精品解析：2025届甘肃省酒泉中学高考数学模拟试卷

2025年甘肃省酒泉中学高考数学模拟试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数定义域的求法，计算出，再结合集合并集和补集概念，求出结果. 【详解】由题知，解得， 所以全集， 因为，，所以， 所以. 故选：D. 2. 在等差数列中，，则（ ） A. 7 B. 11 C. 14 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】设出公差，利用等差数列通项公式基本量计算出，从而得到. 【详解】设公差为，则， 所以 故. 故选：C 3. 根据某教育研究机构的统计资料，在校学生近视的概率为40%，某眼镜商要到一中学给学生配眼镜，若已知该校学生总人数为1200，则该眼镜商应准备眼镜的数目为（ ） A. 460 B. 480 C. 不少于480 D. 不多于480 【答案】C 【解析】 【分析】 利用概率,即可估计总体,计算出需要总的眼镜数量. 【详解】根据题意,知该校近视的学生人数约为, 结合实际情况,眼镜商应准备眼镜不少于480副. 故选:C 【点睛】本题考查了利用概率估算总体,属于基础题. 4. 已知是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过建立直角坐标系，根据题意求出向量的坐标，利用数量积的坐标运算求的值即可. 【详解】如图，以所在直线为轴，为坐标原点，所在直线为轴，建立直角坐标系， 由题意可得，，，， 则， 设，由得，， 所以 所以，所以， 所以. 故选：A. 5. 如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，三点共线，若直线的斜率为，直线的斜率为，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜率及双曲线的对称性得为等边三角形，再根据同角间关系求解三角函数值，进而用正弦定理求出，由双曲线定义可得，从而得到离心率. 【详解】由题意，直线的斜率为，，又， 所以为等边三角形，故，， 在中，，则为锐角， 则， ， 由正弦定理，， ， , 由，得，. 故答案选：. 6. 下列图象中，函数的部分图象有可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，有，解得，即函数的定义域为， 定义域关于原点对称，因为，即函数为奇函数，排除CD选项， 当时，，则，此时，排除B选项. 故选：A. 7. 如果一个为十进制数的数位上的数字满足“小大小大…小大”的顺序，即满足：，我们称这种数为“波浪数”，从1，2，3，4，5组成的数字不重复的五位数中任取一个五位数，这个数为“波浪数”的概率是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 【分析】 由题意得，由数字组成无重复数字的个数，共计种， 又根据题意，可得在“波浪数”中，十位数字，千位数字中必有一个是，另一个数是或；另一个数是时，将与放在千位、十位上，有种情况，剩余放在其余三个数位上，有种，则此时的“波浪数”有个； 另一数时，必须相邻，有四个“波浪数”， 则由可构成数字不虫谷的五位数“波浪数”个数为个， 所以这个“波浪数”的概率为，故选B. 8. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正切型函数的周期公式即可求解. 【详解】函数的最小正周期， 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 如图，已知直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为1，2.点是直线上一个动点，过点作，交直线于点，，则（ ） A. B. 面积的最小值是 C. D. 存在最小值 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量减法运算可判断A；先设角表示向量的模，再利用向量数量积以及基本不等式判断C；先根据重心性质转化研究面积，再设角表示向量的模，结合二倍角正弦公式判断B；建立平面直角坐标系，利用坐标表示数量积，再根据函数单调性判断D. 【详解】, 所以，选项A正确； 过点作，交直线于点，交直线于点， 因为点到、的距离分别为1、2，所以, 设，则因为，所以， 从而， ， ， （当且仅当时取等号），因此选项C正确； 因为，所以为重心，因此， ， 当且仅当时取等号，即，因此选项B错误； 以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系， 则可设，所以， ， ， 因为，所以 因为在上单调递减，所以不存在最小值，因此选项D错误； 故选：AC 10. 近些年食品安全问题日益突出，为了达到宣传食品安全防范意识的目的，某市组织全市中学生食品安全知识竞赛活动．某高中采用分层抽样的方式从该校的高一､二､三年级中抽取10名同学作为代表队参赛，已知该校高一､二､三年级的人数比例为，统计并记录抽取到的10名同学的成绩（满分100分）为：，则（ ） A. 中位数为90 B. 分位数为92 C. 方差为58 D. 代表队中高三的同学有4人 【答案】AC 【解析】 【分析】根据中位数、百分位数、方差的定义分析数据判断ABC；利用分层抽样的抽样比求解判断D. 【详解】将10名同学的成绩从小到大排列为：70，85，86，88，90，90，92，94，95，100， 对于A，中位数为，A正确； 对于B，由，得分位数为，B错误； 对于C，平均数为， 方差 ，C正确； 对于D，由分层抽样，得高三年级的同学有人，D错误. 故选：AC 11. 已知函数，则（ ） A. 函数的图象关于原点对称 B. 当时，函数在定义域上单调递增 C. 当时，函数的最小值为 D. 若对，都有，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据奇函数的定的定义可判断A，根据在，和上单调递增，即可判断B，根据，则，即可判断C，利用分离参数法即可判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为，关于原点对称，且，故为奇函数，图象关于原点对称，A正确， 对于B，时，由于定义域为，由于均为在，和上递增函数，故在，和上单调递增，故B错误， 对于C，时，若，则，故C错误， 对于D，对，都有，故，由于对，，故，D正确， 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为__________.（请用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】的展开式通项为， 令可得，故展开式中的系数为. 故答案为：. 13. 函数的最小值是______ 【答案】 【解析】 【分析】先化简，利用换元法，结合二次函数最值求解即可. 【详解】由于 则可知 , 结合二次函数的性质可知，当时，函数值最小为． 故答案为： 14. 已知复数，为虚数单位，是的共轭复数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由复数的乘法和除法运算结合共轭复数计算可得. 【详解】， 所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和为，且，. （1）求实数的值和数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定的递推公式，取求得，再利用，结合等比数列求出通项. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 当时，，又，则，所以； 当时，，整理得， 因此数列是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，， 则， 于是， 两式相减得 ， 所以. 16. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，且，，等边三角形PCD所在的平面垂直于底面，． （1）求证：面． （2）若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明： 如图所示： 取中点H，连接， 是等边三角形，， 面面，且交线为，面，， 面，面， ， 又平面， 面. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点H，连接，根据是等边三角形和面 面，得到面，进而有，再由，利用线面垂直的判定定理证明； （2）连接，，过点H作，易得直线与面所成的角为，为二面角的平面角求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，，过点H作 面，所以直线在底面上的射影为直线， 直线与面所成的角为， 设，则，， ， ，，， 面，而平面， ，且平面， 面，面，， 为二面角的平面角， 在中，， 解得， 在中，， ， 所以二面角的余弦值为. 17. 为让“双减”工作落实到位，某中学积极响应上级号召，全面推进中小学生课后延时服务，推行课后服务“”模式，开展了内容丰富､形式多样､有利于学生身心成长的活动.该中学初一共有700名学生其中男生400名､女生300名.为让课后服务更受欢迎，该校准备推行体育类与艺术类两大类活动于2021年9月在初一学生中进行了问卷调查. （1）调查结果显示：有的男学生和的女学生愿意参加体育类活动，其他男学生与女学生都不愿意参加体育类活动，请完成下边列联表.并判断是否有的把握认为愿意参加体育类活动与学生的性别相关？ 愿意参加体育活动情况 性别 愿意参加体育类活动 不愿意参加体育类活动 合计 男学生 女学生 合计 （2）在开展了两个月活动课后，为了了解学生的活动课情况，在初一年级学生中按男女比例分层抽取7名学生调查情况，并从这7名学生中随机选择3名学生进行展示，用X表示选出进行展示的3名学生中女学生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望. 0.100 0.050 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 参考公式：，其中. 【答案】（1）因为初一共有700名学生其中男生400名､女生300名，且有的男学生和的女学生， 所以愿意参加体育类活动的男生有300名，女生有200名， 则列联表如下： 愿意参加体育活动情况 性别 愿意参加体育类活动 不愿意参加体育类活动 合计 男学生 300 100 400 女学生 200 100 300 合计 500 200 700 ， 所以有的把握认为愿意参加体育类活动与学生的性别相关； （2）这7名学生中男生有4名，女生有3名，随机选择3名学生进行展示， 抽到女学生的人数X可能为0,1,2,3， 所以， , 所以随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 3 p . 【解析】 【分析】（1）根据初一男生数和女生数，结合有的男学生和的女学生，愿意参加体育类活动求解；计算的值，再与临界值表对照下结论； （2）根据这7名学生中男生有4名，女生有3名，随机选择3名由抽到女学生的人数X可能为0,1,2,3，分别求得其概率，列出分布列，再求期望. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知椭圆的焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为. （1）求椭圆和双曲线的方程； （2）直线与椭圆有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于不同的两点，，当点M运动时，求点的轨迹C的方程； （3）已知点，又有不同的两点，，直线，分别与曲线C交于点P，Q，过T作直线PQ的垂线，垂足H.探究的最小值，若存在则求出该最小值；若不存在则说明理由. 【答案】（1）椭圆：，双曲线： （2） （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据椭圆、双曲线几何性质求出的值，即可得方程； （2）联立直线与椭圆方程，根据得，求出，坐标代入上式即可； （3）设直线PQ方程：，，，联立方程组化简可得，进一步得直线恒过定点，由于，故点H在以TS为直径的圆上，圆心，半径，从而可得解. 【小问1详解】 对于椭圆，已知焦点坐标为， 则，. 对于双曲线，渐近线方程为，所以，即. 联立，将代入得，解得，， 所以椭圆的方程为，双曲线的方程为. 【小问2详解】 联立，消去y得. 因为直线l与椭圆有唯一公共点M，所以， 化简得. 设，由韦达定理，则. 当时，无不同的两点A，B，与题意不符； 当时，过点M且与l垂直的直线方程为. 可得，，即， 代入得：， 故点N的轨迹方程； 【小问3详解】 设直线PQ方程：，，， 联立， 其中由韦达定理得： ，， 由， 即， 由于直线PQ不过点T，故化简得， 故 ， 此时直线，恒过定点， 由于，故点H在以TS为直径的圆上，圆心，半径， 所以等号成立时，， 经过点，而点不在曲线C上，故的最小值不存在. 19. 已知函数． （1）若，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若时，，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，在，上单调递增，单调递减； 当时，在，上单调递增，单调递减； 当时，在单调递增． （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程； （2）首先求函数的导数，并化简为，讨论与的大小关系，从而求解函数的单调性； （3）首先不等式转化为对于任意的恒成立，再构造函数，并求函数的导数，结合函数的端点值，分和 两种情况，讨论的取值. 【小问1详解】 当时，， 则，故， 又，所以处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 当时，，在，上单调递增， 时,，在单调递减； 当时，，在，上单调递增， 时,，在单调递减； 当时，时恒成立，在单调递增． 综上所述，当时，在，上单调递增，单调递减； 当时，在，上单调递增，单调递减； 当时，在单调递增． 【小问3详解】 由题意得对于任意的恒成立，且当时，等号成立． 令则，， ①若，则． 令，则，显然在上恒成立， 在上单调递增，即在上单调递增． 当，即时，． 又，易证， ， ，使， 时，，即在上单调递减， 对，，不符合题意； 当，即时，， 在上单调递增， ，，，符合题意，所以； ②当时，只需证明当时，即可． 令，则， 易得，即在上单调递增，故时，， ，，即在上单调递增， 所以，即当时，在上恒成立， 综上所述，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年甘肃省酒泉中学高考数学模拟试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，，则（ ） A. 7 B. 11 C. 14 D. 16 3. 根据某教育研究机构的统计资料，在校学生近视的概率为40%，某眼镜商要到一中学给学生配眼镜，若已知该校学生总人数为1200，则该眼镜商应准备眼镜的数目为（ ） A. 460 B. 480 C. 不少于480 D. 不多于480 4. 已知是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，三点共线，若直线的斜率为，直线的斜率为，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 3 6. 下列图象中，函数的部分图象有可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如果一个为十进制数的数位上的数字满足“小大小大…小大”的顺序，即满足：，我们称这种数为“波浪数”，从1，2，3，4，5组成的数字不重复的五位数中任取一个五位数，这个数为“波浪数”的概率是 A. B. C. D. 8. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 如图，已知直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为1，2.点是直线上一个动点，过点作，交直线于点，，则（ ） A. B. 面积的最小值是 C. D. 存在最小值 10. 近些年食品安全问题日益突出，为了达到宣传食品安全防范意识的目的，某市组织全市中学生食品安全知识竞赛活动．某高中采用分层抽样的方式从该校的高一､二､三年级中抽取10名同学作为代表队参赛，已知该校高一､二､三年级的人数比例为，统计并记录抽取到的10名同学的成绩（满分100分）为：，则（ ） A. 中位数为90 B. 分位数为92 C. 方差为58 D. 代表队中高三的同学有4人 11. 已知函数，则（ ） A. 函数的图象关于原点对称 B. 当时，函数在定义域上单调递增 C. 当时，函数的最小值为 D. 若对，都有，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为__________.（请用数字作答） 13. 函数的最小值是______ 14. 已知复数，为虚数单位，是的共轭复数，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和为，且，. （1）求实数的值和数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 16. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，且，，等边三角形PCD所在的平面垂直于底面，． （1）求证：面． （2）若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值． 17. 为让“双减”工作落实到位，某中学积极响应上级号召，全面推进中小学生课后延时服务，推行课后服务“”模式，开展了内容丰富､形式多样､有利于学生身心成长的活动.该中学初一共有700名学生其中男生400名､女生300名.为让课后服务更受欢迎，该校准备推行体育类与艺术类两大类活动于2021年9月在初一学生中进行了问卷调查. （1）调查结果显示：有的男学生和的女学生愿意参加体育类活动，其他男学生与女学生都不愿意参加体育类活动，请完成下边列联表.并判断是否有的把握认为愿意参加体育类活动与学生的性别相关？ 愿意参加体育活动情况 性别 愿意参加体育类活动 不愿意参加体育类活动 合计 男学生 女学生 合计 （2）在开展了两个月活动课后，为了了解学生的活动课情况，在初一年级学生中按男女比例分层抽取7名学生调查情况，并从这7名学生中随机选择3名学生进行展示，用X表示选出进行展示的3名学生中女学生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望. 0.100 0.050 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 参考公式：，其中. 18. 已知椭圆的焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为. （1）求椭圆和双曲线的方程； （2）直线与椭圆有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于不同的两点，，当点M运动时，求点的轨迹C的方程； （3）已知点，又有不同的两点，，直线，分别与曲线C交于点P，Q，过T作直线PQ的垂线，垂足H.探究的最小值，若存在则求出该最小值；若不存在则说明理由. 19. 已知函数． （1）若，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若时，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $