3_2 基本不等式 (a,b≥0)（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（苏教版2019）

3.2 氧基本不等式  ≤  (a,b≥0) 知识点 1 两个重要不等式 必备知识 清单破 不等式 变形 等号成立的条件 注意 a2+b2≥2ab ab≤ , ab≤  当且仅当a=b时,等号成立 a,b∈R 基本不等式:  ≤   a+b≥2  当且仅当a=b时,等号成立 a,b≥0 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 1.对于正数a,b (1)和a+b为定值s时,积ab有最大值,当且仅当a=b= 时取得最大值; (2)积ab为定值p时,和a+b有最小值,当且仅当a=b= 时取得最小值. 2.在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件 　　一正——各项均为正数. 　　二定——和或积为定值. 　　三相等——等号成立的条件. 知识点 2 基本不等式与最值 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 　基本不等式链 已知a,b为正实数,则 ≥ ≥ ≥ (当且仅当a=b时,等号成立),其中  称为平方平均数, 称为算术平均数, 称为几何平均数, 称为调和平均数. 知识拓展 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 1.若a>0,b>0且a≠b,则a+b与2 的大小关系是什么? 2.已知m>0,n>0,且mn=81,则m+n有最大值还是最小值? 3.能否运用基本不等式求出y=x+ 的最小值? 4.在同一个解题过程中多次应用基本不等式求最值有什么限制条件吗? 知识辨析 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 1.a+b>2 .若a>0,b>0,则a+b≥2 ,但a≠b,所以等号不成立,因此a+b>2 . 2.有最小值.由m>0,n>0,mn=81得m+n≥2 =18,当且仅当m=n=9时取等号,因此m+n有最小 值18. 3.不能.运用基本不等式求y的最大(小)值时,不仅要求有定值,还要求正值与等号成立.若x>0, 则能求出y=x+ 的最小值;若x<0,则能求出y=x+ 的最大值. 4.在同一个解题过程中多次应用基本不等式求最值时,要注意各不等式取等号时条件是否一 致,若不能同时取等号,则多次应用基本不等式是求不出最值的,此时要对原式进行适当拆分 或合并,达到取等号的条件. 一语破的 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 利用基本不等式求最值的注意事项 (1)一正:各项必须都是正值. 　　若各项都是负数,则可以整体提出负号,化为正数,再用基本不等式求最值;若有些项为正 数,有些项为负数,则不可以用基本不等式求最值. (2)二定:各项之和或各项之积为定值. 　　解决利用基本不等式求最值问题的关键是凑出“和”或“积”为定值,常见的凑项技巧 如下: ①拆(裂项、拆项):对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与 “真分式”的和,再根据分式中分母的情况对整式进行拆项,为应用基本不等式凑定值创造 条件. 关键能力 定点破 定点 1 利用基本不等式求无附加条件的最值 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 ②并(分组并项):分组后,各组可以单独应用基本不等式或先对一组应用基本不等式,再在组 与组之间应用基本不等式得出最值. ③配(配式、配系数):根据题设条件采取合理配式、配系数的方法,使配式与待求式相乘后可 以应用基本不等式得出定值,或配以恰当的系数后,积式中的各项之和为定值. (3)三相等:必须验证取等号时条件是否成立,若等号不成立,则不能用基本不等式求最大(小) 值. 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 (1)当x<0时,求 +4x的最大值; (2)当x>0时,求x+ 的最小值. 典例 思路点拨    (1)由x<0得 >0,-4x>0,将所求式变形后,利用基本不等式求出最大值. (2)将所求式变形后,利用 × =1及基本不等式求出最小值. 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)∵x<0,∴-x>0,∴ >0,-4x>0, 则 +(-4x)≥2 =8 , 当且仅当 =-4x,即x=- 时取等号, ∴ +4x≤-8 , ∴当x<0时, +4x的最大值为-8 . (2)∵x>0,∴x+ > , ∴x+ =x+ =x+ + - ≥2× - = , 当且仅当x+ = ,即x= 时,等号成立,故x+ 的最小值为 . 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 名师点睛    在利用基本不等式求最值的过程中,常需要把数、式合理地拆成两项(多项)或恒 等变形配凑成适当的数、式,以便于利用基本不等式求解. 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 　　利用基本不等式求有限制条件的最值常见的解法是换(常值代换、变量代换),首先对条 件变形,以进行代换,再构造利用基本不等式求最值的形式.常用于“已知ax+by=m(a,b,x,y均 为正数),求 + 的最小值”和 “已知 + =m(a,b,x,y均为正数),求x+y的最小值”两种类型. 定点 2 利用基本不等式求有限制条件的最值  第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 思路点拨    (1)将4x+9y-xy=0变形为 + =1,进行“1”的代换,运用基本不等式求解. (2)条件中的运算是“和”,用算术平均数,选项A是倒数和,用调和平均数,选项B是积,用几何 平均数,选项C、D可用平方平均数. (1)已知x>0,y>0,且4x+9y-xy=0,则x+y的最小值为 (　    ) A.25　    B.18　    C.13　    D.12 (2)(多选)设正实数x,y满足x+y=2,则下列说法正确的是 (　    ) A. + 的最小值为2 B.xy的最小值为1 C. + 的最大值为4 D.x2+y2的最小值为2 典例 A AD 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)∵x>0,y>0,4x+9y-xy=0, ∴ + =1,则x+y=(x+y) =13+ + ≥13+2 =25, 当且仅当 = ,即x=15,y=10时取等号, ∴x+y的最小值为25.故选A. (2)∵x+y=2,∴ =1, ∵x>0,y>0,∴ ≤ =1,∴ + ≥2,当且仅当x=y=1时,等号成立,∴ + 的最小值为2, 故A正确; ∵x>0,y>0,∴x+y≥2 ,又x+y=2,∴2 ≤2,∴xy≤1,当且仅当x=y=1时,等号成立,∴xy的最 大值为1,故B错误; 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 ∵ ≤ =1,∴ + ≤2,当且仅当x=y=1时,等号成立,∴ + 的最大值 为2,故C错误; 由 ≤ 得x2+y2≥ =2,当且仅当x=y=1时,等号成立,∴x2+y2的最小值为2,故D 正确.故选AD. 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 1.利用基本不等式证明不等式的关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式,通过将 “和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,达到放缩的效果.证明不等式常用 的变形技巧: (1)拆分、配凑:将所要证明的不等式先拆分成几部分,再利用基本不等式证明. (2)常值代换:利用已知的条件或将已知条件变形得到含“常值”的式子,将“常值”代入后 再利用基本不等式证明. 2.多次运用基本不等式时,需要注意两点:一是不等号方向要一致,二是等号要能同时取到. 定点 3 利用基本不等式证明不等式 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 (1)已知a,b,c均为正实数,求证: + + ≥a+b+c; (2)已知x,y为正实数,且满足x+y=1,证明: + ≥ . 典例 思路点拨    (1)由基本不等式得 +b≥2a, +c≥2b, +a≥2c,再利用不等式的性质证明不 等式. (2)先利用“乘1法”转化,使用基本不等式证得 + ≥4,再利用基本不等式 ≤ (a,b ≥0)的变形形式a2+b2≥ (当且仅当a=b时,等号成立)证得 + ≥ . 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 证明    (1)∵a,b,c均为正实数,∴利用基本不等式可得 +b≥2a(当且仅当a=b时,等号成立),  +c≥2b(当且仅当b=c时,等号成立), +a≥2c(当且仅当a=c时,等号成立), ∴ + + +a+b+c≥2a+2b+2c,即 + + ≥a+b+c,当且仅当a=b=c时,等号成立. (2)因为 + =(x+y) =2+ + ≥4,当且仅当x=y= 时取等号,所以 + ≥  = ≥ = ,当且仅当x=y= 时取等号. 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 名师点睛    利用基本不等式证明不等式时,要先观察题中要证明的不等式的结构特征,若不 能直接使用基本不等式证明,则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等,使之达到能使用基 本不等式的形式;若题目中还有已知条件,应注意已知条件和所证不等式之间的联系. 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 $$