第2章 常用逻辑用语（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（苏教版2019）

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 第2章　常用逻辑用语 全卷满分150分　　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下列是存在量词命题且是假命题的是(　　) A.∃x∈Z,x2>2　　　　B.∀x∈R,x2>0 C.∃x,y∈R,x2+y2<0　　　　D.∀x∈R,x2∈N 2.命题“∀x∈R,x+2≤0”的否定是(　　) A.∃x∈R,x+2>0　　　　B.∃x∈R,x+2≤0 C.∀x∈R,x+2>0　　　　D.∀x∉R,x+2>0 3.“|a|>|b|”是“a>b”的(　　) A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件 C.充要条件　　　　D.既不充分又不必要条件 4.已知命题p:∃x∈R,x2-x-m=0,若p是真命题,则实数m的取值范围是(　　) A.　　　　B. C.　　　　D. 5.对任意实数a,b,c,在下列命题中,真命题是(　　) A.“ac2>bc2”是“a>b”的必要条件 B.“ac2=bc2”是“a=b”的必要条件 C.“ac2=bc2”是“a=b”的充分条件 D.“ac2≥bc2”是“a≥b”的充分条件 6.命题“∀x∈[1,2],x2-a≤0”是真命题的一个必要不充分条件是(　　) A.a>4　　　　B.a≥4　　　　C.a<1　　　　D.a≥1 7.已知关于x的方程x2+ax+b=0,给出下列四个命题: 甲:x=1是该方程的根;乙:x=3是该方程的根;丙:该方程两根之和为2;丁:该方程两根异号. 如果只有一个命题是假命题,则该命题是(　　) A.甲　　　　B.乙　　　　C.丙　　　　D.丁 8.已知命题p:∀x∈[1,2],x2-a≥0,命题q:∃x∈R,x2+2ax+4=0.若命题¬p和命题q都是真命题,则实数a的取值范围是(　　) A.a≤-2或a=1　　　　B.a≤-2或1≤a≤2 C.a≥1　　　　D.a≥2 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知命题p:∃x∈R,ax2-x+1=0,若p为真命题,则实数a的值可以是(　　) A.-　　　　B.0　　　　C.　　　　D. 10.下列说法正确的是(　　) A.“对任意一个无理数x,x2也是无理数”是真命题 B.“xy>0”是“x+y>0”的充要条件 C.命题“∃x∈R,x2+1=0”的否定是“∀x∈R,x2+1≠0” D.若“1<x<3”的一个必要不充分条件是“m-2<x<m+2”,则实数m的取值范围是[1,3] 11.设全集为U,在下列选项中,是B⊆A的充要条件的有(　　) A.A∪B=A　　　　B.A∩B=A C.(∁UA)⊆(∁UB)　　　　D.A∪(∁UB)=U 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.若命题“∃x∈R,x2+4x+m=0”为假命题,则实数m的取值范围是　　　　.  13.已知p:x2+x-6=0,q:mx+1=0,且q是p的充分不必要条件,则实数m的取值集合是　　　　.  14.已知命题p:方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根,若p为真命题的一个必要不充分条件为a≤m+1,则实数m的取值范围是　　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知集合A={x|m-1<x<m+1},命题“∃x∈R,x2+ax+1<0”是真命题. (1)求实数a的取值集合B; (2)在(1)的条件下,若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,求实数m的取值范围. 16.(15分)设命题p:x2+(2m-4)x+m=0有两个不相等的实数根,命题q:对任意的x∈[2,3],不等式x2-4x+13≥m2恒成立. (1)若命题p为真命题,求实数m的取值范围; (2)若命题p,q一真一假,求实数m的取值范围. 17.(15分)已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|ax+1=0}. (1)求集合A的真子集; (2)若　　　　,求实数a的取值集合.  从以下两个条件中任选一个补充在横线上,并进行解答. ①“x∈B”是“x∈A”的充分条件;②A∪B=A. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 18. (17分)设全集U=R,集合A=. (1)当命题“∃x∈R,x2-3x+a2=0”为真命题时,实数a的取值集合为B,求A∩B; (2)已知集合C=(2-a,1+2a),若“x∈A”是“x∈C”的充分不必要条件,求实数a的取值范围. 19.(17分)设a,b,c分别为△ABC的三边BC,AC,AB的长,求证:关于x的方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共实数根的充要条件是∠A=90°. 答案全解全析 1.C 2.A　∀x∈R,x+2≤0的否定为∃x∈R,x+2>0.故选A. 3.D　设a=-2,b=0,此时满足|a|>|b|,但不满足a>b,充分性不成立, 设a=2,b=-3,此时满足a>b,但不满足|a|>|b|,必要性不成立, 故“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分又不必要条件.故选D. 4.C　因为“∃x∈R,x2-x-m=0”是真命题,所以方程x2-x-m=0有实数根,则Δ=(-1)2-4×(-m)≥0,解得m≥-.故选C. 5.B　对于A,若c=0,则a>b⇒/ac2>bc2,∴“ac2>bc2”不是“a>b”的必要条件,故A错误; 对于B,a=b⇒ac2=bc2,∴“ac2=bc2”是“a=b”的必要条件,故B正确; 对于C,若c=0,则ac2=bc2⇒/a=b,∴“ac2=bc2”不是“a=b”的充分条件,故C错误; 对于D,当c=0时,ac2=bc2,即ac2≥bc2成立,此时不一定有a≥b成立, 故“ac2≥bc2”不是“a≥b”的充分条件,故D错误. 故选B. 6.D　若“∀x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题,则a≥x2, 又x∈[1,2],∴a≥4. 对于A,B,可以推出“∀x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题,是充分条件; 对于C,“a<1”是“∀x∈[1,2],x2-a≤0”的既不充分又不必要条件. 故选D. 7.A　若甲是假命题,则乙、丙、丁是真命题,则关于x的方程x2+ax+b=0的一个根为3,又两根之和为2,所以该方程的另一个根为-1,两根异号,符合题意; 若乙是假命题,则甲、丙、丁是真命题,则关于x的方程x2+ax+b=0的一个根为x=1,又两根之和为2,所以该方程的另一个根也为1,两根同号,不符合题意; 若丙是假命题,则甲、乙、丁是真命题,则关于x的方程x2+ax+b=0的两根分别为1和3,两根同号,不符合题意; 若丁是假命题,则甲、乙、丙是真命题,则关于x的方程x2+ax+b=0的两根分别为1和3,所以两根之和为4,不符合题意. 综上,甲为假命题.故选A. 8.D　若“∀x∈[1,2],x2-a≥0”为真命题,则在x∈[1,2]上,a≤(x2)min,∴a≤1. 若“∃x∈R,x2+2ax+4=0”为真命题,则Δ=(2a)2-16≥0,解得a≤-2或a≥2. ∵命题¬p和命题q都是真命题,∴即a≥2.故选D. 9.ABC　∵∃x∈R,ax2-x+1=0为真命题,∴方程ax2-x+1=0有实数根, 当a=0时,x=1符合题意; 当a≠0时,由方程ax2-x+1=0有实数根,得Δ=(-1)2-4a≥0,∴a≤. 结合选项知,实数a的值可以是-,0,.故选ABC. 10.CD　x=是无理数,x2=2是有理数,故A错误; 当x=-1,y=-2时,xy>0,但x+y=-3<0,不是充要条件,故B错误; 命题“∃x∈R,x2+1=0”的否定是“∀x∈R,x2+1≠0”,故C正确; 若“1<x<3”的一个必要不充分条件是“m-2<x<m+2”,则且两个等号不同时取得,解得1≤m≤3,故D正确.故选CD. 11.ACD　如图①所示,A中,若A∪B=A,则B⊆A;反过来,若B⊆A,则A∪B=A,故互为充要条件.C中,若(∁UA)⊆(∁UB),则B⊆A;反过来,若B⊆A,则(∁UA)⊆(∁UB),故互为充要条件.D中,若A∪(∁UB)=U,则(∁UA)⊆(∁UB),故B⊆A;反过来,若B⊆A,则(∁UA)⊆(∁UB),故A∪(∁UB)=U,故互为充要条件.B中,如图②所示,若A∩B=A,则A⊆B,推不出B⊆A,故错误.故选ACD. 　　 12.答案　(4,+∞) 解析　由题意得命题“∀x∈R,x2+4x+m≠0”为真命题,则Δ=16-4m<0,解得m>4. 13.答案　 解析　由题意得{x|mx+1=0}⊆{x|x2+x-6=0}={2,-3}. 当m=0时,{x|mx+1=0}=⌀,满足题意; 当m≠0时,{x|mx+1=0}=,则-=2或-=-3,解得m=-或m=. 综上,实数m的取值集合是. 14.答案　m>0 解析　若p为真命题,则对于方程ax2+2x+1=0,当a=0时,2x+1=0,解得x=-,符合题意; 当a≠0时,设方程ax2+2x+1=0的两个根分别为x1,x2, 若a<0,则Δ=4-4a>0,且x1+x2=->0,x1x2=<0, 此时方程ax2+2x+1=0有一个正根和一个负根,符合题意; 若a>0,则由Δ=4-4a=0,得a=1, 此时方程为x2+2x+1=0,即(x+1)2=0,所以x=-1,符合题意; 由Δ=4-4a>0,得0<a<1,则x1+x2=-<0,x1x2=>0, 此时方程ax2+2x+1=0有两个负根,符合题意. 综上所述,p为真命题时,a的取值范围是(-∞,1]. 若p为真命题的一个必要不充分条件为a≤m+1, 则m+1>1,解得m>0. 15.解析　(1)由命题“∃x∈R,x2+ax+1<0”是真命题,得a2-4>0,解得a<-2或a>2, 所以实数a的取值集合B={a|a<-2或a>2}.(5分) (2)显然A≠⌀,由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,得A⫋B,(8分) 则m+1≤-2或m-1≥2,解得m≤-3或m≥3, 所以实数m的取值范围是(-∞,-3]∪[3,+∞).(13分) 16.解析　(1)若命题p为真命题,则对于方程x2+(2m-4)x+m=0,Δ=(2m-4)2-4m=4(m-1)(m-4)>0,解得m>4或m<1, ∴实数m的取值范围为{m|m>4或m<1}.(3分) (2)由(1)知,若命题p为真命题,则m>4或m<1. 若命题q为真命题,则对任意的x∈[2,3],不等式x2-4x+13≥m2恒成立等价于当2≤x≤3时,(x-2)2≥m2-9恒成立,(6分) 当x=2时,y=(x-2)2取得最小值0,所以0≥m2-9,即m2≤9,解得-3≤m≤3.(8分) 当p真q假时,解得m<-3或m>4;(11分) 当p假q真时,解得1≤m≤3.(14分) 综上,实数m的取值范围为{m|m<-3或1≤m≤3或m>4}.(15分) 17.解析　(1)A={x|x2-5x+6=0}={2,3},(2分) 所以集合A的真子集有⌀,{2},{3}.(5分) (2)选①,因为“x∈B”是“x∈A”的充分条件,所以B⊆A,(7分) 当a=0时,B=⌀,符合题意;(8分) 当a≠0时,B={x|ax+1=0}=,(10分) 因为B⊆A,A={x|x2-5x+6=0}={2,3},所以-=2或-=3, 所以a=-或a=-.(14分) 综上所述,实数a的取值集合为.(15分) 选②,因为A∪B=A,所以B⊆A,(7分) 下列解析同选①.(15分) 18.解析　(1)依题意,知方程x2-3x+a2=0有解, 则Δ=(-3)2-4a2≥0恒成立,解得-≤a≤, 所以集合B=,(3分) 又因为A=={x|(2x-2)(x-5)<0}={x|1<x<5}, 所以A∩B=.(7分) (2)因为“x∈A”是“x∈C”的充分不必要条件,所以A⫋C,(10分) 由(1)知A={x|1<x<5},则集合C≠⌀,(13分) 又C=(2-a,1+2a), 所以解得a≥2. 所以实数a的取值范围为[2,+∞).(17分) 19.证明　必要性:设方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共实数根x0,则+2ax0+b2=0,+2cx0-b2=0,(3分) 两式相减并整理,得(a-c)x0+b2=0.(5分) ∵b≠0,∴a-c≠0,∴x0=,将x0=代入+2ax0+b2=0中,可得b2+c2=a2,故∠A=90°.必要性成立.(7分) 充分性:∵∠A=90°,∴b2+c2=a2,∴b2=a2-c2.①(9分) 将①代入方程x2+2ax+b2=0中,可得x2+2ax+a2-c2=0,即(x+a-c)(x+a+c)=0.(11分) 将①代入方程x2+2cx-b2=0中,可得x2+2cx+c2-a2=0,即(x+c-a)(x+c+a)=0.(13分) 故两方程有公共实数根x=-(a+c).充分性成立.(15分) ∴关于x的方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共实数根的充要条件是∠A=90°.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$