江苏省南京市秦淮中学2025年高一数学暑假作业之 空间几何体的外接球

江苏省南京市秦淮中学2025年高一暑假作业之 空间几何体的外接球 1.已知长、宽、高分别为1，2，2的长方体的顶点都是球表面上的点，则球体积为________. 题型一：补型法 【例1】若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为1，，，则其外接球的表面积是　　　　.  【变式训练1】在四面体ABCD中，若AB=CD=，AC=BD=2，AD=BC=，则四面体ABCD的外接球的表面积为(　　) A.2π B.4π C.6π D.8π 【变式训练2】　三棱锥A-BCD的四个面都是直角三角形，且侧棱AB垂直于底面BCD，BC⊥CD，AB=BC=2，且VA-BCD=，则该三棱锥A-BCD外接球的体积为　　　　.  【变式训练3】在直角三角形ABC中，已知CH为斜边AB上的高，，，现将沿着CH折起，使得点B到达点，且平面平面ACH，则三棱锥的外接球的表面积为          . 【变式训练4】 已知一个四面体的所有棱长都为2,则该四面体的外接球表面积为________. 2.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AC，PB⊥BC，PA=2，AC=2，则该三棱锥的外接球的表面积为　　　　.  题型二：寻求轴截面圆半径法（1） 【例2】直三棱柱的各条棱长均为2，为棱中点，则点到直三棱柱的外接球球心的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为　　　　.  【变式训练2】正四棱锥所有棱长均为2，其外接球的表面积为(    ) A. B. C. D. 【变式训练3】一个直角梯形上底、下底分别为3cm和4cm，将此直角梯形以垂宜于底的腰为轴旋转周形成一个圆台，此圆台外接球的半径为5cm，则这个圆台的高为          . 【变式训练4】已知圆锥的高为2，体积为，若该圆锥顶点和底面圆周上所有点都在同一个球面上，则此球的体积为          . 【变式训练5】已知，，，是半径为15的球的球面上四点，，，则三棱锥体积的最大值为（   ） A．384 B．1152 C． D． 【变式训练6】已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，其中较大圆锥的体积是较小圆锥的体积的3倍，若这两个圆锥的体积之和为，则球的体积为          . 【变式训练7】已知球的体积为，高为1的圆锥内接于球，经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为，若，则 ． 【变式训练8】已知圆台的内切球半径为2，圆台的体积为28π，则圆台外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 提高版 【变式训练9】已知直三棱柱的各顶点都在同一个球面上，，，，，的中点分别为，，则直线被该球面截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练10】如图，在直三棱柱中，为等腰直角三角形，，平面截三棱柱的外接球所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 题型二：寻求轴截面圆半径法（2） 如图，平面，求外接球半径. 【例3】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，为球的直径，且，则三棱锥体积的最大值为___________. 题型三：双截面题型 【例4】已知四边形ABCD的对角线AC，BD的长分别为和6，且BD垂直平分AC把△ACD沿AC折起，使得点D到达点P，则三棱锥P-ABC体积最大时，其外接球半径为（    ） A．2 B． C． D． 【变式训练1】如图，平行四边形中，，.现将沿起，使二面角大小为120°，则折起后得到的三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【变式训练2】已知菱形各边长为.如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时，是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点的轨迹的周长为（ ） A. B. C. D. 江苏省南京市秦淮中学2025年高一暑假作业之 空间几何体的外接球解析版 一知识储备 知识点一：正方体、长方体外接球 1．正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 2．长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 3．补成长方体 （1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示． （2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示． （3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示． （4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示 4：观察上图三，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为. 模型感知：已知长、宽、高分别为1，2，2的长方体的顶点都是球表面上的点，则球体积为________. 【答案】 【解析】由题意，取长方体的体对角线中点为，可作图如下： 易知点到长方体八个顶点的距离相等，即为外接球球心， 则外接球的半径，所以球的体积. 题型一：补型（转化划归思想） 【例1】若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为1，，，则其外接球的表面积是　　　　.  【答案】　6π 【解析】　根据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直， ∴把这个三棱锥可以补成一个同一顶点处三条棱长分别为1，，的长方体，于是长方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R，则有(2R)2=12+()2+()2=6.∴R2=.故其外接球的表面积S=4πR2=6π. 【变式训练1】在四面体ABCD中，若AB=CD=，AC=BD=2，AD=BC=，则四面体ABCD的外接球的表面积为(　　) A.2π B.4π C.6π D.8π 【答案】　C 【解析】　如图所示，该四面体的四个顶点为长方体的四个顶点， 设长、宽、高分别为a，b，c，则三式相加得a2+b2+c2=6， 因为该四面体的外接球直径为长方体的体对角线长，所以4R2=a2+b2+c2=6，所以外接球的表面积S=4πR2=6π. 反思感悟　一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a，b，c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R=. 【变式训练2】　三棱锥A-BCD的四个面都是直角三角形，且侧棱AB垂直于底面BCD，BC⊥CD，AB=BC=2，且VA-BCD=，则该三棱锥A-BCD外接球的体积为　　　　.  【答案】　4π 【解析】　AB⊥BC，BC⊥CD，故可构造如图所示的长方体， 则AD为三棱锥A-BCD的外接球的直径.设外接球的半径为R. ∵VA-BCD=××BC×CD×AB=×2×CD×2=，∴CD=2， ∴该长方体为正方体，∴AD=2，∴R=，外接球体积为V=πR3=4π. 【变式训练3】在直角三角形ABC中，已知CH为斜边AB上的高，，，现将沿着CH折起，使得点B到达点，且平面平面ACH，则三棱锥的外接球的表面积为          . 【答案】  【解析】若平面平面ACH，则平面ACH，又，所以HA，，HC两两垂直，，，，所以三棱锥的外接球，所以三棱锥的外接球的表面积为 【变式训练4】 已知一个四面体的所有棱长都为2,则该四面体的外接球表面积为________. 【答案】 【解析】【详解】由题意可知四面体内置于一个正方体中，且易得该正方体的边长为， 该四面体外接球就是正方体的外接球，可知其外接球的半径为，且，从而其表面积为.故答案为： 知识储备二 抓住球外接的特点：几何体外接球球心到几何体顶点的距离等于球的半径 感知：如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AC，PB⊥BC，PA=2，AC=2，则该三棱锥的外接球的表面积为　　　　.  【答案】　16π 【解析】　取PC的中点O，连接OA，OB(图略)， ∵△PAC为直角三角形且∠PAC=90°，∴OA=PC，同理OB=PC， 即OA=OB=OP=OC，即点O到点P，A，B，C四点的距离相等，∴O为外接球的球心， PC==4，∴R=PC=2，∴S球=4πR2=16π. 反思感悟　找空间图形的外接球球心，即找点O，使点O到空间图形各顶点的距离相等.正棱锥的外接球球心在垂线上，直棱柱的外接球球心为上、下底面外心所连线段的中点. 题型二：寻求轴截面圆半径法（1） 【例2】直三棱柱的各条棱长均为2，为棱中点，则点到直三棱柱的外接球球心的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，设上、下底面正三角形的中心为，取的中点，连接，如下图： 易知点为三棱柱的外接球球心，且平面，因为平面，所以，在正中，，易知，在中，.故选：B. 反思感悟　本题运用公式R2=r2+d2，求球的半径，该公式是求球的半径的常用公式. 【变式训练1】一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为　　　　.  【答案】　 【解析】设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有∴ ∴正六棱柱的底面外接圆的半径r=，球心到底面的距离d=. ∴外接球的半径R==1.∴V球=. 【变式训练2】正四棱锥所有棱长均为2，其外接球的表面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】作出棱长均为2的正四棱锥，如图所示，设AC，BD交于点E，四边形ABCD为正方形，，，，都为等边三角形，， ，正四棱锥的外接球的半径， 则正四棱锥的外接球的表面积，故选： 【变式训练3】一个直角梯形上底、下底分别为3cm和4cm，将此直角梯形以垂宜于底的腰为轴旋转周形成一个圆台，此圆台外接球的半径为5cm，则这个圆台的高为          . 【答案】1或7  【解析】圆台的外接球的半径为5，则圆台外接球的球心到上底面的距离为， 则圆台外接球的球心到下底面的距离为，若球心在上下两底面之间，则圆台的高为，若上下两底面在球心的同一侧，则圆台的高为， 综上所述：这个圆台的高为1或故答案为：1或 【变式训练4】已知圆锥的高为2，体积为，若该圆锥顶点和底面圆周上所有点都在同一个球面上，则此球的体积为          . 【答案】  【解析】设圆锥的底面半径为r，圆锥的高为h，因为圆锥的高为2，体积为，所以， 即，解得，当圆锥顶点与底面在球心O的两侧时，如图， 圆锥的底面半径，高，设球O的半径为R，则， 解得，与不符，故此种情况舍去；当圆锥顶点与底面在球心O的同侧时，如图， 圆锥的底面半径，高，设球O的半径为R，则， 解得综上，此球的半径为4，球的体积为故答案为： 【变式训练5】已知，，，是半径为15的球的球面上四点，，，则三棱锥体积的最大值为（   ） A．384 B．1152 C． D． 【答案】B 【详解】因为，，所以为的外接圆的直径，即半径，    由过球心垂直于截面的直线必过截面圆的圆心可知， 球心到平面的距离， 又直角面积， 当且仅当时取等号， 而点到平面的距离的最大值为， 所以三棱锥体积的最大值为．故选:B． 【变式训练6】已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，其中较大圆锥的体积是较小圆锥的体积的3倍，若这两个圆锥的体积之和为，则球的体积为          . 【答案】  【解析】如图所示，设圆锥  与圆锥  公共底面的圆心为 ，   取底面圆周上一点Q ，令底面圆半径为 r ，球半径为 R，则圆锥的体积为， 圆锥的体积为，由题可得，，则，，即①，又，则，由，可得， 则，代入①可得，解得，则球的体积为 【变式训练7】已知球的体积为，高为1的圆锥内接于球，经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为，若，则 ． 【答案】 【详解】设球的半径为，则，解得， 设球的截面半径为，则，故， 故球心到平面的距离， 球心在圆锥的轴上，圆锥的轴与平面的夹角为. 圆锥的高为，故球心到圆锥底面圆的距离为， 圆锥的底面半径为， 如图所示：截面为等腰三角形，，，， ，故. 故答案为：. 【变式训练8】已知圆台的内切球半径为2，圆台的体积为28π，则圆台外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆台的上、下底面半径分别为，，易知内切球的轴截面与圆台的轴截面内切，所以，解得， 又圆台的体积为，所以，． 设圆台外接球的半径为R，易知圆台的轴截面与外接球的轴截面内接，外接球球心O在线段上，（提示：当O在的延长线上时，设，则，所以，无解，所以O在线段上）,如图，连接OC，OB，则，，设，则，所以，得，故，所以该圆台外接球的表面积为，故选：D． 反思感悟　根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通用解法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习. 提高版 【变式训练9】已知直三棱柱的各顶点都在同一个球面上，，，，，的中点分别为，，则直线被该球面截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将直三棱柱扩展为一个正四棱柱，如图： 可求出球半径． 设球心为，则，，， 则球心到直线的距离为， 则直线被该球面截得的弦长为．故选：A． 【变式训练10】如图，在直三棱柱中，为等腰直角三角形，，平面截三棱柱的外接球所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于为等腰直角三角形，所以的外心是的中点，设为， 设的中点为，连接，设的中点为，则是直三棱柱的外接球的球心，连接，设外接球的半径为，则.由于，所以，根据直棱柱的性质可知，由于平面， 所以平面，，所以， ，，所以,设到平面的距离为，则，所以平面截三棱柱的外接球所得截面的半径为，所以截面面积为.故选：C 题型二：寻求轴截面圆半径法（2） 如图，平面，求外接球半径. 解题步骤： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ②. 【例3】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，为球的直径，且，则三棱锥体积的最大值为___________. 【答案】 【解析】如图所示，设圆的半径为， 在中，因为，由正弦定理得，可得，即的外接圆的半径为， 因为为球的直径，且，可得球的半径为， 所以球心到所在小圆的距离为， 则点S到平面的距离为， 在中，由余弦定理得， 即， 当且仅当时，等号成立，即， 所以面积的最大值为， 故三棱锥体积的最大值为.故答案为：. 题型三：双截面题型 【例4】已知四边形ABCD的对角线AC，BD的长分别为和6，且BD垂直平分AC把△ACD沿AC折起，使得点D到达点P，则三棱锥P-ABC体积最大时，其外接球半径为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，设交于点E，， 要使三棱锥P-ABC体积最大，则平面ABC，其体积为： ， 则当，即时，三棱锥P-ABC体积最大. 注意到此时，，且均为等边三角形， 设外心为，外心为，过分别作平面BAC，平面PAC垂线，交点为， 则O为三棱锥P-ABC外接球球心.又为重心，则， 结合四边形是矩形，则 .又外接圆半径为， 则三棱锥P-ABC外接球半径为. 故选：B 【变式训练1】如图，平行四边形中，，.现将沿起，使二面角大小为120°，则折起后得到的三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如图所示，过点作，过点作，两直线相交于点， 因为，，所以，⊥，则⊥， 由于⊥，故即为二面角的平面角，则，过点作⊥于点，因为⊥，⊥，，平面，故⊥平面，因为平面，所以⊥， 又，平面，则⊥平面，， 取的中点，则外接球球心在平面的投影为，即⊥平面， 连接，，则，过点作，交直线于点， 则， ， ，由余弦定理得， 设，则，故， 由勾股定理得，， 故，解得， 故外接球半径为，外接球表面积为.故选：C 【变式训练2】已知菱形各边长为.如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时，是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点的轨迹的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】取中点，连接，则，平面∴平面，，又， ∴，则三棱锥的高， 三棱锥体积为；作，设点轨迹所在平面为，则平面经过点且， 设三棱锥外接球的球心为的中心分别为， 易知平面平面，且四点共面， 由题可得，， 解Rt ，得，又， 则三棱锥外接球半径， 易知到平面的距离， 故平面截外接球所得截面圆的半径为， ∴截面圆的周长为，即点轨迹的周长为. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$