第2章 习题课 不等式恒成立、能成立问题（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦高中数学不等式恒成立与能成立问题，系统梳理从R上恒成立（判别式法）到给定区间恒成立（端点值分析）再到能成立问题（存在性转化）的递进脉络，构建“方法-应用-拓展”的学习支架。 资料以典型例题为载体，通过数形结合将抽象不等式转化为函数图象问题培养数学眼光，分类讨论参数（如例1中k=0与k≠0）发展数学思维，规范解题步骤强化数学语言表达。课中助力教师系统教学，课后对点练帮助学生巩固提升，弥补薄弱环节。

习题课　不等式恒成立、能成立问题 学习目标　会用判别式法、分离参数法、数形结合等方法解决不等式中的恒成立、能成立问题. 一、在R上的恒成立问题 例1　已知任意x∈R,不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立,求实数k的取值范围. 解　当k＝0时,原不等式化为－2<0,显然符合题意. 当k≠0时,令y＝kx2＋2kx－(k＋2),由y<0恒成立,得其图象都在x轴的下方, 即开口向下,且与x轴无交点. ∴解得－1<k<0. 综上,实数k的取值范围是{k|－1<k≤0}. 反思感悟　转化为一元二次不等式解集为R的情况 ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔ 提醒：若题目中未强调是一元二次不等式,且二次项系数含参,则一定要讨论二次项系数是否为0. 跟踪训练1　“关于x的不等式ax2－2x＋1>0对∀x∈R恒成立”的一个必要而不充分条件是(　　) A.a>0 B.a>1 C.0<a< D.a>2 答案　A 解析　当a＝0时,则－2x＋1>0,解得x<不合题意； 当a≠0时,则解得a>1. 综上所述,“关于x的不等式ax2－2x＋1>0对∀x∈R恒成立”的充要条件为a>1, 所以一个必要而不充分条件是a>0. 二、在给定区间上的恒成立问题 例2　当1≤x≤2时,不等式x2＋mx＋4<0恒成立,求实数m的取值范围. 解　令y＝x2＋mx＋4. ∵y<0在1≤x≤2上恒成立. ∴y＝0的根一个小于1,另一个大于2. 如图,可得 ∴m的取值范围是{m|m<－5}. 反思感悟　在给定区间上的恒成立问题 (1)当a>0时,ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α,x＝β时的函数值同时小于0. (2)当a<0时,ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α,x＝β时的函数值同时大于0. 跟踪训练2　若对任意的－3≤x≤－1都有ax2－x－3<0成立,则实数a的取值范围是　　　　.  答案　a<0 解析　ax2－x－3<0等价于a<在－1≤≤－上恒成立,令m＝即a<3m2＋m在－1≤m≤－上恒成立,二次函数y＝3m2＋m的对称轴为m＝－所以当m＝－时,y有最小值为0,故a<0. 三、解决简单的能成立问题 例3　当1<x<2时,关于x的不等式x2＋mx＋4>0有解,则实数m的取值范围为　　　　.  答案　{m|m>－5} 解析　记y＝x2＋mx＋4,则由二次函数的图象(图略)知,不等式x2＋mx＋4>0(1<x<2)有解,即m＋5>0或2m＋8>0,解得m>－5. 反思感悟　(1)结合二次函数图象,将问题转化为端点值的问题解决. (2)对一些简单的问题,可转化为m>ymin或m<ymax的形式,通过求y的最小值与最大值,求得参数的取值范围. 跟踪训练3　若存在x∈R,使得≥2成立,求实数m的取值范围. 解　∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0, ∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立, ∴m≥2x2－8x＋6能成立, ∴2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2, ∴m≥－2, ∴m的取值范围为{m|m≥－2}. 1.知识清单： (1)在R上的恒成立问题. (2)给定区间上的恒成立问题. (3)解决简单的能成立问题. 2.方法归纳：等价转换、数形结合. 3.常见误区：要注意端点值的取舍. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分,共35分；多选题每小题6分,共18分 1.一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数的条件是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数等价于二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象全部在x轴下方,需要开口向下,且与x轴无交点,故需要 2.若关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解,则实数m的取值范围是(　　) A.{m|m≤－2或m≥2} B.{m|－2≤m≤2} C.{m|m<－2或m>2} D.{m|－2<m<2} 答案　A 解析　因为关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解, 所以Δ＝m2－4≥0,解得m≥2或m≤－2. 3.已知关于x的不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集,则a的取值范围是(　　) A.{a|－4≤a≤4} B.{a|－4<a<4} C.{a|a≤－4或a≥4} D.{a|a<－4或a>4} 答案　A 解析　由题意得,Δ＝a2－16≤0, 解得－4≤a≤4. 4.已知命题“∃x∈R,ax2＋2ax－1≥0”为假命题,则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞,－1)∪(0,＋∞) B.(－1,0) C. D.(－1,0] 答案　D 解析　由题意知命题“∃x∈R,a＋2ax－1≥0”为假命题, 则命题“∀x∈R,ax2＋2ax－1<0”为真命题, 故当a＝0时,ax2＋2ax－1＝－1<0,符合题意； 当a≠0时,需满足解得－1<a<0. 综上,实数a的取值范围是(－1,0]. 5.对任意x满足－1≤x≤2,不等式x2－2x＋a<0恒成立的必要而不充分条件是(　　) A.a<－3 B.a<－4 C.a<0 D.a>0 答案　C 解析　因为x2－2x＋a<0, 所以a<－x2＋2x, 又因为－1≤x≤2, 所以－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≥－3, 所以a<－3, 又因为求“对任意x满足－1≤x≤2,不等式x2－2x＋a<0恒成立的必要而不充分条件”. 所以C正确. 6.(多选)若命题“∃x∈R,(k2－1)x2＋2(k－1)x－1>0”是假命题,则k的值可能为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　AB 解析　由题知“∀x∈R,(k2－1)x2＋2(k－1)x－1≤0”是真命题, 若k2－1＝0,则k＝1或k＝－1, 当k＝1时,－1<0恒成立,当k＝－1时,－4x－1≤0不恒成立； 若k2－1<0,Δ＝4(k－1)2＋4(k2－1)≤0,解得0≤k<1, 综上,0≤k≤1. 7.(5分)若不等式x2＋(m－3)x＋m<0无解,则实数m的取值范围是　　　　.  答案　[1,9] 解析　x2＋(m－3)x＋m<0无解, Δ＝(m－3)2－4m＝m2－10m＋9≤0, 解得1≤m≤9. 8.(5分)若关于x的不等式ax2－2x＋1<0有解,则实数a的取值范围为　　　　　　　　.  答案　{a|a<1} 解析　因为ax2－2x＋1<0有解,显然a≤0时恒成立； 又由解得0<a<1, 综上,a<1. 9.(10分)∀x∈{x|2≤x≤3},不等式mx2－mx－1<0恒成立,求m的取值范围. 解　由不等式mx2－mx－1<0,得m(x2－x)<1, 因为x∈{x|2≤x≤3},所以x2－x>0, 所以m(x2－x)<1可化为m< 因为x2－x＝≤6, 所以≥所以m<. 即m的取值范围是. 10.(10分)设函数y＝2x2＋bx＋c.已知关于x的不等式y<20的解集为(－4,1). (1)求函数y的解析式；(5分) (2)若关于x的方程y<mx在区间(2,4)内有解,求实数m的取值范围.(5分) 解　(1)不等式y<20的解集为(－4,1), 即2x2＋bx＋c－20<0的解集为(－4,1), ∴－4和1是方程2x2＋bx＋c－20＝0的两个根, 由根与系数的关系可得 解得 ∴y＝2x2＋6x＋12. (2)∵关于x的方程y<mx在区间(2,4)内有解, ∴m>2x＋＋6在区间(2,4)内有解, ∴m>(x∈(2,4)),当x∈(2,4)时,2x＋＋6≥2＋6＝4＋6,当且仅当x＝时等号成立, ∴m>4＋6. 11.若两个正实数x,y满足＝1,且不等式x＋<m2－3m有解,则实数m的取值范围是(　　) A.{m|－1<m<4} B.{m|m<0或m>3} C.{m|－4<m<1} D.{m|m<－1或m>4} 答案　D 解析　因为正实数x,y满足＝1, 所以x＋＝2＋ ≥2＋2＝4, 当且仅当x＝2,y＝8时,x＋取得最小值4, 由x＋<m2－3m有解,可得m2－3m>4, 解得m>4或m<－1. 12.(多选)若对于∀x∈{x|a≤x≤a＋2},不等式x2－2x－3≤0恒成立,则实数a的值可能为(　　) A.－2 B.－1 C. D.2 答案　BC 解析　不等式x2－2x－3≤0的解集是{x|－1≤x≤3}, 因为对于∀x∈{x|a≤x≤a＋2},不等式x2－2x－3≤0恒成立, 记A＝{x|a≤x≤a＋2},B＝{x|－1≤x≤3}, 则A⊆B, 所以 解得－1≤a≤1, 所以结合选项,实数a的值可能为－1. 13.(多选)已知当0<x≤2时,关于x的不等式ax2－2x＋3a<0有解,则实数a的取值可能是(　　) A.－3 B.－2 C.1 D.2 答案　AB 解析　由当0<x≤2时,ax2－2x＋3a<0有解, 可得a<有解, 当0<x≤2时≤ 当且仅当x＝时取等号,所以a<故A,B正确,C,D错误. 14.(5分)若关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1≤0的解集为R,则实数a的取值范围是　　　　.  答案　 解析　当a2－1＝0时,a＝1或a＝－1, 若a＝1,不等式为－1≤0,恒成立, 若a＝－1,不等式为2x－1≤0, 解得x≤不符合题意, 当a2－1≠0时, 若要不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1≤0的解集为R, 则a2－1<0,且Δ＝(a－1)2＋4(a2－1)≤0, 解得－≤a<1, 综上可得－≤a≤1. 15.已知a>0,b∈R,若x>0时,关于x的不等式(ax－2)(x2＋bx－5)≥0恒成立,则b＋的最小值为(　　) A.2 B. C.4 D.2 答案　D 解析　令x2＋bx－5＝0, 解得x＝ 其中x1＝<0, x2＝>0, 令ax－2＝0,解得x3＝ 因为a>0,所以>0, 要想关于x的不等式(ax－2)(x2＋bx－5)≥0在x>0时恒成立, 则所以b＋ 因为b∈R,所以b＋≥2当且仅当b＝0时,等号成立, 故b＋的最小值为2. 16.(12分)已知关于x的不等式≤－1的解集为. (1)求实数a的值；(5分) (2)若关于x的不等式≥m的解集为R,求实数m的取值范围.(7分) 解　(1)原不等式≤－1等价于＋1≤0, 即≤0,即(3x－a－2)(x－2)≤0(x≠2), 因为不等式的解集为所以3×－a－2＝0,解得a＝3. (2)由(1)可知a＝3,且x2＋x＋1>0, 所以≥m等价于3x2＋2x＋2≥mx2＋mx＋m,即(3－m)x2＋(2－m)x＋2－m≥0恒成立, ①当m＝3时,可得x≤－1,不符合题意； ②当m≠3时, 需满足 即 解得所以m≤2. 综上,实数m的取值范围是{m|m≤2}. 学科网（北京）股份有限公司 $