第2章 综合拔高练（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（苏教版2019）

综合拔高练 高考真题练 考点　充分条件与必要条件 1.(2023天津,2)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 2.(2022天津,2)“x为整数”是“2x+1为整数”的(　　) A.充分不必要条件　　　　 B.必要不充分条件 C.充要条件　　　　 D.既不充分也不必要条件 3.(2021天津理,2)设a∈R,则“a>6”是“a2>36”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(2019天津文,3)设x∈R,则“0<x<5”是“|x-1|<1”的(　　) A.充分而不必要条件　　　　 B.必要而不充分条件 C.充要条件　　　　 D.既不充分也不必要条件 5.(2023北京,8)若xy≠0,则“x+y=0”是“+=-2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 高考模拟练 应用实践 1.若命题“∀x∈R,x2+2mx+m+2≥0”为假命题,则实数m的取值范围是(　　) A.(-∞,-1)∪[2,+∞) B.(-∞,-1)∪(2,+∞) C.[-1,2] D.(1,2) 2.已知命题p:a∈D,命题q:∃x0∈R,-ax0-a≤-3,若p是q的必要不充分条件,则区间D可以为(　　) A.(-∞,-6]∪[2,+∞) B.(-∞,-4]∪[1,+∞) C.(-∞,-6)∪(2,+∞) D.[-6,2] 3.已知命题p:“∃x∈R,4x2+(a-2)x+=0”是假命题,则命题p的必要不充分条件是(　　) A.{a|a<0} B.{a|0≤a≤4} C.{a|a≥4} D.{a|0<a<4} 4.定义:A-B={x|x∈A,x∉B},设A,B,C是某集合的三个子集,且满足[(A-B)∪(B-A)]⊆C,则A⊆[(C-B)∪(B-C)]是A∩B∩C=⌀的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 5.(多选题)下列说法中不正确的是(　　) A.若a,b,c∈R,则“ax2+bx+c≥0”的充要条件是“b2-4ac≤0” B.若a,b,c∈R,则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c” C.“a<1”是“方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 D.“a>1”是“<1”的充分不必要条件 6.已知命题p:“方程ax2+2x+1=0至少有一个负实数根”,若p为真命题的一个必要不充分条件是a≤m+1,则实数m的取值范围是　　　　.  7.已知集合A={x∈Z|点(x-1,x-a)不在第一、三象限内},集合B={x|1≤x<3},若“x∈B”是“x∈A”的必要条件,则实数a的取值范围是　　　　.  8.已知命题p:实数x满足命题q:实数x满足m≤x≤3m(其中m>0). (1)若m=1,且p和q至少有一个为真命题,求实数x的取值范围; (2)若¬p是¬q的充分不必要条件,求实数m的取值范围. 9.已知命题p:方程x2+tx+t=0没有实数根. (1)若¬p是假命题,求实数t的取值集合A; (2)在(1)的条件下,已知非空集合B={t|2a-1<t<a+1},从①充分不必要,②必要不充分这两个条件中任选一个补充到下面问题中的横线上,并解答. 问题:是否存在实数a,使得t∈A是t∈B的　　　　条件?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.  迁移创新 10.设集合A由全体二元有序实数组组成,在A上定义一个运算,记为☉,对于A中的任意两个元素α=(a,b),β=(c,d),规定:α☉β=(ad+bc,bd-ac). (1)计算:(2,3)☉(-1,4); (2)∀α,β∈A,是否都有α☉β=β☉α成立?若是,给出证明;若不是,请说明理由; (3)若“A中的元素I=(x,y)”是“∀α∈A,都有α☉I=I☉α=α成立”的充要条件,试求出元素I. 答案与分层梯度式解析 综合拔高练 高考真题练 1.B　因为a2=b2⇔a=b或a=-b,a2+b2=2ab⇔(a-b)2=0⇔a=b, 所以a2+b2=2ab⇒a2=b2,但是a2=b2⇒/ a2+b2=2ab, 所以“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件,故选B. 2.A　当x为整数时,2x+1为整数,故充分性成立;当x=时,2x+1为整数,但x不是整数,故必要性不成立.故“x为整数”是“2x+1为整数”的充分不必要条件.故选A. 3.A　由a2>36,解得a>6或a<-6,a>6⇒a>6或a<-6,a>6或a<-6⇒/a>6,故“a>6”是“a2>36”的充分不必要条件. 4.B　由|x-1|<1,得0<x<2.因为由0<x<5不能推出0<x<2,但由0<x<2可以推出0<x<5,所以“0<x<5”是“0<x<2”的必要不充分条件,即“0<x<5”是“|x-1|<1”的必要不充分条件.故选B. 5.C　解法一:充分性:因为xy≠0,且x+y=0,所以x=-y,所以+=+=-1-1=-2,所以充分性成立; 必要性:因为xy≠0,且+=-2, 所以x2+y2=-2xy,即x2+y2+2xy=0,即(x+y)2=0,所以x+y=0,所以必要性成立. 所以“x+y=0”是“+=-2”的充要条件.故选C. 解法二:充分性:因为xy≠0,且x+y=0, 所以+=====-2,所以充分性成立; 必要性:因为xy≠0,且+=-2, 所以+====-2=-2, 所以=0,所以(x+y)2=0,所以x+y=0,所以必要性成立. 所以“x+y=0”是“+=-2”的充要条件.故选C. 高考模拟练 1.B　由题意得,命题“∃x∈R,x2+2mx+m+2<0”为真命题,则Δ=4m2-4(m+2)>0,解得m<-1或m>2. 故选B. 2.B　对于q:∃x0∈R,-ax0-a≤-3,即-ax0-a+3≤0, 所以Δ=(-a)2-4(-a+3)≥0,解得a≤-6或a≥2. 设A={a|a≤-6或a≥2},B={a|a∈D}, 因为p是q的必要不充分条件, 所以A⫋B,结合选项知选B. 3.B　∵命题p:“∃x∈R,4x2+(a-2)x+=0”是假命题, ∴“∀x∈R,4x2+(a-2)x+≠0”是真命题, 即方程4x2+(a-2)x+=0没有实数根, ∴Δ=(a-2)2-4×4×=a2-4a=a(a-4)<0, ∴0<a<4, 即命题p:a∈{a|0<a<4}, 因此,结合各选项知,只有B符合题意.故选B. 4.A　如图所示,A-B={x|x∈A,x∉B}=Ⅰ∪Ⅵ,B-A={x|x∈B,x∉A}=Ⅲ∪Ⅶ,由于[(A-B)∪(B-A)]⊆C,即(Ⅰ∪Ⅵ∪Ⅲ∪Ⅶ)⊆C,故Ⅵ=⌀,Ⅶ=⌀, 于是A=Ⅰ∪Ⅳ∪Ⅴ,B=Ⅲ∪Ⅳ∪Ⅴ,C=Ⅰ∪Ⅱ∪Ⅲ∪Ⅴ. 若A∩B∩C=⌀,则Ⅴ=⌀,∴A=Ⅰ∪Ⅳ, 而[(C-B)∪(B-C)]=Ⅰ∪Ⅱ∪Ⅳ, ∴A⊆[(C-B)∪(B-C)]成立; 反之,若A⊆[(C-B)∪(B-C)], 则[(C-B)∪(B-C)]=Ⅰ∪Ⅱ∪Ⅳ,A=Ⅰ∪Ⅳ∪Ⅴ, ∴Ⅰ∪Ⅳ∪Ⅴ⊆Ⅰ∪Ⅱ∪Ⅳ,∴Ⅴ=⌀,∴A∩B∩C=⌀.故选A. 5.AB　对于A,当a=-1,b=1,c=-1时,b2-4ac=-3<0,但ax2+bx+c=-x2+x-1=--≤-,不满足ax2+bx+c≥0,所以“ax2+bx+c≥0”的充要条件不是“b2-4ac≤0”,故A中说法不正确; 对于B,当a=2,c=1,b=0时,满足a>c,但ab2=cb2,不满足ab2>cb2,所以“ab2>cb2”的充要条件不是“a>c”,故B中说法不正确; 对于C,方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根需满足a<0,所以“a<1”是“方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件,故C中说法正确; 对于D,当a>1时,<1,充分性成立,当a=-2时,满足<1,但不满足a>1,必要性不成立,故D中说法正确.故选AB. 6.答案　m>0 解析　若命题p:“方程ax2+2x+1=0至少有一个负实数根”为真命题, 则当a=0时,2x+1=0,所以x=-,符合题意; 当a<0时,Δ=4-4a>0,且x1+x2=->0,x1x2=<0, 此时方程ax2+2x+1=0有一个正根和一个负根,符合题意; 当a>0时,由Δ=4-4a=0,解得a=1, 此时方程为x2+2x+1=(x+1)2=0,x=-1符合题意; 由Δ=4-4a>0,解得a<1,又a>0,所以0<a<1,此时x1+x2=-<0,x1x2=>0, 此时方程ax2+2x+1=0有两个负实数根,符合题意. 综上所述,当命题p为真命题时,a的取值范围是(-∞,1]. 因为a≤m+1,所以m+1>1,所以m>0. 7.答案　0<a<3 解析　由“x∈B”是“x∈A”的必要条件,得A⊆B, 由A中元素为整数及B={x|1≤x<3},得A只可能为{1},{2},{1,2}, 由点(x-1,x-a)不在第一、三象限内,得或即①或② 当a<1时,①无解,由②得a≤x≤1, 此时A={x∈Z|a≤x≤1},故A={1},有0<a<1; 当a≥1时,由①②得1≤x≤a, 此时A={x∈Z|1≤x≤a},1∈A,只需3∉A,有1≤a<3. 综上所述,实数a的取值范围是0<a<3. 8.解析　(1)由解得2≤x≤8, 所以p:2≤x≤8,则¬p:x<2或x>8. 当m=1时,q:1≤x≤3,则¬q:x<1或x>3. 当p和q都为假命题时,¬p和¬q都为真,故x<1或x>8. 因为p和q至少有一个为真命题,所以1≤x≤8, 所以实数x的取值范围是1≤x≤8. (2)由(1)知,p:2≤x≤8, 因为¬p是¬q的充分不必要条件, 所以q是p的充分不必要条件, 所以或所以2≤m≤. 9.解析　(1)由方程x2+tx+t=0没有实数根,得Δ=t2-4t<0,解得0<t<4, 由¬p是假命题,得p是真命题, 所以实数t的取值集合A={t|0<t<4}. (2)由(1)知,A={t|0<t<4}. 因为B={t|2a-1<t<a+1}是非空集合, 所以2a-1<a+1,解得a<2. 选①:因为t∈A是t∈B的充分不必要条件,所以A⫋B,则或无解, 所以不存在实数a,使得t∈A是t∈B的充分不必要条件. 选②:因为t∈A是t∈B的必要不充分条件,所以B⫋A,则或解得≤a≤3,又a<2,所以≤a<2, 所以存在实数a,使得t∈A是t∈B的必要不充分条件,a的取值范围是≤a<2. 10.解析　(1)(2,3)☉(-1,4)=(2×4+3×(-1),3×4-2×(-1))=(5,14). (2)∀α,β∈A,都有α☉β=β☉α成立.证明如下: 若α=(a,b),β=(c,d),则α☉β=(ad+bc,bd-ac), β☉α=(c,d)☉(a,b)=(cb+da,db-ca)=(ad+bc,bd-ac),所以α☉β=β☉α. (3)若A中的元素I=(x,y),∀α∈A,都有α☉I=I☉α=α成立,则由(2)知,只需I☉α=α成立,即(x,y)☉(a,b)=(a,b)成立,则(bx+ay,by-ax)=(a,b). 当α=(0,0)时,显然I☉α=α成立,即元素I为A中任意元素. 当α≠(0,0)时,有解得 所以当∀α∈A,都有α☉I=I☉α=α成立时,I=(0,1).反之,当I=(0,1)时,I☉α=(0,1)☉(a,b)=(0·b+1·a,1·b-0·a)=(a,b)=α. 所以“A中的元素I=(0,1)”是“∀α∈A,都有α☉I=I☉α=α成立”的充要条件,元素I=(0,1). 素养评析　本题第(1)(2)问主要考查数学抽象的核心素养,需根据题中定义进行相应计算;本题第(3)问还考查逻辑推理的核心素养,需在关联情境中,根据定义准确进行推理和求解. 18 学科网（北京）股份有限公司 $$