第2章 专题强化练1 利用基本不等式求最值（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（湘教版2019）

专题强化练1　利用基本不等式求最值 40分钟 1.已知正实数x,y,a满足2x+y=axy,若x+2y的最小值为3,则实数a的值为(　　) A.1　　B.3　　C.6　　D.9 2.设x,y都是正数,且xy-(x+y)=1,则(　　) A.x+y≥2(+1)　　　　 B.xy≤+1 C.x+y≤(+1)2　　　　 D.xy≥2(+1) 3.(多选)已知x>0,y>0且3x+2y=10,则下列结论正确的是(　　) A.xy的最大值为 B.+的最大值为2 C.+的最小值为 D.x2+y2的最大值为 4.(多选)《九章算术》中“勾股容方”问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法:如图1,用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形,每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青),将三种颜色的图形进行重组,得到如图2所示的矩形,该矩形长为a+b,宽为内接正方形的边d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论,如图3,设D为斜边BC的中点,作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE,过点A作AF⊥BC于点F,则下列推理正确的是(　　) 图1 图2 图3 A.由图1和图2面积相等可得d= B.由AE≥AF可得≤ C.由AD≥AF可得a2+b2≥2ab D.由AD≥AE可得≥ 5.(多选)已知x+y=1,y>0,x≠0,则+的值可能是(　　) A.　　　　B.　　 C.　　　　D. 6.已知不等式(x+y)≥16对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为　　　　.  7.已知实数a,b满足(2a+b)(a-b)=1,则的最大值为　　　　.  8.已知正实数x,y满足x+2y-xy=0. (1)求xy的最小值; (2)若关于x的方程x(y+1)-4=m2-m有解,求实数m的取值范围. 9.高一(3)班的小北为我校设计的冬季运动会会徽《冬日雪花》获得一等奖.他的设计灵感来自三个全等的矩形的折叠拼凑,现要批量生产.其中会徽的六个直角(如图2阴影部分)要利用镀金工艺上色.已知一块矩形材料如图1所示,矩形ABCD的周长为4 cm,其中长边AD为x cm,将△BCD沿BD向△ABD折叠,BC折过去后交AD于点E. (1)用x表示图1中△BAE的面积; (2)已知镀金工艺是2元/cm2,试求一个会徽的镀金部分所需的最大费用. 答案与分层梯度式解析 1.B　因为正实数x,y,a满足2x+y=axy, 所以+=a, 所以x+2y=×(x+2y)= ≥5+2=, 当且仅当=,且+=a时取等号. 由题意可得=3,解得a=3.故选B. 2.A　∵x>0,y>0,且xy-(x+y)=1, ∴xy=1+(x+y)≥1+2(当且仅当x=y=1+时,等号成立), 即()2-2-1≥0, 即≥1+, 即xy≥(1+)2. 1+(x+y)=xy≤(当且仅当x=y=1+时,等号成立), 即(x+y)2-4(x+y)-4≥0, 解得x+y≥2(+1).故选A. 3.BC　∵x>0,y>0且3x+2y=10,∴0<x<,0<y<5. 对于A,10=3x+2y≥2,化简得xy≤,当且仅当3x=2y且3x+2y=10,即x=,y=时,等号成立,所以xy的最大值为,故A错误; 对于B,(+)2=3x+2y+2=10+2≤10+10=20,当且仅当3x=2y且3x+2y=10,即x=,y=时,等号成立,所以+的最大值为2,故B正确; 对于C,+=×(3x+2y)=×≥×=, 当且仅当=且3x+2y=10,即x=y=2时,等号成立,所以+的最小值为,故C正确; 对于D,x2+y2=+y2=(0<y<5), 利用二次函数的性质知,(x2+y2)min==,(x2+y2)max<=25,故D错误.故选BC. 4.ACD　对于A,由面积相等得ab=(a+b)d,所以d=,故A正确; 对于B,AF=,AE=d=, 由AE≥AF,得≥,所以≥,故B不正确; 对于C,AD=,由AD≥AF,得≥,所以a2+b2≥2ab,故C正确; 对于D,由AD≥AE,得≥,所以≥=,故D正确.故选ACD. 5.CD　由x+y=1,y>0,x≠0,得y=1-x>0,则x<1且x≠0. 当0<x<1时,+=+=+=++≥+2=, 当且仅当=,即x=时取等号. 当x<0时,+=+=+=-++≥-+2=, 当且仅当=,即x=-2时取等号. 综上,+≥.故选CD. 6.答案　9 解析　因为(x+y)=1+a++≥1+a+2=1+a+2,当且仅当=,x>0,y>0时取等号, 所以1+a+2≥16,整理得(+5)(-3)≥0,解得a≥9,故正实数a的最小值为9. 7.答案　 解析　由于(2a+b)(a-b)=1, 所以==, 所以当a+2b>0时,才有最大值,此时≤=,当且仅当a+2b=时等号成立, 所以的最大值为. 8.解析　(1)∵x,y为正实数,x+2y-xy=0, ∴xy=x+2y≥2,解得xy≥8, 当且仅当x=2y,即x=4,y=2时,等号成立, ∴xy的最小值为8. (2)由x+2y-xy=0,得x+2y=xy,则+=1, ∴x(y+1)-4=xy+x-4 =2(x+y)-4=2(x+y)-4 =2-4≥2×(2+3)-4=6, 当且仅当x=y,即x=2+,y=+1时,等号成立. ∴m2-m≥6,解得m≥3或m≤-2. 故实数m的取值范围是{m|m≥3或m≤-2}. 9.解析　(1)因为AD=x cm,所以AB=(2-x)cm, 设ED=a cm,则AE=(x-a)cm, 因为∠AEB=∠C'ED,∠EAB=∠DC'E,AB=DC', 所以Rt△BAE≌Rt△DC'E,所以BE=ED=a cm, 在Rt△BAE中,由勾股定理得BA2+AE2=BE2, 即(2-x)2+(x-a)2=a2,解得a=, 所以AE=x-a=, 所以△BAE的面积S=AB·AE=(2-x)·==cm2(1<x<2). 所以△BAE的面积S=cm2(1<x<2). (2)设一个会徽的镀金费用为y元, 则y=6·S△BAE·2=12×≤12×(3-2)=36-24,当且仅当x=,1<x<2,即x=时等号成立. 所以当AD为 cm时,一个会徽的镀金部分所需的最大费用为(36-24)元. 学科网（北京）股份有限公司 $$