第7章 本章复习提升（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（苏教版2019）

本章复习提升 易混易错练 易错点1　忽略轴线角致错 1.设角α的顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴,则“角α的终边在第二或第三象限内”是“cos α<0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知角α的终边过点P(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围是　　　　.  易错点2　忽略隐含条件致错 3.已知sin θ=,cos θ=,若θ为第二象限角,则下列结论正确的是(　　) A.a∈　　　　B.a=1 C.a=1或a=　　　　D.a= 4.已知-<x<0,sin x+cos x=. (1)求sin x-cos x的值; (2)求的值. 易错点3　忽略对参数的讨论致错 5.已知角α的终边上一点P(-4a,3a),a≠0,则3sin α+cos α=　　　　.  6.已知函数y=2asin+b的定义域为,最大值为1,最小值为-5,则a,b的值分别为　　　　　　　　.  易错点4　忽略三角函数的定义域、值域致错 7.若函数f(x)=cos2x+2sin x+在上的值域为,则θ的取值范围为　　　　.  8.已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递增,且f(-2)=0.若A是△ABC的一个内角,且满足f<f(2),则A的取值范围为　　　　　　　　.  易错点5　忽略自变量的系数致错 9.若将函数y=sin的图象平移后得到函数y=cos 2x的图象,则进行的平移是(　　) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 10.函数y=3sin 的单调递减区间为　　　　　　　　.  思想方法练 一、数形结合思想在三角函数中的应用 1.在(0,2π)内使sin x>|cos x|成立的x的取值范围是(　　) A.　　　　B.∪ C.　　　　D. 2.方程lg|x|=sin的实数根的个数为(　　) A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.7 3.下列关于函数f(x)=sin x+cos x+|sin x-cos x|的说法,正确的是　　　　.(填序号)  ①f(x)是以2π为周期的函数;②当且仅当x=2kπ+,k∈Z时,函数取得最小值-;③f(x)图象的对称轴为直线x=+2kπ,k∈Z;④当2kπ+π<x<2kπ+,k∈Z时,-≤f(x)<0. 二、分类讨论思想在三角函数中的应用 4.已知函数f(x)=3sin ωx在区间上的最小值为-3,则ω的取值范围是(　　) A.∪[6,+∞)　　　　 B.∪ C.(-∞,-2]∪[6,+∞)　　　　 D.(-∞,-2]∪ 5.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示.将函数f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象,再将g(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数h(x)的图象. (1)求函数f(x)的解析式,并直接写出函数g(x),h(x)的解析式; (2)若F(x)=g(x)+ah在(0,nπ)(n∈N*)内恰有2 023个零点,求实数a与正整数n的值. 三、函数与方程思想在三角函数中的应用 6.已知扇形的周长是8 cm,当扇形的面积S最大时,扇形的圆心角α的大小为(　　) A.　　　　B.　　　　C.1　　　　D.2 7.已知sin α,cos α是关于x的方程17x2+7x+m=0的两根,α∈(0,π). (1)求2sin αcos α的值; (2)求tan α的值. 四、转化与化归思想在三角函数中的应用 8.在平面直角坐标系中,点A(sin 2 024°,cos 2 024°)位于(　　) A.第一象限　　　　B.第二象限 C.第三象限　　　　D.第四象限 9.已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示. (1)求函数f(x)的单调递减区间; (2)将f(x)的图象向右平移个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的π倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,若g(x)=a-1在上有两个解,求实数a的取值范围. 五、数学建模思想在三角函数中的应用 10.如图,点A,B是圆心在原点,半径分别为1和2的圆上的动点.动点A从初始位置A0开始,按逆时针方向以2 rad/s的角速度做圆周运动,同时点B从初始位置B0(2,0)开始,按顺时针方向以2 rad/s的角速度做圆周运动.记t(s)时刻,点A,B的纵坐标分别为y1,y2. (1)求t=时,A,B两点间的距离; (2)求y=y1+y2关于时间t(t>0)的函数关系式,并求当t∈时,这个函数的值域. 答案与分层梯度式解析 本章复习提升 易混易错练 1.A　若角α的终边在第二、三象限内,则cos α<0,充分性成立;若cos α<0,则角α的终边在第二、三象限内或在x轴负半轴上,必要性不成立.故“角α的终边在第二、三象限内”是“cos α<0”的充分不必要条件.故选A. 2.答案　(-2,3] 解析　∵cos α≤0,sin α>0,∴角α的终边在第二象限内或在y轴的非负半轴上, 又∵角α的终边过点P(3a-9,a+2), ∴∴-2<a≤3, ∴实数a的取值范围是(-2,3]. 3.D　∵sin2θ+cos2θ=1, ∴+=1,解得a=1或a=. 当a=1时,sin θ=0,θ不是第二象限角,舍去; 当a=时,sin θ>0,cos θ<0,θ是第二象限角,符合题意. ∴a=.故选D. 易错警示　隐含条件为sin θ>0,cos θ<0,利用平方关系解出a的值后要注意检验. 4.解析　(1)∵sin x+cos x=,∴(sin x+cos x)2=, ∴2sin xcos x=-, ∴(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=, 解得sin x-cos x=±, ∵-<x<0,∴sin x<0,cos x>0, ∴sin x-cos x<0, ∴sin x-cos x=-. (2)由(1)知,sin x-cos x=-,∴cos x-sin x=, 又sin x+cos x=, ∴= ==. 易错警示　根据-<x<0,判断sin x,cos x的符号,进而可确定sin x-cos x<0,若不注意分析角的范围,则容易出错. 5.答案　±1 解析　当a>0时,sin α==,cos α==-,所以3sin α+cos α=1; 当a<0时,sin α==-,cos α==,所以3sin α+cos α=-1. 综上,3sin α+cos α=±1. 易错警示　利用三角函数的概念进行化简或证明时,要注意三角函数的符号.当题中涉及参数时,要注意进行分类讨论. 6.答案　12-6,-23+12或-12+6,19-12 解析　∵0≤x≤,∴-≤2x-≤, ∴-≤sin≤1. 由题知a≠0. 若a>0,则解得 若a<0,则解得 易错警示　形如y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B(A≠0,ω≠0,A,B,ω,φ为常数)的函数,其最值与参数A的正负有关,因此在解决这类问题时,要注意分A>0和A<0两种情况进行讨论. 7.答案　 解析　f(x)=cos2x+2sin x+=1-sin2x+2sin x+,x∈, 令t=sin x,x∈,则原函数可转化为y=-t2+2t++1,结合函数t=sin x和y=-t2+2t++1的图象(图略)知t∈. 当x=-时,t=sin x=-,此时y=; 令y=2+,则-t2+2t++1=2+,解得t=1(二重根). 结合t=sin x的图象可知,≤θ≤, 故θ的取值范围为. 易错警示　解与三角函数有关的值域问题时,要注意正、余弦函数的定义域和有界性. 8.答案　∪ 解析　∵偶函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递增, ∴f(x)在区间[0,+∞)上单调递减, ∴f =f <f(2), ∴>2, ∴0<|sin 2A+1|<, ∴-1<sin 2A<-, ∵A是△ABC的一个内角, ∴0<A<π, ∴0<2A<2π, ∴<2A<,且2A≠, ∴A∈∪. 易错警示　研究三角函数的性质时,首先要考虑自变量的范围,再结合函数的定义域进行等价变形,进而利用相关性质解决问题得到结论. 9.A　对于A,将y=sin的图象向左平移个单位长度可得到y=sin=sin=cos 2x的图象,故A正确; 对于B,将y=sin的图象向右平移个单位长度可得到y=sin=sin 2x的图象,故B错误; 对于C,将y=sin的图象向右平移个单位长度可得到y=sin=sin的图象,故C错误; 对于D,将y=sin的图象向左平移个单位长度可得到y=sin=sin的图象,故D错误. 故选A. 易错警示　三角函数图象变换中的左右平移是对x而言的,如果x前面的系数不是1,那么应先提取系数,再进行平移.注意不要忽略x的系数,同时要注意分清平移方向. 10.答案　(k∈Z) 解析　因为y=3sin=-3sin, 所以y=3sin 的单调递增区间就是y=3sin的单调递减区间. 令-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z), 解得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z). 所以函数y=3sin的单调递减区间为(k∈Z). 易错警示　求三角函数的单调区间时,要注意x的系数的符号.当x的系数为负数时,一般先将系数转化为正数再求函数的单调区间. 思想方法练 1.A　由sin x>|cos x|≥0,得sin x>0, 又x∈(0,2π),∴x∈(0,π). 在同一平面直角坐标系中作出函数y=sin x和y=|cos x|在(0,π)上的图象,通过数形结合求出x的取值范围.  在同一平面直角坐标系中作出y=sin x与y=|cos x|在(0,π)上的图象,如图. 由图可知,使sin x>|cos x|成立的x的取值范围为.故选A. 2.C　方程lg|x|=sin的实数根的个数就是函数y=lg|x|与y=sin的图象的交点个数. 在同一平面直角坐标系中作出函数y=lg|x|和函数y=sin的图象,通过分析图象求解. 由≤1得-1≤lg|x|≤1,即≤|x|≤10. 当x>0时,在同一平面直角坐标系中作出函数y=lg|x|和y=sin的大致图象,如图所示: 由图可知,当x>0时,函数y=lg|x|和y=sin的图象有3个交点.同理,当x<0时,函数y=lg|x|和y=sin的图象也有3个交点. 故函数y=lg|x|和y=sin的图象共有6个交点,即方程lg|x|=sin有6个实数根.故选C. 思想方法　解决与三角函数有关的问题时,常通过数形结合实现函数图象与性质的结合,如三角函数线的应用、利用图象解三角不等式、解决函数的零点与方程的根的问题. 3.答案　①②④ 解析　f(x)=sin x+cos x+|sin x-cos x| = = f(x+2π)=sin(x+2π)+cos(x+2π)+|sin(x+2π)-cos(x+2π)|=sin x+cos x+|sin x-cos x|=f(x),故①正确. 作出y=f(x)的图象,如图, 由函数解析式作出函数图象,利用图象研究函数的性质. 由图可知,当且仅当x=2kπ+,k∈Z时, f(x)min=-,故②正确. 由图可知, f(x)图象的对称轴为直线x=+kπ,k∈Z,故③不正确. 由图可得,当2kπ+π<x<+2kπ,k∈Z时, f(x)单调递减,当2kπ+<x<2kπ+,k∈Z时, f(x)单调递增,所以f(x)min=f =-, 又f(π)=f =0,所以-≤f(x)<0,故④正确. 4.D　显然ω≠0. 分ω>0和ω<0两种情况进行讨论. 当ω>0时,ωx∈,所以-≤-,解得ω≥; 当ω<0时,ωx∈,所以≤-,解得ω≤-2. 所以ω的取值范围是(-∞,-2]∪.故选D. 5.解析　(1)由题图知, f(x)的最小正周期T=2×=π,∴ω==2, 将代入f(x)=Asin(2x+φ),得2×+φ=kπ,k∈Z,解得φ=kπ-,k∈Z, ∵φ∈,∴φ=. 由题图知, f(0)=1,∴Asin=1,∴A=2, ∴f(x)=2sin, 根据题意,得g(x)=2sin=2sin2x+=2cos 2x,h(x)=2cos x. (2)由(1)及题意,得F(x)=2cos 2x+a·2cosx+=2(1-2sin2x)-2asin x, 令F(x)=0,则2(1-2sin2x)-2asin x=0, ∴2sin2x+asin x-1=0, 令sin x=t,则2t2+at-1=0,易知其判别式Δ=a2+8>0,故方程2t2+at-1=0有两个不等实根,分别设为t1,t2,由根与系数的关系知t1t2=-<0,故t1,t2异号,不妨设t1<0<t2, 作出y=sin x在x∈(0,nπ)上的大致图象如图所示: 由题意可知,直线y=t1,y=t2与函数y=sin x的图象的交点总个数为2 023,显然t1=-1,或t2=1中必有一个成立,需要分两种情况讨论. ①当t1=-1时,a=1,此时t2=, 当n为偶数和n为奇数时交点情况不同,故进行分类讨论. 当n为偶数时,方程sin t=有n个解,方程sin t=-1有个解, 此时令n+=2 023,n∈N*,无解,舍去; 当n为奇数时,方程sin t=有(n+1)个解,方程sin t=-1有个解,此时令n+1+==2 023,n∈N*,无解,舍去. ②当t2=1时,a=-1,此时t1=-. 当n为偶数和n为奇数时交点情况不同,故进行分类讨论. 当n为偶数时,方程sin t=1有个解,方程sin t=-有n个解,此时令n+=2 023,n∈N*,无解,舍去; 当n为奇数时,方程sin t=1有个解,方程sin t=-有(n-1)个解,此时令+n-1=2 023,n∈N*,解得n=1 349. 综上所述,a=-1,n=1 349. 思想方法　当所研究的问题中包含了多种情况,但不能用统一的方法、统一的式子进行解决时,可进行分类讨论.三角函数的问题经常受到角的范围或参数的限制,往往需要进行分类讨论. 6.D　设扇形的半径为r cm,弧长为l cm, ∵扇形的周长为8 cm, ∴2r+l=8,即l=8-2r,由l>0,得0<r<4, 构造面积S关于半径r的函数,利用二次函数的性质解决问题. ∴S=lr=(8-2r)·r=-r2+4r=-(r-2)2+4, 根据二次函数的性质,得当r=2 cm时,扇形的面积最大,为4 cm2, 此时,α===2.故选D. 7.解析　(1)因为sin α,cos α是关于x的方程17x2+7x+m=0的两根, 利用方程知识得到sin α与cos α的关系,进而解决问题.  所以sin α+cos α=-, 又因为(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α, 所以=1+2sin αcos α, 所以2sin αcos α=-. (2)由(1)可得(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1+=,且sin α与cos α异号, 又因为α∈(0,π),所以α∈,所以sin α>0,cos α<0,故sin α-cos α=, 结合sin α+cos α=-,列方程组求解.  联立解得 所以tan α=-. 思想方法　在本章中,研究三角函数的有关问题时,将条件化为等式或者函数式,通过方程或函数的知识求解,是一种常见的方法. 8.C　利用诱导公式将2 024°角转化为0°~360°范围内的角.  因为sin 2 024°=sin(360°×6-136°)=-sin 136°=-sin(180°-44°)=-sin 44°<0,cos 2 024°=cos(360°×6-136°)=cos 136°=cos(180°-44°)=-cos 44°<0, 所以在平面直角坐标系中,点A(sin 2 024°,cos 2 024°)位于第三象限. 故选C. 9.解析　(1)由题图得最小正周期T=2×=2,∴ω==π,∴f(x)=cos(πx+φ). ∵f =cos=-1, ∴+φ=π+2kπ,k∈Z,∴φ=+2kπ,k∈Z, 又0<φ<π,∴φ=, ∴f(x)=cos. 令2kπ≤πx+≤2kπ+π,k∈Z,得2k-≤x≤2k+,k∈Z, ∴函数f(x)的单调递减区间为,k∈Z. (2)易得g(x)=sin. 若方程g(x)=a-1在上有两个解,则函数y=sin的图象与直线y=a-1在上有两个不同的交点. 利用转化思想,将方程的解的个数问题转化为函数图象与直线的交点个数问题. 令t=x+,x∈, 则t∈,y=sin t. 作出函数y=sin t在上的图象,如图所示: 由图可得,≤a-1<1或-1<a-1≤0,解得1+≤a<2或0<a≤1,故实数a的取值范围为0<a≤1或1+≤a<2. 思想方法　转化与化归思想在三角函数中常见的应用:将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数进行求值;将y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0,A,ω,φ为常数)的图象转化为y=Asin t的图象来研究;进行恒等变形或者条件的等价转化等. 10.解析　(1)当t=时,∠xOA=+=,∠xOB=,过点A作AD⊥BO,交BO的延长线于点D(图略), 则∠AOD=. ∵OA=1,∴OD=,AD=, ∵OB=2,∴BD=2+=, ∴AB===, 即A,B两点间的距离为. (2)依题意知y1=sin,y2=-2sin 2t, 所以y=y1+y2=sin-2sin 2t=cos 2t-sin 2t=cos, 结合已知条件,构造三角函数模型,利用三角函数知识解决相关问题. 即函数关系式为y=cos(t>0). 当t∈时,2t+∈, ∴cos∈, ∴y∈. 思想方法　现实生活中与周期性相关的问题,常建立三角函数模型进行解决. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$