精品解析：福建省福州教育学院附属中学2024-2025学年下学期八年级期末考数学试卷

福州教育学院附中2024-2025学年第二学期期末考试 八年级数学试卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列表示y与x之间的关系的图象中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 将方程改写成的形式，则的值分别为（ ） A. 1，4，2 B. 1，4， C. 1，，2 D. 1，， 3. 一技术人员用刻度尺（单位，）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，点对应的刻度为，则（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙、丙、丁四位学生进行“汉字拼写”训练，每位同学五次训练成绩的平均数均为90，方差分别为，，，．若要从中选择一名发挥稳定的学生参加比赛，应选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 小明从家出发，去超市购物后直接回家，如图是他离家的距离（千米）与时间（分钟）的函数关系图象，根据图象信息，下列说法正确的是（ ） A. 小明在超市停留了分钟 B. 小明去时的速度为千米/小时 C. 小明从出发到回家共走了千米 D. 小明去超市所用的时间少于从超市回家所用时间 7. 元旦将至，九（1）班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，那么所列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知（如图1），求作：平行四边形．如图2、图3是嘉琪的作图方案，其依据是（ ） A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 9. 如图，是的中位线，O是上一点，且满足．则的面积与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 10. 已知点，，，都在二次函数（，，为常数，且）的图象上，若，则的取值范围是（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 将直线向上平移2个单位长度，得到的直线解析式是______． 12. 某公司从德、能、勤、绩、廉等五方面按对员工进行年终考评．公司某职员在2023年度五个方面得分如图所示，则该职员的年终考评为 _____分． 13. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小芳家有一个菱形中国结装饰．测得，．则该菱形的面积为____________． 14. 某种型号的小型飞行器着陆后滑行的距离单位：米关于滑行的时间单位：秒的函数解析式是，此飞行器滑行的最大距离是______米． 15. 若m是一元二次方程的根，则的值为_____ 16. 如图，“爱心”图案是由函数的部分图像与其关于直线的对称图形组成．点是直线上方“爱心”图案上的任意一点，点是其对称点．若，则点的坐标是____________． 三、解答题：本题共9小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解下列方程 （1）； （2）． 18. 某校为了解学生在学校甲、乙超市的生活消费情况，各随机抽查了20名学生某一周（按周一至周五算）的消费金额（单位：元），并将数据进行收集、整理和分析．下面给出了部分信息． a．消费金额的频数分布表如下： 消费金额x/元 甲超市 0 0 12 6 2 乙超市 1 4 7 3 5 b．乙超市消费金额在这一组的是：70 70 70 71 71 73 75 c．甲、乙两个超市消费金额的平均数、中位数、众数如表： 超市 平均数 中位数 众数 甲 m 76 75 乙 76.85 n 70 根据以上信息，回答下列问题： （1）求表中m和n的值； （2）若甲超市该周的学生消费人数为500人，估计甲超市一个月（按4周算）的学生消费总金额． 19. 列方程（组）解应用题． 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动，四月份投入资金 20 万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同．求该商场投入资金的月平均增长率． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根； （2）若一元二次方程的两根为，，且满足，求的值． 21. 已知：如图，在矩形中，是边上的点，连接． （1）尺规作图，以为边，为顶点作，交线段于点．（要求：基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）． （2）求证：四边形为平行四边形 22. “漏壶”是一种古代计时器，数学兴趣小组根据“漏壶”的原理制作了如图所示的计时器，它是由一个圆锥和一个圆柱组成，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中．通过实验，得到圆柱体容器液面高度y（单位：）与计时时长x（单位：h）满足一次函数关系，其部分数据如下表所示： x … 1 2 3 … y … 6 9 12 … （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当圆柱体容器液面高度为15cm时，求该计时器计时时长． 23. 综合与实践：在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板（规格：，），要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒．小明按照图2裁剪，恰好得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分（如图3所示）． （1）若收纳盒高是，则该收纳盒底面的边___________，___________； （2）如图3，若收纳盒的底面积是，如图4，一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒？（要能盖上盖子，且不考虑倾斜放入） 24. 如图1，在边长为2的正方形中，点E在上，点F在射线上，作正方形，连接，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）如图2，若，求的长． 25. 已知二次函数的最小值为，且其图象过点． （1）求的值； （2）已知点． ①若直线与抛物线相交于两点，求的最大值； ②已知点是抛物线上异于其顶点的任意一点，过作垂直轴于，的中点为，请证明平分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州教育学院附中2024-2025学年第二学期期末考试 八年级数学试卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列表示y与x之间的关系的图象中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的概念：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数；由此问题可求解． 【详解】解：由题意得：选项A、B、C都是函数，而选项D不符合函数的概念， 故选D． 【点睛】本题主要考查函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键． 2. 将方程改写成的形式，则的值分别为（ ） A. 1，4，2 B. 1，4， C. 1，，2 D. 1，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，是一次项系数；叫做常数项进行分析即可． 此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 【详解】解：可化为，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为1，，2， 故选：C． 3. 一技术人员用刻度尺（单位，）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，点对应的刻度为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线，根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出的长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：∵点对应的刻度为， ∴， ∵，点为边的中点， ∴， 故选：B． 4. 甲、乙、丙、丁四位学生进行“汉字拼写”训练，每位同学五次训练成绩的平均数均为90，方差分别为，，，．若要从中选择一名发挥稳定的学生参加比赛，应选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查方差，根据方差的意义求解即可，解题的关键是掌握方差的意义． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴发挥稳定的学生是丁， 故选：D． 5. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形对角相等，邻角互补即可求解. 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， 故选：B 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答此题的关键. 6. 小明从家出发，去超市购物后直接回家，如图是他离家的距离（千米）与时间（分钟）的函数关系图象，根据图象信息，下列说法正确的是（ ） A. 小明在超市停留了分钟 B. 小明去时的速度为千米/小时 C. 小明从出发到回家共走了千米 D. 小明去超市所用的时间少于从超市回家所用时间 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查函数图象，根据图象上特殊点的坐标和实际意义即可求出答案． 【详解】解：A. 小明在超市停留了分钟，故该选项不正确，不符合题意； B. 小明去时的速度为千米/小时，故本选项正确，符合题意； C. 小明从出发到回家共走了千米，故该选项不正确，不符合题意； D. 小明去超市所用的时间为分钟多于从超市回家所用时间分钟，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 7. 元旦将至，九（1）班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，那么所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；每个学生要向其他个学生共赠送贺卡张，则名学生共赠贺卡为张，由题意即可列出方程． 【详解】解：∵每个学生要向其他个学生共赠送贺卡张， ∴名学生共赠贺卡为张， 由题意得：； 故选：D． 8. 已知（如图1），求作：平行四边形．如图2、图3是嘉琪的作图方案，其依据是（ ） A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【答案】B 【解析】 【命题意图】本题考查了复杂的尺规作图、平行四边形的判定，解题的关键是理解尺规作图的隐含条件和根据平行四边形的判定解答．根据作图过程分析进行判断即可． 【详解】由图可知先作的垂直平分线，则点O为的中点，然后以为半径作图．由作图可知， 可得：，，（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， 进而得出四边形是平行四边形， 故选：B． 9. 如图，是的中位线，O是上一点，且满足．则的面积与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】假设，根据三角形中位线的性质表示出相关三角形的面积，求出比值即可． 【详解】解：假设， ∵， ∴， ∴， ∵是的中位线， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∴． 10. 已知点，，，都在二次函数（，，为常数，且）的图象上，若，则的取值范围是（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，由题意得，，，，再根据，求出，然后分和两种情况讨论即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】∵二次函数过点，，，， ∴，，，， ∴，即有， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴，解得：， 当时，， ∴，解得：， 综上可知：的取值范围是或， 故选：． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 将直线向上平移2个单位长度，得到的直线解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换．熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 直接根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】∵直线向上平移2个单位长度， ∴得到的直线解析式是． 故答案为：． 12. 某公司从德、能、勤、绩、廉等五方面按对员工进行年终考评．公司某职员在2023年度五个方面得分如图所示，则该职员的年终考评为 _____分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加权平均数．根据加权平均数的计算方法即可解答本题． 【详解】解：由题意可得，该职员的年终考评为（分， 故答案为：． 13. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小芳家有一个菱形中国结装饰．测得，．则该菱形的面积为____________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，菱形的面积，熟练运用菱形的面积公式是解题的关键． 根据菱形的面积为对角线乘积的一半即可． 【详解】四边形是菱形， ， ，， 故答案为：24． 14. 某种型号的小型飞行器着陆后滑行的距离单位：米关于滑行的时间单位：秒的函数解析式是，此飞行器滑行的最大距离是______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，将函数解析式配方成顶点式求出取得最大值时的的值即可得． 【详解】解：，， 当时，取得最大值， 此飞行器滑行的最大距离是米． 故答案为：． 15. 若m是一元二次方程的根，则的值为_____ 【答案】6 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义可得出，从而可求出，，再将整理变形，最后整体代入求值即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的根， ∴， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值．掌握方程的解就是使方程成立的未知数的值是解题关键． 16. 如图，“爱心”图案是由函数的部分图像与其关于直线的对称图形组成．点是直线上方“爱心”图案上的任意一点，点是其对称点．若，则点的坐标是____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数的应用及对称点的表示，勾股定理，解一元二次方程，解题的关键是设点的坐标，表示出的长度． 根据对称性表示出A，B两点的坐标，利用勾股定理列式求解即可． 【详解】∵A，B关于直线对称， ∴设，则， 如图所示， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍）， ∴， ∵在上， ∴， 即， 整理得：， 解得，， 当时，， 当时，， ∴点A的坐标为或； 故答案为：或． 三、解答题：本题共9小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解下列方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． （1）利用提取公因式的方法对方程进行求解即可； （2）利用配方法对方程进行求解即可． 【小问1详解】 解： 或 解得：，； 【小问2详解】 ． 解得：，． 18. 某校为了解学生在学校甲、乙超市的生活消费情况，各随机抽查了20名学生某一周（按周一至周五算）的消费金额（单位：元），并将数据进行收集、整理和分析．下面给出了部分信息． a．消费金额的频数分布表如下： 消费金额x/元 甲超市 0 0 12 6 2 乙超市 1 4 7 3 5 b．乙超市消费金额在这一组的是：70 70 70 71 71 73 75 c．甲、乙两个超市消费金额的平均数、中位数、众数如表： 超市 平均数 中位数 众数 甲 m 76 75 乙 76.85 n 70 根据以上信息，回答下列问题： （1）求表中m和n的值； （2）若甲超市该周的学生消费人数为500人，估计甲超市一个月（按4周算）的学生消费总金额． 【答案】（1）80，72 （2）160000元 【解析】 【分析】本题考查求平均数和总位数，利用样本平均数计算总体： （1）根据平均数和中位数的确定方法，进行求解即可； （2）利用样本估计总体，进行求解即可． 【小问1详解】 解：； 中位数是第10，11两个数的平均数， 故； 【小问2详解】 （元）． 故甲超市一个月（按4周算）的学生消费总金额事160000元． 19. 列方程（组）解应用题． 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动，四月份投入资金 20 万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同．求该商场投入资金的月平均增长率． 【答案】该商场投入资金的月平均增长率 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．设该商场投入资金的月平均增长率为，根据“四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案； 【详解】解：设该商场投入资金的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴该商场投入资金的月平均增长率； 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根； （2）若一元二次方程的两根为，，且满足，求的值． 【答案】（1） 证明：△ ； 又， ， 无论取任何实数，方程总有实数根； （2）5或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根,还考查了一元二次方程根与系数关系． （1）利用根的判别式求出关于的代数式，整理成非负数的形式即可判定； （2）根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把，转换为，然后利用前面的等式即可得到关于的方程，解方程即可求出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ， ， 整理得， 解得：， 故的值为5或． 21. 已知：如图，在矩形中，是边上的点，连接． （1）尺规作图，以为边，为顶点作，交线段于点．（要求：基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）． （2）求证：四边形为平行四边形 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 证明：∵四边形为矩形， ∴，，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴四边形为平行四边形． 【解析】 【分析】（）根据作一个角等于已知角的作法作图即可； （）由矩形得到，，，，再证明得到，进而得到，即可求证； 本题考查了作一个角等于已知角，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，正确作出图形是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. “漏壶”是一种古代计时器，数学兴趣小组根据“漏壶”的原理制作了如图所示的计时器，它是由一个圆锥和一个圆柱组成，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中．通过实验，得到圆柱体容器液面高度y（单位：）与计时时长x（单位：h）满足一次函数关系，其部分数据如下表所示： x … 1 2 3 … y … 6 9 12 … （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当圆柱体容器液面高度为15cm时，求该计时器计时时长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，得出相应的函数图象是一次函数，利用待定系数法解答． （1）由题意可知该图象是一次函数，然后根据待定系数法求出函数解析式即可． （2）把代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：设y与x之间函数关系式为， 由题意得：， 解得：， 答：y与x之间函数关系式为； 【小问2详解】 解：根据题意，当时， 解得 答：当圆柱体容器液面高度时，该计时器计时时长 23. 综合与实践：在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板（规格：，），要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒．小明按照图2裁剪，恰好得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分（如图3所示）． （1）若收纳盒高是，则该收纳盒底面的边___________，___________； （2）如图3，若收纳盒的底面积是，如图4，一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒？（要能盖上盖子，且不考虑倾斜放入） 【答案】（1）20，40 （2）不能 【解析】 【分析】本题主要考查了长方体展开图的特点，一元二次方程的实际应用． （1）根据题意可得高的2倍加上的长等于的长，高的2倍加上2倍的的长等于的长，据此求解即可； （2）设收纳盒高为，，进而表示出底面长方形的长和宽，根据长方形面积计算公式建立方程求出长、宽、高，据此可得结论． 【小问1详解】 解：由题意得，，． 故答案为：20；40； 【小问2详解】 解：设收纳盒高为， 根据题意得， ，（舍去）， 收纳盒长、宽、高分别为、、， ， 玩具机械狗不能放入该收纳盒． 24. 如图1，在边长为2的正方形中，点E在上，点F在射线上，作正方形，连接，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）如图2，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为正方形， ∴，， 即， ∵四边形为正方形， ∴，， 即 ∴， ∴； （2） 证明：设， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∵四边形为正方形 ∴，， ∴， ∴， 在中， ， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查狗狗股定理，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质利用证明即可解题； （2）根据正方形的性质得到，然后根据三角形的内角和定理计算即可； （3）根据正方形的性质得到，然后利用勾股定理解题即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵四边形为正方形 ∴，， ∵， ∴， ∴ 即 ∴ ∴ 由（1）知，， ∴ 在中， ∴， ∴， ∴． 25. 已知二次函数的最小值为，且其图象过点． （1）求的值； （2）已知点． ①若直线与抛物线相交于两点，求的最大值； ②已知点是抛物线上异于其顶点的任意一点，过作垂直轴于，的中点为，请证明平分． 【答案】（1） （2）①当时，的最大值为； ②证明：如图，取的中点，连接. 依题意可设，则， ∵，分别为的中点， 则， ∴. 由勾股定理，得， ∴. ∴，则. ∵， ∴. ∴. ∴平分. 【解析】 【分析】（1）由二次函数的最小值为0，可得，将点代入即可求得a的值； （2）（ⅰ）根据直线与相交于两点，解得．设，整理可得，根据二次函数的性质分情况讨论即可； （ⅱ）取的中点，连接．设，则，求得．由勾股定理，得，，证得．根据，可得，即可证明平分． 【小问1详解】 ∵二次函数的最小值为0， ∴ 又其图象过点， ∴，解得， ∴. 【小问2详解】 ①由（1）知抛物线方程为，又直线与相交于两点，设在的右边， ∴， ∴ ∵， ∴， 当随着的增大而减少，当且仅当时，取得最大值； 当随着的增大而增大，当且仅当时，取得最大值. 因此当时，取得最大值. ②略 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，利用数形结合的思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $