第3章 专题强化练1 利用基本不等式求最值(范围)（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（苏教版2019）

专题强化练1　利用基本不等式求最值(范围) 　45分钟 1.若命题“对任意x∈(0,+∞),2x+-m>0恒成立”为假命题,则m的取值范围为(　　) A.{m|m>2}　　　　B.{m|m≥2} C.{m|m≤2}　　　　D.{m|m<2} 2.已知a>0,b>0,且a+2b=ab,则a+b的最小值是(　　) A.4　　　　B.3+2　　　　C.16　　　　D.32 3.已知x+y=1,x>0,y>0,则+的最小值为(　　) A.　　　　B.　　　　C.1　　　　D. 4.(多选题)已知a,b为正数,且2a+b=4,则下列说法正确的是(　　) A.+有最大值2 B.a2+b2有最小值 C.+有最小值 D.ab有最小值2 5.已知正实数a,b满足a+b=,则+的最小值是(　　) A.2　　　　B.　　　　C.　　　　D. 6.已知a>0,b>0,且ab=1,不等式++≥4恒成立,则正实数m的取值范围是　　　　.  7.已知正实数x,y满足(x+3y-1)(2x+y-1)=1,则x+y的最小值为　　　　.  8.海伦公式亦叫海伦-秦九韶公式,相传最早是由古希腊数学家阿基米德得出的,而这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中,所以被称为海伦公式,它是利用三角形三条边的长直接求三角形面积的公式,其面积S=,其中a,b,c分别是三角形的三边长,p=.已知把一根长为10 cm的木棒截成三段构成一个三角形,若其中有一段的长度为3 cm,则该三角形的最大面积为　　　　cm2.  9.如图,P是矩形ABCD的对角线BD上一点,且点P不与点B,D重合,过P作PM⊥AB,PN⊥AD,分别交AB,AD于M,N两点. (1)当AB=3,AD=2时,设PM=x(x>0),PN=y(y>0),找出x、y的关系式,求四边形AMPN面积的最大值,并指出此时P点的位置; (2)当矩形ABCD的面积为6时,四边形AMPN的面积是否有最大值?若有,求出最大值;若没有,请说明理由. 答案与分层梯度式解析 专题强化练1　利用基本不等式求最值(范围) 1.B　由题意得,命题“存在x∈(0,+∞),2x+-m≤0恒成立”为真命题解题技巧, 即2x+≤m,x∈(0,+∞). 又因为2x+≥2=2,当且仅当2x=,即x=时取等号,所以m≥2.故选B. 2.B　由a+2b=ab,得+=1,又因为a>0,b>0, 所以a+b=(a+b)=3++≥3+2=3+2,当且仅当=,即b=1+,a=2+时取等号.故选B. 3.B　因为x+y=1,x>0,y>0, 所以+=+=+=+=++≥+2=, 当且仅当=,即x=,y=时取等号. 故选B. 4.AB　由a>0,b>0,且2a+b=4,可知0<a<2,0<b<4. 对于A,因为≤+=2a+b=4,当且仅当2a=b,即a=1,b=2时,等号成立, 所以+≤2,当且仅当2a=b=2时,等号成立,即+有最大值,为2,故A正确; 对于B,因为2a+b=4,所以b=4-2a,所以a2+b2=a2+(4-2a)2=5a2-16a+16=5+, 根据二次函数的性质,得当a=时,a2+b2取得最小值,为,故B正确; 对于C,+=×(2a+b)=+×≥+=,当且仅当=,即a=4-2,b=4-4时取等号, 所以+有最小值,为,故C错误; 对于D,2ab≤=4,当且仅当2a=b,即a=1,b=2时,等号成立, 所以ab≤2,所以ab有最大值,为2,故D错误. 故选AB. 5.B　因为正实数a,b满足a+b=,所以4a2+4b2=25-8ab,所以+=+=+·[(2a+2)+(2b+1)]=2a2+++2b2=-4ab++≥×-4ab+2=×=,当且仅当=时,等号成立,故+的最小值为.故选B. 6.答案　[8,+∞) 解析　因为a>0,b>0,且ab=1,所以++=+=+,又++≥4,所以m≥4(a+b)-,设x=a+b,则x≥2=2,则m≥4x-x2=-(x-4)2+8,所以m≥=8. 7.答案　 解析　因为x>0,y>0,所以x+3y-1>-1,2x+y-1>-1, 因为(x+3y-1)(2x+y-1)=1, 所以x+3y-1>0,2x+y-1>0, (积(x+3y-1)(2x+y-1)为定值,求和x+y的最小值,关键是将x+y用x+3y-1和2x+y-1表示,然后利用基本不等式求解) x+y=(x+3y-1)+(2x+y-1)+ ≥2+=,当且仅当(x+3y-1)=(2x+y-1),即即时取等号,所以x+y的最小值为. 8.答案　 解析　依题意得p==5,不妨令a=3 cm, 则b+c=7 cm,其中0<b<5,0<c<5, 则S=≤×= cm2,当且仅当5-b=5-c,即b=c=时取等号, 所以该三角形的最大面积为 cm2. 9.解析　(1)在矩形ABCD中,PM⊥AB,PN⊥AD, 所以PM∥AD,PN∥AB,因为AB=3,AD=2, 所以=,= ,所以+=1, 因为x>0,y>0,所以+≥2=2, 当且仅当=,即x=1,y=时取等号, 又+=1,所以2≤1,所以xy≤, 此时P是BD的中点, 故当P是BD的中点时,四边形AMPN的面积取得最大值,为. (2)由题知,AB·AD=6,由(1)可知+=1, 因为x>0,y>0,所以+≥2=2,当且仅当=,即x=AD,y=AB时取等号, 又+=1,所以2≤1,所以xy≤, 此时P是BD的中点, 故当P是BD的中点时,四边形AMPN的面积取得最大值,为. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$