3.2 第1课时 基本不等式（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　　) A．a＝±1　　　　　　　 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝0 解析　当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0即a＝1时，“＝”成立． 答案　B 2．已知a，b∈(0，1)，且a≠b，下列各式中最大的是(　　) A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋b 解析　∵a，b∈(0，1)，∴a2＜a，b2＜b， ∴a2＋b2＜a＋b，又a2＋b2＞2ab(∵a≠b)， ∴2ab＜a2＋b2＜a＋b. 又∵a＋b＞2(∵a≠b)，∴a＋b最大． 答案　D 3．下列不等式中正确的是(　　) A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab C．≥ D．x2＋≥2 解析　a＜0，则a＋≥4不成立，故A错； a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错； a＝4，b＝16，则＜，故C错； 由基本不等式可知D项正确． 答案　D 4．(多选)当a，b∈R时，下列不等关系不一定成立的是(　　) A．≥ B．a－b≥2 C．a2＋b2≥2ab D．a2－b2≥2ab 解析　根据≥xy，≥成立的条件判断，知ABD不一定成立，只有C正确． 答案　ABD 5．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为____________． 解析　用两种方法求出第三年的产量分别为 A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2， 则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b). ∵1＋a＞0，1＋b＞0， ∴1＋x＝≤ ＝1＋， ∴x≤.当且仅当a＝b时等号成立． 答案　x≤ 6．已知a，b为正实数，且a＋b＝1.求证：＋≥4. 证明　∵a，b为正实数， ∴＋＝＋＝1＋＋＋1 ＝2＋＋≥2＋2＝4. 当且仅当a＝b时“＝”成立． [关键能力·综合提升] 7．已知0＜x＜1，则当x(1－x)取最大值时，x的值为(　　) A． B． C． D． 解析　因为0＜x＜1，所以1－x＞0， 所以x(1－x)≤＝. 当且仅当x＝1－x，即x＝时，“＝”成立． 答案　B 8．(多选)已知a＞0，b＞0，则下列不等式中正确的是(　　) A．ab≤ B．ab≤ C．≥ D．≥ 解析　由基本不等式知A正确，由重要不等式知B、C正确， 对于D，因为a＋b≥2⇒≤， 所以≤＝，即≥不成立． 答案　ABC 9．已知函数y＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝____________． 解析　y＝4x＋≥2＝4(x＞0，a＞0)， 当且仅当4x＝，即x＝时等号成立． 此时y取得最小值4. 又由已知x＝3时，y最小＝4， ∴＝3，即a＝36. 答案　36 10．已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c＞＋＋. 证明　∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴≥，≥，≥， 当且仅当a＝b，b＝c，c＝a时等号成立． ∴＋＋≥＋＋， 即a＋b＋c≥＋＋. 由于a、b、c不全相等，∴等号不成立， ∴a＋b＋c＞＋＋. [核心价值·探索创新] 11．已知正常数a，b和正实数x，y满足a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b的值． 解析　∵a，b是正常数，x，y是正实数， ∴x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)· ＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2， 当且仅当＝，即＝时，等号成立， 所以x＋y的最小值为(＋)2＝18， 又a＋b＝10，所以ab＝16. 所以a，b是方程x2－10x＋16＝0的两根， 所以a＝2，b＝8或a＝8，b＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $$