4_1 指数（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（苏教版2019）

1.n次方根 (1)定义:如果xn=a(n>1,n∈N*),那么称x为a的n次方根. (2)表示: 4.1 指数 知识点 1 根式 必备知识 清单破 n的奇偶性 a的n次方根的表示 a的取值范围 n为奇数   R n为偶数 ±  [0,+∞) 注意:负数没有偶次方根;0的n次方根等于0. 第4章　指数与对数 第1讲　描述运动的基本概念 2.根式 (1)定义:式子 叫作根式,其中n叫作根指数,a叫作被开方数. (2)性质(其中n>1且n∈N*): ①( )n=a. ②当n为奇数时, =a;当n为偶数时,  =|a|=  第4章　指数与对数 第1讲　描述运动的基本概念 1.正数的正分数指数幂  = (a>0,m,n∈N*,n>1). 2.正数的负分数指数幂  = = (a>0,m,n∈N*,n>1). 3.0的分数指数幂 0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义. 知识点 2 分数指数幂 第4章　指数与对数 第1讲　描述运动的基本概念 1.有理数指数幂的运算性质 (1)asat=as+t(a>0,s,t∈Q). (2)(as)t=ast(a>0,s,t∈Q). (3)(ab)t=atbt(a>0,b>0,t∈Q). 2.无理数指数幂 　　当a>0且x是一个无理数时,ax也是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质对无理数指 数幂同样适用. 知识点 3 实数指数幂 第4章　指数与对数 第1讲　描述运动的基本概念 1.实数a的n次方根可能有几个? 2.   = (n>1,n∈N*)一定成立吗? 3.分数指数幂 是 个a相乘吗? 4.分数指数能约分吗? 5.负数存在分数指数幂吗? 知识辨析 第4章　指数与对数 第1讲　描述运动的基本概念 1.当n为大于1的奇数时,实数a的n次方根有1个;当n为大于1的偶数时,正数a的n次方根有2个,0 的n次方根有1个,负数没有偶次方根. 2.不一定. 是实数a的n次方根的n次幂,其中实数a的取值由n的奇偶决定,结果恒等于a;  是实数an的n次方根,是一个恒有意义的式子,a∈R,不受n的奇偶限制,但这个式子的值受n 的奇偶限制,不一定等于a. 3.不是.分数指数幂 只是根式的一种写法. 4.不能随意约分.如:(-3 约分后为(-3 = ,而 在实数范围内是无意义的. 5.存在.在保证相应的根式有意义的前提下,负数存在分数指数幂. 一语破的 第4章　指数与对数 第1讲　描述运动的基本概念 1.利用根式的性质化简、求值时的注意点 (1)分清根式是奇次根式还是偶次根式: ①n>1,且n为奇数时,( )n= =a,a为任意实数; ②n>1,且n为偶数,a≥0时,( )n才有意义,且( )n=a; ③n>1,且n为偶数,a为任意实数时, 均有意义,且 =|a|. (2)运算时注意变式、整体代换以及平方差公式、立方差(和)公式、完全平方公式、完全立 方公式等的运用,必要时要进行分类讨论. 2.根式与分数指数幂化简、求值的技巧 (1)将根式化为幂的形式,小数指数幂化为分数指数幂,负指数幂化为正指数幂的倒数. (2)底数是小数的,要先化成分数;底数是带分数的,要先化成假分数,然后要尽可能用幂的形式 关键能力 定点破 定点 1 根式与分数指数幂的化简、求值 第4章　指数与对数 第1讲　描述运动的基本概念 表示,便于利用指数幂的运算性质. 　　注意:化简的结果不能同时含有根式和分数指数幂,也不能既含有分母又含有负指数. 第4章　指数与对数 第1讲　描述运动的基本概念 化简:(1) + -160.75+ ×( )-2; (2) × (a>0,b>0). 典例     (1)原式= + -(24 + × =- + -8+2=-3. (2)原式= · · · · = ·a0b0= . 解析： 第4章　指数与对数 第1讲　描述运动的基本概念 　　解决指数幂的条件求值问题时,一般将已知条件或所求代数式进行恰当变形,从而通过 “整体代换法”求出代数式的值.整体代换法是数学变形与计算常用的方法,分析观察条件 与所求代数式的结构特点,灵活运用恒等式是关键. 　　常用的变形公式如下: (1)a±2  +b=( ± )2; (2)( + )( - )=a-b; (3) + =( + )(a-  +b); (4) - =( - )(a+  +b). 定点 2 指数幂的条件求值问题 第4章　指数与对数 第1讲　描述运动的基本概念 已知x+x-1=3,求下列各式的值: (1) + ;(2)x2+x-2; (3) + ;(4) . 典例      分析条件与所求式的关系,利用完全平方公式及立方和公式求解. 思路点拨： 第4章　指数与对数 第1讲　描述运动的基本概念    (1)∵x+x-1=3,∴ = +2  + =x+x-1+2=3+2=5, ∴ + =± , 又由x+x-1=3得x>0,∴ + >0, ∴ + = . (2)将x+x-1=3两边平方,得x2+x-2+2=9, ∴x2+x-2=7. (3)解法一: + = + =( + )[ -  + ]=( + )[(x+x-1)-1]= ×(3-1)=2 . 解法二: = + +2  =x3+x-3+2, 而x3+x-3=(x+x-1)(x2+x-2-1) 解析： 第4章　指数与对数 第1讲　描述运动的基本概念 =(x+x-1)[ -3]=3×(32-3)=18, ∴ =20,由x+x-1=3>0得x>0, ∴ + >0,∴ + = =2 . (4)∵ =x2+x-2-2=5,∴x-x-1=± , 又x3+x-3=(x+x-1)(x2+x-2-1)=3×(7-1)=18, ∴ = =± . 第4章　指数与对数 第1讲　描述运动的基本概念 $$