第2章 综合拔高练（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（湘教版2019）

综合拔高练 高考真题练 考点1　一元二次不等式及其应用 1.(2020全国Ⅰ文,1)已知集合A={x|x2-3x-4<0},B={-4,1,3,5},则A∩B=(　　) A.{-4,1}　　　　B.{1,5}　　 C.{3,5}　　　　D.{1,3} 2.(2020全国Ⅰ理,2)设集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a=(　　) A.-4　　　　B.-2　　 C.2　　　　D.4 3.(2019天津,3)设x∈R,则“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点2　基本不等式及其应用 4.(2020天津,14)已知a>0,b>0,且ab=1,则++的最小值为　　　　.  5.(2020江苏,12)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是　　　　.  考点3　等式与不等式的实际应用 6.(2019课标全国Ⅰ,4)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是≈0.618,称为黄金分割比例,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是(　　) A.165 cm　　　　B.175 cm　　 C.185 cm　　　　D.190 cm 7.(2017江苏,10)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是　　　　.  8.(2019北京,14)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%. ①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付　　　　元;  ②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为　　　　.  高考模拟练 应用实践 1.若集合A={x|x2-5x-6≤0,x∈R},集合 B={y|y=x2+2x+4,x∈R},则A∩B=(　　) A.[3,6]　　　　B.(3,6] C.[-1,3]　　　　D.[-1,6] 2.若不等式>1的解集为(-∞,-1)∪(4,+∞),则≥0的解集为(　　) A.　　　　B.[-1,1) C.　　　　D. 3.已知正数x,y满足x+=2,且+(a>0)的最小值为2,则a的值为(　　) A.　　　　B.2　　 C.1　　　　D.3 4.(多选)下列说法正确的是(　　) A.若m=+2,n=+,则m<n B.“x>1”是“x2+2x-3>0”的充分不必要条件 C.“ac2>bc2”的必要不充分条件是“a>b” D.设x>0,y>0,且x+y=2,则x2+y2的最小值是2 5.(多选)已知集合{x|x2+ax+b=0,a>0}有且仅有两个子集,则下列结论正确的是(　　) A.a2-b2≤4 B.a2+≥4 C.若不等式x2+ax-b<0的解集为(x1,x2),则x1x2>0 D.若不等式x2+ax+b<c的解集为(x1,x2),且|x1-x2|=4,则c=4 6.若使不等式x2+(a+2)x+2a≤0成立的任意一个x都满足不等式x-1≤0,则实数a的取值范围为(　　) A.{a|a>-1}　　　　 B.{a|a≥-1} C.{a|a<-1}　　　　 D.{a|a≤-1} 7.已知关于x的不等式x2-2mx+m+2≤0(m∈R)的解集为M. (1)当M为空集时,求实数m的取值范围; (2)在(1)的条件下,求的最小值; (3)当M不为空集,且M⊆{x|1≤x≤4}时,求实数m的取值范围. 8.垃圾分类是对垃圾收集处置传统方式的改革,是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法.所谓垃圾其实都是资源,当你放错了位置时它才是垃圾.某企业在市科研部门的支持下进行研究,把厨余垃圾加工处理为一种可销售的产品.已知该企业每周的加工处理量最少为75吨,最多为100吨.周加工处理成本y(元)与周加工处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-30x+2 700,且每加工处理一吨厨余垃圾得到的产品售价为16元. (1)该企业每周加工处理量为多少吨时,才能使每吨产品的平均加工处理成本最低? (2)该企业每周能否获利?如果获利,求出利润的最大值;如果不获利,则市政府至少需要补贴多少元才能使该企业不亏损? 迁移创新 9.我们学习了二元基本不等式,有如下结论:如果a>0,b>0,则≤,当且仅当a=b时,等号成立.利用基本不等式及其变形可以证明其他不等式,也可以利用“和定积最大,积定和最小”求最值. (1)对于三元基本不等式,请猜想:设a>0,b>0,c>0,则　　　　≤,当且仅当a=b=c时,等号成立(把横线补全即可,不需要证明);  (2)利用(1)中猜想的三元基本不等式证明:当a>0,b>0,c>0时,(a2+b2+c2)(a+b+c)≥9abc; (3)利用(1)中猜想的三元基本不等式求最值:设a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,求(1-a)·(1-b)(1-c)的最大值. 答案与分层梯度式解析 高考真题练 1.D　由x2-3x-4<0,得(x-4)(x+1)<0,解得-1<x<4,∴A={x|-1<x<4},又∵B={-4,1,3,5},∴A∩B={1,3},故选D. 2.B　由已知可得A={x|-2≤x≤2},B=, ∵A∩B={x|-2≤x≤1},∴-=1, ∴a=-2.故选B. 3.B　由x2-5x<0得0<x<5,记A={x|0<x<5},由|x-1|<1得0<x<2,记B={x|0<x<2},显然B⫋A,∴“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的必要而不充分条件,故选B. 4.答案　4 解析　++=+=+≥2=4, 当且仅当=,即(a+b)2=16,亦即a+b=4时取等号. 又∵ab=1,∴或 ∴++的最小值为4. 5.答案　 解析　由5x2y2+y4=1知y≠0,∴x2=,∴x2+y2=+y2==+≥2=,当且仅当=,即y2=,x2=时取“=”.故x2+y2的最小值为. 6.B　由人体特征可知,头顶至咽喉的长度应小于头顶至脖子下端的长度,故咽喉至肚脐的长度应小于≈42 cm,可得到此人的身高应小于26+42+≈178 cm;同理,肚脐至足底的长度应大于腿长105 cm,故此人的身高应大于105+105×0.618≈170 cm.结合选项可知,只有B选项符合题意,故选B. 7.答案　30　 解析　设总费用为y万元,则y=×6+4x=4≥240. 当且仅当x=, 即x=30时,等号成立. 8.答案　①130　②15 解析　①x=10时,一次购买草莓和西瓜各1盒,共140元,由题可知顾客需支付140-10=130(元). ②设每笔订单金额为m元,则只需考虑m≥120时的情况. 根据题意得(m-x)×80%≥m×70%, 所以x≤,而m≥120, 为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,所以x≤, 而=15,则x≤15. 所以x的最大值为15. 高考模拟练 1. A　因为A={x|x2-5x-6≤0,x∈R}=[-1,6], B={y|y=x2+2x+4=(x+1)2+3,x∈R}=[3,+∞), 所以A∩B=[3,6].故选A. 2.C　不等式>1可化为[(a-1)x-b+1](x+b)>0. 因为其解集为(-∞,-1)∪(4,+∞), 所以a-1>0,即a>1,且方程(ax-x-b+1)(x+b)=0的两个根为x1=-1,x2=4, 则或 解得或(舍去), 所以≥0可化为≥0, 整理得 解得-6≤x<-, 所以不等式的解集为.故选C. 3.C　因为正数x,y满足x+=2, 所以+= =a+1++ ≥ =(a+1+2), 当且仅当=时,等号成立, 所以+的最小值为(a+1+2), 令(a+1+2)=2,结合a>0,解得a=1.故选C. 4.BCD　由m=+2,n=+,得m2=(+2)2=7+4,n2=(+)2=7+2, ∵4>2,∴m2>n2,即m>n,故A错误; 由x2+2x-3>0,得x>1或x<-3, ∴“x>1”是“x2+2x-3>0”的充分不必要条件,故B正确; 由“a>b”推不出“ac2>bc2”,由“ac2>bc2”可推出“a>b”,∴“ac2>bc2”的必要不充分条件是“a>b”,故C正确; ∵x>0,y>0,且x+y=2, ∴x2+y2≥==2,当且仅当x=y=1时取等号,故D正确.故选BCD. 5.ABD　由于集合{x|x2+ax+b=0,a>0}有且仅有两个子集,所以Δ=a2-4b=0,a2=4b, 由于a>0,所以b>0. 对于A,a2-b2=4b-b2=-(b-2)2+4≤4,当b=2,a=2时等号成立,故A正确; 对于B,a2+=4b+≥2=4,当且仅当4b=,即b=,a=时等号成立,故B正确; 对于C,因为不等式x2+ax-b<0的解集为(x1,x2),所以x1x2=-b<0,故C错误; 对于D,不等式x2+ax+b<c, 即x2+ax+b-c<0的解集为(x1,x2),且|x1-x2|=4, 则x1+x2=-a,x1x2=b-c, 所以=(x1+x2)2-4x1x2=a2-4(b-c)=4c=16,解得c=4,故D正确.故选ABD. 6.B　不等式x-1≤0的解集为{x|x≤1}. 由题意得不等式x2+(a+2)x+2a≤0的解集是{x|x≤1}的子集. 不等式x2+(a+2)x+2a≤0即(x+2)(x+a)≤0. ①当a=2时,不等式的解集为{-2},满足{-2}⊆{x|x≤1}; ②当a<2时,不等式的解集为{x|-2≤x≤-a},若{x|-2≤x≤-a}⊆{x|x≤1},则-a≤1, 所以-1≤a<2; ③当a>2时,不等式的解集为{x|-a≤x≤-2},满足{x|-a≤x≤-2}⊆{x|x≤1}. 综上所述,实数a的取值范围为{a|a≥-1}. 故选B. 7.解析　(1)∵M为空集, ∴Δ=4m2-4(m+2)<0,即m2-m-2<0, 解得-1<m<2, ∴实数m的取值范围为{m|-1<m<2}. (2)由(1)知-1<m<2,则0<m+1<3, ∴==(m+1)+≥2=4, 当且仅当m+1=,即m=1时等号成立. ∴的最小值为4. (3)设函数y=x2-2mx+m+2,结合其图象(图略)可知,当M不为空集时,由M⊆{x|1≤x≤4},得解得2≤m≤. 综上,实数m的取值范围为. 8.解析　(1)由题意可知, 每吨产品的平均加工处理成本=+-30≥2-30=30, 当且仅当=,即x=90时,等号成立.故该企业每周加工处理量为90吨时,才能使每吨产品的平均加工处理成本最低. (2)设该企业每周获利为s元,则s=16x-y=-x2+46x-2 700=-(x-69)2-1 113, ∵75≤x≤100,∴当x=75时,smax=-1 125. 故该企业每周不能获利,市政府每周至少需要补贴1 125元才能使该企业不亏损. 9.解析　(1) (2)证明:由(1)可得当a>0,b>0,c>0时,≥,∴·≥·==abc,当且仅当a=b=c时,等号成立. ∴(a2+b2+c2)(a+b+c)≥9abc. (3)∵a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1, ∴1-a=b+c>0,1-b=a+c>0,1-c=a+b>0, ∴(1-a)(1-b)(1-c)=(b+c)(a+c)(a+b)≤=(a+b+c)3==,当且仅当b+c=a+c=a+b,即a=b=c=时取等号,故(1-a)(1-b)(1-c)的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$