1.1.1 集合（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（湘教版2019）

第1章　集合与逻辑 1.1　集合 1.1.1　集合 基础过关练 题组一　集合的概念与元素的特性 1.下列对象能构成集合的是(　　) ①所有很高的山峰;②方程x2+3x-4=0的实数根;③所有小于10的自然数;④cos 60°,sin 45°,cos 45°. A.①②　　B.②③　　C.①④　　D.③④ 2.下列四个集合中,是空集的是(　　) A.{x|x+3=3} B.{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R} C.{x|x2≤0} D.{x|x2-x+1=0,x∈R} 3.下列说法中,正确的有　　　　.(填序号)  ①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个; ②集合M中有3个元素:a,b,c,其中a,b,c是△ABC的三边长,则△ABC不可能是等腰三角形; ③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列,可分别构成不同的两个集合; ④集合M={3,4}与N={(3,4)}表示同一个集合. 题组二　元素与集合的关系 4.(多选)下列说法中,正确的是(　　) A.若a∈Z,则-a∈Z B.R中最小的元素是0 C.的近似值的全体构成一个集合 D.一个集合中不可以有两个相同的元素 5.用符号“∈”或“∉”填空: (1)设集合B是小于的所有实数的集合,则2　　　　B,1+　　　　B;  (2)设集合D是由满足方程y=x2的有序实数对(x,y)组成的集合,则-1　　　　D,(-1,1)　　　　D.  题组三　表示集合的方法 6.集合{x∈Z|(3x-1)(x-4)=0}可化简为(　　) A.　　B.{4}　　C.　　D.{-4} 7.(多选)能正确表示方程组的解集的是(　　) A.{(x,y)|x=-1或y=2} B. C.{x=-1,y=2} D.{(-1,2)} 8.用列举法表示集合M==　　　　.  9.用区间表示下列集合: (1)=　　　　;  (2){x|x<1}=　　　　;  (3){x|x≥4}=　　　　.  10.用适当的方法表示下列集合: (1)所有能被3整除的数组成的集合A=　　　　;  (2)满足方程x=|x|,x∈Z的所有x的值组成的集合B=　　　　.  能力提升练 题组一　集合的概念与元素的特性 1.(多选)下列四个命题中正确的是(　　) A.⌀={0} B.由实数x,-x,|x|,,-所组成的集合最多含2个元素 C.集合{x|x2-2x+1=0}中只有一个元素 D.集合是有限集 2.已知集合A={12,a2+4a,a-2},-3∈A,则a=(　　) A.-1　　　　B.-3或1　　 C.3　　　　 D.-3 3.已知a,b,c均为非零实数,集合A=,则集合A中元素的个数为　　　　.  题组二　元素与集合的关系及表示集合的方法 4.已知集合M={x|x2+x=0},则(　　) A.{0}∈M　　　　B.⌀∈M C.-1∉M　　　　D.-1∈M 5.(多选)已知集合A={x|x=2m-1,m∈Z},B={x|x=2n,n∈Z},且x1,x2∈A,x3∈B,则下列判断正确的是(　　) A.x1·x2∈A　　　　B.x2·x3∈B C.x1+x2∈B　　　　 D.x1+x2+x3∈A 6.已知集合M={m|m=a+b,a∈Q,b∈Q},若x=,y=3+π,则x,y与集合M间的关系正确的是(　　) A.x∈M,y∈M　　　　B.x∈M,y∉M C.x∉M,y∈M　　　　 D.x∉M,y∉M 7.设P={1,2,3,4},Q={4,5,6,7,8},定义P*Q={(a,b)|a∈P,b∈Q,a≠b},则P*Q中元素的个数为(　　) A.4　　 B.5　　 C.19　　D.20 8.已知集合A中有且仅有2个元素,并且实数a满足a∈A,且4-a∈A.若a∈N,4-a∈N,则A=　 　.  题组三　集合的综合问题 9.已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}. (1)若1∈A,用列举法表示集合A; (2)当集合A中有且仅有一个元素时,求a的值组成的集合B. 10.已知由实数组成的集合A,1∉A,且满足若x∈A,则∈A. (1)设A中含有3个元素,且2∈A,求A; (2)A能否是仅含一个元素的单元素集?试说明理由; (3)A中所含元素的个数一定是3n(n∈N+)吗?若是,请给出证明,若不是,请说明理由. 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.B　对于①,“很高的山峰”没有一个明确的标准,不符合集合中元素的确定性,不能构成集合; 对于②,方程x2+3x-4=0的根是-4,1,是确定的,能构成集合; 对于③,小于10的自然数有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,是确定的,能构成集合; 对于④,因为cos 60°=,sin 45°=,cos 45°=,所以sin 45°与cos 45°相等,故不符合集合中元素的互异性,不能构成集合.故选B. 2.D　选项A,{x|x+3=3}={0}; 选项B,{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R}={(0,0)}; 选项C,{x|x2≤0}={0}; 选项D,方程x2-x+1=0中,Δ=1-4=-3<0,∴该方程无实数解,∴{x|x2-x+1=0,x∈R}=⌀.故选D. 3.答案　② 解析　①不正确.单词book中的字母o有重复,共有3个不同字母,因此单词book的所有字母组成的集合的元素个数是3. ②正确.因为a,b,c是集合M中的3个元素,所以a,b,c互不相等,因此△ABC的三边长互不相等,故△ABC不可能是等腰三角形. ③不正确.小于10的自然数不管按哪种顺序排列,构成的集合里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数,集合是相同的. ④不正确.集合M={3,4}表示数3,4构成的集合,集合中有两个元素,集合N={(3,4)}表示点集,集合中有一个元素,故集合M与N不是同一个集合. 4.AD　若a∈Z,则-a也是整数,即-a∈Z,故A正确; 因为实数集中没有最小的元素,所以B错误; 因为“的近似值”不具有确定性,所以不能构成集合,故C错误; 同一集合中的元素是互不相同的,故D正确.故选AD. 5.答案　(1)∉;∈　(2)∉;∈ 解析　(1)∵2=>,∴2∉B. ∵1+<3<,∴1+∈B. (2)∵集合D中的元素是有序实数对(x,y),而-1不是有序实数对,∴-1∉D. ∵(-1)2=1,∴(-1,1)是满足方程y=x2的有序实数对,∴(-1,1)∈D. 6.B　解方程(3x-1)(x-4)=0,得x1=,x2=4.因为x∈Z,所以{x∈Z|(3x-1)(x-4)=0}={4}.故选B. 7.BD　由得故方程组的解集可表示为或{(-1,2)}.故选BD. 8.答案　{0,1,2,3,5,11} 解析　因为∈N+,m∈Z,所以m+1是12的正约数,故m+1∈{1,2,3,4,6,12},所以m∈{0,1,2,3,5,11},所以M={0,1,2,3,5,11}. 9.答案　(1)　(2)(-∞,1)　(3)[4,+∞) 10.答案　(答案不唯一)(1){x|x=3n,n∈Z}　 (2){x|x∈N} 能力提升练 1.BCD　对于A,空集不含任何元素,集合{0}有一个元素0,所以⌀={0}不正确;对于B,由于=|x|,-=-x,且在x,-x,|x|中,当x>0时,|x|=x,当x<0时,|x|=-x,当x=0时,|x|=x=-x=0,三者中至少有两个相等,所以由集合中元素的互异性可知,该集合中最多含2个元素,故B正确;对于C,{x|x2-2x+1=0}={1},故该集合中只有一个元素,故C正确;对于D,集合={1,5}是有限集,故D正确.故选BCD. 2.D　∵-3∈A,∴-3=a2+4a或-3=a-2. 若-3=a2+4a,则a=-1或a=-3. 当a=-1时,a2+4a=a-2=-3,不满足集合中元素的互异性,故舍去;当a=-3时,集合A={12,-3,-5},满足题意,故a=-3成立. 若-3=a-2,则a=-1,由上述讨论可知,不满足题意,故舍去. 综上所述,a=-3.故选D. 3.答案　2 解析　当a>0,b>0时,ab>0,x=++=1+1+1=3; 当a>0,b<0时,ab<0,x=++=1-1-1=-1; 当a<0,b<0时,ab>0,x=++=-1-1+1=-1; 当a<0,b>0时,ab<0,x=++=-1+1-1=-1. 故A={-1,3},A中元素的个数为2. 4.D　因为集合M={x|x2+x=0}={0,-1},所以-1∈M,故选D. 5.ABC　集合A是奇数集,集合B是偶数集,∴x1,x2是奇数,x3是偶数,∴x1·x2为奇数,x2·x3为偶数,x1+x2为偶数,x1+x2+x3为偶数.故选ABC. 6.B　x==-- 中,-∈Q,-∈Q, 故x∈M. y=3+π中,3∈Q,π∉Q,故y∉M.故选B. 7.C　当a=1时,集合P*Q中的元素有(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(1,8),共5个, 当a=2时,集合P*Q中的元素有(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),共5个, 当a=3时,集合P*Q中的元素有(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(3,8),共5个, 当a=4时,集合P*Q中的元素有(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),共4个, 所以集合P*Q中共有元素5+5+5+4=19(个).故选C. 8.答案　{1,3}或{0,4} 解析　因为a∈N,4-a∈N,所以a=0,1,2,3,4.当a=0时,4-a=4∈N(或a=4时,4-a=0∈N),集合A={0,4},满足题意;当a=1时,4-a=3∈N(或a=3时,4-a=1∈N),集合A={1,3},满足题意;当a=2时,4-a=2∈N,这时不存在满足题意的集合A. 综上所述,A={1,3}或A={0,4}. 9.解析　(1)若1∈A,则1是方程ax2+2x+1=0的实数根, ∴a+2+1=0,解得a=-3, ∴方程为-3x2+2x+1=0, 解得x=1或x=-, ∴A=. (2)当a=0时,方程ax2+2x+1=0即2x+1=0, 解得x=-,此时A=; 当a≠0时,若集合A中有且仅有一个元素,则关于x的方程ax2+2x+1=0有两个相等的实数根, ∴解得a=1, 此时A={-1}. 综上,当a=0或a=1时,集合A中有且仅有一个元素,∴a的值组成的集合B={0,1}. 10.解析　(1)因为当x∈A时,∈A,且2∈A, 所以=-1∈A,=∈A,=2∈A, 所以A=. (2)不能.理由如下: 假设集合A是仅含一个元素的单元素集, 则=x,即x2-x+1=0, 因为Δ=-3<0,所以该方程无实数解, 所以A不能是仅含一个元素的单元素集. (3)一定是3n(n∈N+)个.证明如下: 因为1∉A,且当x∈A时,∈A, 所以==1-∈A, 所以=x∈A. 下面证明x,,1-互不相等. 由(2)知x,不相等; 假设1-=x,则x2-x+1=0,该方程无实数解,故x,1-不相等; 假设=1-,则x2-x+1=0,该方程无实数解,故,1-不相等. 所以集合A中所含元素的个数一定是3n(n∈N+)个. 学科网（北京）股份有限公司 $$