到大的顺序排列得：，，，，，，，，，，，， 因为，所以第百分位数是第，两个数的平均数，为． 故选：． 3.【答案】  【解析】解：对于，且成立，，可能平行，异面或者相交，错误； 对于，由且，得，又，则，正确； 对于，由，得存在过直线与平面相交的平面，令交线为，则， 而，于是，，正确； 对于，若，，，可能平行，也可能相交，错误． 故选：． 4.【答案】  【解析】解：因为，所以， 则，即， 若，则，即， 则，不能说明均为单位向量． 当，均为单位向量，即，则， 所以， 又因为为非零向量，所以能说明． 综上所述，是均为单位向量的必要不充分条件． 故选：． 5.【答案】  【解析】解：依题意，得，  解得，且 当时，， 又在区间上有且只有一个使得，  故，  解得  联立，解得．  故选：． 6.【答案】  【解析】解：设，则， 如图，连接，交于点，连接，交于点，连接， 由正四棱台的几何性质可知，分别是上、下底面的中心， 所以平面，平面， 所以为正四棱台的高，所以由题可知， 过点作，交于点， 则， 即， 解得， 过点作，交于点， 则为斜高，此时， 所以正四棱台的表面积为． 故选：． 7.【答案】  解：设，则，过点作的垂线，垂足为， 在上任取一点，设，如图所示； 则由数量积的几何意义可得， ， ， 由 恒成立得， 整理得恒成立， 只需即可， 于是， 因此我们得到，即是的中点， 是等腰三角形，即． 故选：． 8.【答案】  【解析】解：对于：如图，连接，交于点，连接、， 显然为的中点，又，分别为，的中点， 所以且且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面，故A正确； 对于：如图，取中点，连接，，， 显然，所以，又，所以， 所以， 由正方体，可得平面，平面， ，， 平面， 平面，平面平面，故B正确； 对于：如图，连接， 则四边形为三棱锥在平面上的正投影， 因为，故C错误； 对于：，故D正确． 故选：． 9.【答案】  【解析】解：，则，A正确； ，在复平面内对应的点为，位于第一象限，B正确； 为纯虚数，不能比较大小，故C错误，D正确． 故选：． 10.【答案】  【解析】解：对于，由正弦定理得： ：：：：，故A正确； 对于，由余弦定理，， 又，所以，故B错误； 对于，由选项B，，所以， 故C正确； 对于，因为与的夹角为， 所以，故D正确． 故选：． 11.【答案】  【解析】解：对于，，所以， 所以，即，选项A正确； 对于，连接，交与点，连接，， 因为，所以，是等边三角形， 所以，，， 又因为，，所以，所以， 所以，所以， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，所以， 因为是平面的一个法向量，且， 设与平面所成的角为，则，，选项B正确； 对于，，，所以在上的投影向量为，选项C错误； 对于，连接，，，所以，， 所以，，所以，，所以点到直线的距离为，， 又因为，所以与之间的距离为，选项D正确． 故选：． 12.【答案】  【解析】解：因为，，，，它们的平均数是， 所以， 解得， 所以，，，，的方差为， 数据，，，，的方差是． 故答案为：． 13.【答案】    【解析】解：根据题意，直观图梯形中，，， 还原原图可得： 则原图中，，，，， 则其面积． 故答案为：；． 14.【答案】  【解析】解：作出示意图如下： 设点，分别为棱柱的下底面和上底面的中心， 由对称性知，的中点即球的球心，取中点为切点， 则等于点到棱的距离， 设球的半径为， 因为直三棱柱的侧棱长为，底面为等边三角形， 所以，与底面垂直， 所以，解得． 又该直三棱柱的外接球球心即点，连接，， 又， 所以， 所以该球的体积为：． 故答案为：． 15.【答案】； ．  【解析】解：因为点，分别为棱，的中点， 所以，， 所以的面积， 所以三棱锥的体积． 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以， 此时与重合， 问题等价于求直线与平面所成角的余弦值， 连接，与相交于点，连接，连接与相交于点，连接， 由正方体的性质知，平面，， 因为平面，所以， 又，C、平面，所以平面， 所以即为直线与平面所成角， 在中，，， 所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为， 即直线与平面所成角的余弦值为． 16.【答案】，人；   ；  ，．  【解析】根据题意可知，，解得， 身高在及以下的学生人数为：人； 的人数占比为：， 的人数占比为：， 所以该校名生学身高的下四分位数即分位数落在， 设该校名生学身高的分位数为，则，解得， 故该校名生学身高的下四分位数约为． 根据题意可知，这名学生的身高在的有人， 身高在的有人，所以， 总方差 17.【答案】；  ；   ．  【解析】依题意， ． 由，得， 即，． 又，所以，， 所以； 已知， 故， 所以的取值范围为； 因为在恒成立， 则在恒成立， 而 ， 所以， 即在恒成立， 记， 因为，所以， 所以， 又； 设， 则在上单调递增， 所以， 所以，即． 故的取值范围为． 18.【答案】证明过程请见解答；  证明过程请见解答； ．  【解析】证明：因为，平面，平面， 所以平面， 又平面，且平面与平面相交于直线， 所以． 证明：在平面内作于， 因为平面平面，平面平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为平面，平面，所以， 又，、平面，所以平面， 又平面，所以． 解：取的中点，连接，则， 因为，且， 所以四边形是矩形， 所以， 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 过作于，连接，则是二面角的平面角， 由，，得，， 所以， 所以， 在中，， 所以二面角的余弦值是． 19.【答案】解：由，利用正弦定理得， 由余弦定理，得，得． 因为，所以； 在中，，得， 又，得， 联立得，因为，所以，． 由余弦定理得，解得． 又，解得 即的内切圆半径为； 由知，所以的外接圆半径为， 所以， ， 所以的面积 ， 因为是锐角三角形，所以得， 所以，所以， 所以， 所以面积的取值范围是．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$