4_2 对数（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（苏教版2019）

1.对数的概念 　　如果ab=N(a>0,a≠1),那么就称b是以a为底N的对数,记作logaN=b,其中,a叫作对数的底数, N叫作真数. 2.对数式与指数式的关系 　　当a>0,a≠1时,ab=N⇔b=logaN. 3.常用对数与自然对数 以10为底的对数称为常用对数,对数log10N简记为lg N;以e(e=2.718 28…)为底的对数称为自然 对数,对数logeN简记为ln N. 4.2 对数 知识点 1 对数 必备知识 清单破 第4章　指数与对数 第1讲　描述运动的基本概念 4.对数的性质 (1)零和负数没有对数; (2)loga1=0(a>0,a≠1); (3)logaa=1(a>0,a≠1); (4)logaab=b(a>0,a≠1,b∈R); (5) =N(a>0,a≠1,N>0). 第4章　指数与对数 第1讲　描述运动的基本概念 　　如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么: (1)loga(MN)=logaM+logaN; (2)loga =logaM-logaN; (3)logaMn=nlogaM(n∈R). 知识点 2 对数的运算性质 第4章　指数与对数 第1讲　描述运动的基本概念 1.换底公式 logaN= ,其中a>0,a≠1,N>0,c>0,c≠1. 2.相关结论 (其中a,b均为不等于1的正数) (1)logab·logba=1; (2)lo bn= logab(m∈R,n∈R,m≠0). 知识点 3 换底公式 第4章　指数与对数 第1讲　描述运动的基本概念 1.使对数log(a+1) 有意义的a的取值范围是什么? 2.如何理解ax=N与x=logaN(a>0,且a≠1,N>0)中的a,x,N的关系? 3.指数式ax=N是否都能化为对数式? 4.在对数概念中,为什么规定a>0,且a≠1呢? 5.当M,N同号时,loga(MN)=logaM+logaN(a>0,a≠1),loga =logaM-logaN(a>0,a≠1)均成立吗? 知识辨析 第4章　指数与对数 第1讲　描述运动的基本概念 1.(-1,0)∪(0,4).由 解得-1<a<4且a≠0,所以a的取值范围为(-1,0)∪(0,4). 2.对数式和指数式只是通过“底数不变,左右交换”的原则进行了转化,是a,x,N之间相同关 系的不同表示,因此底数a、指数或对数x、幂或真数N的范围不变,只有x和N的名称发生了变 化. 3.不是.需满足a>0且a≠1,N>0,否则不能转化.如:(-2)2=4不能化为2=log(-2)4. 4.①若a<0,则当N取某些数值时,logaN不存在,即ax=N不成立,因此规定a不能小于0. ②若a=0,则当N≠0时,logaN不存在,当N=0时,logaN有无数个值,因此规定a≠0. ③若a=1,则当N≠1时,logaN不存在,当N=1时,logaN有无数个值,因此规定a≠1. 一语破的 5.不一定成立.如:loga[(-2)×(-3)]有意义,而loga(-2)和loga(-3)均没有意义. 第4章　指数与对数 第1讲　描述运动的基本概念 1.利用对数的运算性质求值的关键是化异为同,先使各项底数相同,再找真数间的关系. 2.同底数的对数式化简的常用方法 (1)“收”,将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数,即“收”为一个对数式; (2)“拆”,将积(商)的对数“拆”成两对数之和(差). 3.在应用换底公式时,要选择合适的底数,若所给的对数式的底数和真数互不相同,则可以选 择以10为底数进行换底. 关键能力 定点破 定点 1 利用对数的运算性质化简、求值 第4章　指数与对数 第1讲　描述运动的基本概念 计算下列各式的值: (1) lg - lg +lg ; (2) ; (3)(lg 2)2+lg 2×lg 50+lg 25+(log32+log92)×(log43+log83)+ . 典例 第4章　指数与对数 第1讲　描述运动的基本概念    (1)解法一:原式= (5lg 2-2lg 7)- × lg 2+ (2lg 7+lg 5)= lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7+ lg 5=  lg 2+ lg 5= (lg 2+lg 5)= lg 10= . 解法二:原式=lg -lg 4+lg 7 =lg =lg( × )=lg = . (2)原式= × =lo  ×log 9=lo  × log232=- log32×3log23=- . (3)设m=ln 8,则em=8,所以7ln 8-8ln 7=7m- =7m- =7m-7m=0, 所以(lg 2)2+lg 2×lg 50+lg 25+(log32+log92)×(log43+log83)+  =(lg 2)2+lg 2×(lg 5+1)+2lg 5+ log32+ log32  +20 =(lg 2)2+lg 2×lg 5+lg 2+2lg 5+ log32× ×log23+1=lg 2(lg 2+lg 5)+lg 2+2lg 5+ +1 解析： = +1= . 第4章　指数与对数 第1讲　描述运动的基本概念 1.在对数式与指数式的互化运算中,要注意灵活应用定义、运算性质,尤其要注意条件和结论 之间的关系. 2.对于连等指数式,可令其等于k(k>0),然后将指数式用对数式表示,再由换底公式将指数的倒 数化为同底的对数,从而解决问题. 定点 2 对数与指数的综合运用 第4章　指数与对数 第1讲　描述运动的基本概念 　已知a,b,c是不等于1的正数,且ax=by=cz,   + + =0,求abc的值. 典例    解法一:设ax=by=cz=t, ∵a,b,c是不等于1的正数,∴t>0,且t≠1, ∴x=logat,y=logbt,z=logct, ∴ + + = + + =logta+logtb+logtc=logt(abc)=0,∴abc=t0=1,即abc=1. 解法二:设ax=by=cz=t, ∵a,b,c是不等于1的正数,∴t>0,且t≠1, ∴x= ,y= ,z= , ∴ + + = + + = . 解析： ∵ + + =0,且lg t≠0, ∴lg a+lg b+lg c=lg(abc)=0,∴abc=1. 第4章　指数与对数 第1讲　描述运动的基本概念 　　数学运算是学生学习数学的一种必备品格和关键能力.数学运算是指在明晰运算对象的 基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.主要包括:理解运算对象,掌握运算法则,探究运算 思路,选择运算方法,设计运算程序,求得运算结果等. 学科素养 情境破 素养解读 素养 通过指数、对数运算发展数学运算的素养 第4章　指数与对数 第1讲　描述运动的基本概念 典例呈现 例题 已知a+log220-log25= × -92×8 -(lg 5)0,b=log7(49b-12). (1)求a,b的值; (2)若(a+1)c=3,用b,c表示log4918. 第4章　指数与对数 第1讲　描述运动的基本概念 解题思路    (1)因为a+log220-log25= × -92×8 -(lg 5)0, 所以a+log2 =3×(23 -92× -1, 所以a+2=12- -1, 所以a+2=8,所以a=6. 因为b=log7(49b-12),所以7b=(7b)2-12, 即(7b-4)(7b+3)=0, 解得7b=4或7b=-3(舍去), 故b=log74. (2)由(1)知,a=6,b=log74,所以7c=3, 所以c=log73, 所以log4918=lo (32×2)=log73+ log72=log73+ log74=c+ b. 第4章　指数与对数 第1讲　描述运动的基本概念 思维升华 　　指数运算和对数运算是互逆运算,在解题过程中,进行互相转化是解决相关问题的关键. 特别在求解较大或者较复杂的指数幂问题时,常利用取对数的方法,将指数运算转化为对数 运算.在对数运算中经常利用换底公式,将一般对数转化为自然对数或常用对数来运算. 第4章　指数与对数 第1讲　描述运动的基本概念 $$