1.1.1 集合-（Word同步练习）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（湘教版）

**基本信息** 高中数学集合同步练，分层设计清晰，基础层巩固概念与基本方法，提升层深化综合应用与抽象推理，适配新授课教学，培养数学抽象、推理及应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|集合概念、元素特性、元素与集合关系、集合表示方法|以选择填空为主，注重概念辨析（如空集判断、列举法表示）| |能力提升练|集合元素互异性、综合运算、参数问题、抽象集合证明|含多选题与解答题，强调综合应用（如集合与方程结合、抽象集合元素个数证明）|

第1章　集合与逻辑 1.1　集合 1.1.1　集合 基础过关练 题组一　集合的概念与元素的特性 1.(2026福建泉州期中)下列给出的对象能构成集合的有(　　) ①某校2023年入学的全体高一年级新生;②的所有近似值;③某个班级中学习成绩较好的所有学生;④不等式3x-10<0的所有正整数解. A.1个　　　　B.2个　　　　C.3个　　　　D.4个 2.(2025山东曲阜月考)下列四个集合中,是空集的是(　　) A.{x|x+3=3} B.{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R} C.{x|x2≤0} D.{x|x2-x+1=0,x∈R} 3.下列说法中,正确的有　　　　.(填序号)  ①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个;②集合S={a,b,c},其中a,b,c是△ABC的三边长,则△ABC不可能是等腰三角形;③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列,可构成两个不同的集合;④集合M={3,4}与N={(3,4)}表示同一个集合. 题组二　元素与集合的关系 4.(2026黑龙江牡丹江第三高级中学期中)下列元素与集合的关系中,正确的是(　　) A.∉R　　　　B.π∈Q　　　　C.0∉N+　　　　D.-1∈N 5.(2025江苏无锡梅村高级中学检测)若集合A={x|x=3k+2,k∈Z},则下列判断正确的是(　　) A.3∈A　　　　B.4∈A　　　　 C.-3∈A　　　　D.-4∈A 题组三　表示集合的方法 6.(2026吉林长春月考)集合{x|-1≤2x+3≤8,x∈N}用列举法表示为(　　) A.{-2,-1,0,1,2}　　　　B.{-1,0,1,2} C.{0,1,2}　　　　D.{1,2} 7.(多选题)能正确表示方程组的解集的是(　　) A.{(x,y)|x=-1或y=2} B. C.{x=-1,y=2} D.{(-1,2)} 8.用区间表示下列集合: (1)=　　　　;  (2){x|x<1}=　　　　;  (3){x|x≥4}=　　　　.  9.(2025四川南充阆中中学月考)用描述法表示下列集合. (1)所有不在第一、三象限内的点组成的集合; (2)所有被3除余1的整数组成的集合; (3)使y=有意义的实数x组成的集合; (4)方程(x-2)2+(y+3)2=0的解集. 能力提升练 题组一　集合的概念与元素的特性 1.(多选题)(2024浙江绍兴柯桥中学月考)下列四个命题中正确的是(　　) A.⌀={0} B.由实数x,-x,|x|,,-所组成的集合最多含2个元素 C.集合{x|x2-2x+1=0}中只有一个元素 D.集合是有限集 2.(2024山东烟台期末)若集合A={1,2m,m2-m},且0∈A,则m的值为(　　) A.0　　　　B.1　　　　C.0或1　　　　D.0或-1 3.已知a,b均为非零实数,集合A=,则集合A中元素的个数为　　　　.  题组二　元素与集合的关系 4.(2025山西晋城月考)已知集合P={x|x=27m,m∈N+},Q={x|x=111n,n∈N+},a=7412-1472,则(　　) A.a∉P且a∈Q　　　　B.a∈P且a∉Q C.a∈P且a∈Q　　　　D.a∉P且a∉Q 5.(2025河南开封高级中学期中)已知集合A={x|x2-ax+1<0},若2∈A,且3∉A,则a的取值范围是(　　) A.　　　　B. C.　　　　D. 6.(多选题)(2025陕西西安第八十五中学月考)已知集合A={x|x=3k-1,k∈Z},B={x|x=3k,k∈Z},C={x|x=6k-1,k∈Z}.若a∈A,b∈B,c∈C,则下列结论中一定正确的是(　　) A.c-b∈A　　　　B.a-c∈B C.a+b∈C　　　　D.a+b+c∈B 题组三　集合的综合问题 7.(2025上海建平中学阶段检测)若集合S={x|(x+a)(x2+bx+c)=0,x∈R},T={x|(ax+1)·(cx2+bx+1)=0,x∈R},∈S,-2∈T,且集合S,T均恰有两个元素,则所有三元数对(a,b,c)组成的集合为　　　　.  8.(2024湖南名校联考联合体期中)已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}. (1)若1∈A,用列举法表示集合A; (2)当集合A中有且仅有一个元素时,求a的值组成的集合B. 9.(2026江西景德镇月考)已知由实数组成的集合A,1∉A,且满足若x∈A,则∈A. (1)设A中含有3个元素,且2∈A,求A; (2)A能否是仅含一个元素的单元素集?试说明理由; (3)A中所含元素的个数一定是3n(n∈N+)吗?若是,请给出证明;若不是,请说明理由. 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.B　易知①中对象能构成集合;对于②,精确度不一样得到的近似值不一样,对象不确定,故不能构成集合;对于③,学习成绩较好是相对的,对象不确定,故不能构成集合;对于④,满足不等式3x-10<0的所有正整数有1,2,3,能构成集合. 2.D　选项A,{x|x+3=3}={0}; 选项B,{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R}={(0,0)}; 选项C,{x|x2≤0}={0}; 选项D,方程x2-x+1=0中,Δ=1-4=-3<0,∴该方程无实数解,∴{x|x2-x+1=0,x∈R}=⌀. 3.答案　② 解析　①不正确.单词book中的字母o有重复,共有3个不同字母,因此单词book的所有字母组成的集合的元素个数是3. ②正确.因为a,b,c是集合S中的3个元素,所以a,b,c互不相等,因此△ABC三边的长互不相等,故△ABC不可能是等腰三角形. ③不正确.小于10的自然数不管按哪种顺序排列,构成的集合里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数,集合是相同的. ④不正确.集合M={3,4}表示数3,4构成的集合,集合中有两个元素,集合N={(3,4)}表示点集,集合中有一个元素,故集合M与N不是同一个集合. 4.C　 5.D　对于A,令3k+2=3,解得k=∉Z,故A错误; 对于B,令3k+2=4,解得k=∉Z,故B错误; 对于C,令3k+2=-3,解得k=-∉Z,故C错误; 对于D,令3k+2=-4,解得k=-2∈Z,故D正确. 6.C　由-1≤2x+3≤8,得-2≤x≤, 所以{x|-1≤2x+3≤8,x∈N}=={0,1,2}. 7.BD　由得故方程组的解集可表示为或{(-1,2)}. 8.答案　(1)　(2)(-∞,1)　(3)[4,+∞) 9.解析　(1)∵不在第一、三象限内的点在第二、四象限内或坐标轴上,∴所有不在第一、三象限内的点组成的集合为{(x,y)|xy≤0,x∈R,y∈R}. (2)被3除余1的整数可表示为3n+1,n∈Z,∴所有被3除余1的整数组成的集合为{x|x=3n+1,n∈Z}. (3)要使y=有意义,则x2+x-6≠0,解得x≠2且x≠-3,∴使y=有意义的实数x组成的集合为{x|x≠2且x≠-3}. (4)由(x-2)2+(y+3)2=0,得x=2,y=-3,∴该方程的解集为{(x,y)|x=2,y=-3}. 能力提升练 1.BCD　对于A,空集不含任何元素,集合{0}有一个元素0,故A不正确;对于B,由于=|x|,-=-x,且在x,-x,|x|中,当x>0时,|x|=x,当x<0时,|x|=-x,当x=0时,|x|=x=-x=0,三者中至少有两个相等,所以由集合中元素的互异性可知,该集合中最多含2个元素,故B正确;对于C,{x|x2-2x+1=0}={1},故该集合中只有一个元素,故C正确;对于D,集合={1,5}是有限集,故D正确. 2.B　因为0∈A,所以2m=0或m2-m=0,解得m=0或m=1,当m=0时,2m=m2-m,不满足集合中元素的互异性,舍去,当m=1时,符合题意. 3.答案　2 解析　当a>0,b>0时,ab>0,x=++=1+1+1=3; 当a>0,b<0时,ab<0,x=++=1-1-1=-1; 当a<0,b<0时,ab>0,x=++=-1-1+1=-1; 当a<0,b>0时,ab<0,x=++=-1+1-1=-1. 故A={-1,3},A中元素的个数为2. 4.C　易得a=(741+147)×(741-147)=888×594=111×8×27×22,所以a∈P且a∈Q. 5.B　由题意得22-2a+1<0,且32-3a+1≥0,解得<a≤. 6.AB　由题意可设a=3m-1,b=3n,c=6p-1,m,n,p∈Z, 则c-b=3(2p-n)-1∈A,a-c=3(m-2p)∈B,a+b=3(m+n)-1∈A,当m+n不是偶数时,a+b∉C,a+b+c=3(m+n+2p)-2∉B. 7.答案　,,, 解析　由题意得为方程(x+a)(x2+bx+c)=0的一个根,-2是(ax+1)(cx2+bx+1)=0的一个根. 若+a=0,即a=-,则ax+1=0的根为2,故-2是cx2+bx+1=0的根,将x=-2代入cx2+bx+1=0,得4c-2b+1=0①, 对于cx2+bx+1=0, 若Δ=b2-4c=0②,则由①②得此时S中也只有两个元素,满足题意,故一个三元数对为; 若Δ=b2-4c>0,则2是cx2+bx+1=0的另一个根, 故4c+2b+1=0③,由①③得此时S中也只有两个元素,满足题意,故一个三元数对为. 若-2a+1=0,即a=,则x+a=0的根为-, 故为x2+bx+c=0的根,即+b+c=0④, 对于x2+bx+c=0, 若Δ'=b2-4c=0⑤,则由④⑤得此时T中也只有两个元素,满足题意,故一个三元数对为; 若Δ'=b2-4c>0,则-是x2+bx+c=0的另一个根, 故-b+c=0⑥,由④⑥得此时T中也只有两个元素,满足题意,故一个三元数对为. 综上,所求集合为,,,. 8.解析　(1)若1∈A,则1是方程ax2+2x+1=0的实数根, ∴a+2+1=0,解得a=-3,∴方程为-3x2+2x+1=0,解得x=1或x=-,∴A=. (2)当a=0时,方程ax2+2x+1=0即2x+1=0,解得x=-,此时A=; 当a≠0时,若集合A中有且仅有一个元素, 则关于x的方程ax2+2x+1=0有两个相等的实数根, ∴解得a=1,此时A={-1}. 综上,当a=0或a=1时,集合A中有且仅有一个元素,∴a的值组成的集合B={0,1}. 9.解析　(1)因为当x∈A时,∈A,且2∈A, 所以=-1∈A,=∈A,=2∈A, 所以A=. (2)不能.理由如下: 假设集合A是仅含一个元素的单元素集, 则=x,即x2-x+1=0, 因为Δ=-3<0,所以该方程无实数解, 所以A不能是仅含一个元素的单元素集. (3)一定是3n(n∈N+).证明如下: 因为1∉A,且当x∈A时,∈A, 所以==1-∈A,所以=x∈A. 下面证明x,,1-互不相等. 由(2)知x,不相等; 假设1-=x,则x2-x+1=0,该方程无实数解,故x,1-不相等; 假设=1-,则x2-x+1=0,该方程无实数解,故,1-不相等. 所以集合A中所含元素的个数一定是3n(n∈N+). 2 学科网（北京）股份有限公司 $