2_1 命题、定理、定义 2_2 充分条件、必要条件、充要条件（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（苏教版2019）

　　在数学中,我们将可判断真假的陈述句叫作命题.许多命题可表示为“如果p,那么q”或 “若p,则q”的形式,其中p叫作命题的条件,q叫作命题的结论. 2.1 命题、定理、定义 知识点 1 命题 必备知识 清单破 2.2 充分条件、必要条件、充要条件 第2章　常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 1.如果“p⇒q”,那么称p是q的充分条件,也称q是p的必要条件,可以理解为若p成立,则q一定 成立,反过来,若q不成立,则p一定不成立. 2.如果p⇒q,且q⇒p,那么称p是q的充分且必要条件,简称为p是q的充要条件,也称q的充要条件 是p,记作p⇔q. 知识点 2 充分条件、必要条件与充要条件 第2章　常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 1.若p是q的充分条件,则p成立与q成立之间有什么关系? 2.p是q的充分条件与q是p的必要条件是不同的逻辑关系吗? 3.p的充分条件与必要条件是不是唯一的? 4.在逻辑推理中,p⇒q只能表达成一种说法吗? 知识辨析 第2章　常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 1.p成立可以充分保证q成立,但即使q成立,p也未必成立,因为保证q成立的p不是唯一的. 2.不是.是同一个逻辑关系,只是说法不同. 3.不是.如“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”都是“该四边 形是平行四边形”的充分条件;“对应边相等”“对应角相等”“对应边上的高对应相等” 都是“两个三角形全等”的必要条件. 4.不是.通常有以下五种说法:(1)“若p,则q”为真命题;(2)p是q的充分条件;(3)q是p的必要条 件;(4)q的一个充分条件是p;(5)p的一个必要条件是q. 一语破的 第2章　常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 1.定义法:直接利用定义进行判断,注意要会举反例. 2.利用集合间的包含关系进行判断:满足条件p和结论q的元素构成的集合分别为A和B,若p是 q的充分条件,则A⊆B;若p是q的必要条件,则B⊆A;若p是q的充要条件,则A=B;若p是q的充分 不必要条件,则A⫋B;若p是q的必要不充分条件,则B⫋A. 3.利用传递性进行判断:充分条件和必要条件具有传递性,即由p1⇒p2⇒…⇒pn可得p1⇒pn,充要 条件也具有传递性. 关键能力 定点破 定点 1 判断充分、必要、充要条件的方法 第2章　常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 给定三个命题p,q,s,若s是p的必要不充分条件,s是q的充分不必要条件,则p是q的 (        ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 典例 A     由s是p的必要不充分条件可知p⇒s,s p,由s是q的充分不必要条件可知s⇒q,q s. 因为p⇒s,s⇒q,所以p⇒q(利用传递性进行判断).下面讨论p是不是q的必要条件.假设p是q的 必要条件,则有q⇒p,又p⇒s,所以q⇒s,与q s矛盾,所以q p,所以p是q的充分不必要条件. 解析： 第2章　常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 1.充要条件的证明 (1)证明p是q的充要条件时,既要证明命题“p⇒q”为真,又要证明“q⇒p”为真,前者证明的 是充分性,后者证明的是必要性. (2)证明充要条件也可以利用等价转化法,即把条件和结论进行等价转化,注意转化过程中必 须保证前后是能互相推出的. 2.探求充分条件、必要条件的步骤 (1)分清“条件”和“结论”,明确探求的方向; (2)找到使结论成立的充要条件(一般用集合的方法); (3)将充要条件对应的范围扩大,即得结论成立的必要不充分条件;将充要条件对应的范围缩 小,即得结论成立的充分不必要条件. 定点 2 充分条件、必要条件的证明与探求 第2章　常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 求证:关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件是m≥2. 典例     充分性:∵m≥2,∴Δ=m2-4≥0. 设方程x2+mx+1=0的两个实根分别为x1,x2, 由根与系数的关系知x1x2=1>0,∴x1,x2同号,又x1+x2=-m≤-2, ∴x1,x2同为负根.充分性成立. 必要性:设方程x2+mx+1=0的两个实根分别为x1,x2, 则x1,x2均为负数,且x1x2=1,x1+x2=-m, ∴m-2=-(x1+x2)-2=- -2 =- =- ≥0, 证明： ∴m≥2.必要性成立. 综上,关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件是m≥2. 第2章　常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 利用充分条件、必要条件求解参数问题时,一般结合充分条件、必要条件转化为集合之 间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的方程(组)或不等式(组),进而求解.要注意 对解集的端点值进行检验. 定点 3 利用充分条件、必要条件求参数值(或范围) 第2章　常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 已知命题p: ,命题q:{x|-1<x<2}. (1)若存在x∈ ,p为真命题,求实数a的取值范围; (2)若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围. 典例 第2章　常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念     (1)当x∈ 时,由 得-1<ax≤2,∴- <a≤ . 而-2<- <- , < <4,∴-2<a<4, 故实数a的取值范围是(-2,4). (2)设集合A= ={x|-1<ax≤2},集合B={x|-1<x<2}. ∵p是q的必要不充分条件,∴B⫋A. 当a=0时,A=R,满足题意; 当a>0时,A= ,∴- ≤-1,且 ≥2,∴0<a≤1; 当a<0时,A= ,∴ ≤-1,且- ≥2,∴- ≤a<0. 解析： 综上,实数a的取值范围是 . 第2章　常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 $$