第1章 本章复习提升（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（湘教版2019）

本章复习提升 易混易错练 易错点1　忽略集合中元素的意义致错 1.已知集合M={(x,y)|(x+3)2+(y-1)2=0},N={-3,1},则M与N的关系是(　　) A.M=N　　　　B.M⊆N C.M⊇N　　　　D.M,N无公共元素 2.(多选)设集合A={x|y=x2-4},B={y|y=x2-4},C={(x,y)|y=x2-4},则下列关系中正确的是(　　) A.A=B　　　　B.A∪B=R C.A∩C=⌀　　　　D.A⊆B 易错点2　忽略集合中元素的互异性致错 3.已知集合A={a+1,a-1,a2-3},若1∈A,则实数a的值为　　　　.  4.设集合A={(x-1)2,7x-3,5},B={25,6x+1,5x+9},若A∩B={25},则A∪B=　　　　　　　.  易错点3　忽略对空集的讨论致错 5.已知集合A={x|x2-3x-4=0},B={x|mx+1=0},且B⫋A,则实数m的值为　　　　.  6.已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}. (1)若A∩B=⌀,求实数m的取值范围; (2)若A∪B=A,求实数m的取值范围. 易错点4　忽略对端点值的取舍致错 7.已知集合A={x|x>1},B={x|x>a},若A⊆B,则实数a的取值范围是　　　　.  8.已知集合A={x|x≥4或x<-5},B={x|a+1≤x≤a+3,a∈R},若B⊆A,求实数a的取值范围. 易错点5　不能正确区分条件与结论致错 9.命题p:-1≤x<2的一个必要而不充分条件是(　　) A.-1≤x≤2　　　　B.-1≤x<2 C.0≤x<2　　　　D.0≤x<3 10.关于x的一元二次方程ax2+4x+3=0有一个正根和一个负根的充分而不必要条件是(　　) A.a<0　　　　B.a>0 C.a<-1　　　　D.a>1 思想方法练 一、数形结合思想在集合问题中的应用 1.已知集合A={x|x<-1或x≥1},B={x|2a<x<a+1,a<1},B⊆A,求实数a的取值范围. 二、分类讨论思想在集合与逻辑问题中的应用 2.已知集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},若集合A有且仅有2个子集,则实数a的所有可能取值是(　　) A.1　　　　B.0,1　　 C.-1,1　　　　D.-1,0,1 3.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0},C={x|x2-mx+2=0}. (1)若命题p:“∀x∈B,都有x∈A”为真命题,求实数a的值; (2)若“x∈A”是“x∈C”的必要条件,求实数m的取值范围. 三、转化与化归思想在集合与逻辑问题中的应用 4.已知x∈R,则“|x-2|<1”是“x<3”的(　　) A.既不充分也不必要条件 B.充要条件 C.必要而不充分条件 D.充分而不必要条件 5.已知命题p:∀x∈{x|0≤x≤1},x2-a≥0,命题q:∃x∈R,x2+2ax+a+2=0,若命题p,q都是真命题,求实数a的取值范围. 四、补集思想在集合问题中的应用 6.已知集合A={x|x2-2x+9-a=0},B={x|ax2-4x+1=0},a≠0,若集合A,B中至少有一个非空集合,求实数a的取值范围. 答案与分层梯度式解析 易混易错练 1.D　易得M={(x,y)|(x+3)2+(y-1)2=0}={(-3,1)}是点集,而N={-3,1}是数集,所以两个集合没有公共元素,故选D. 2.BC　∵y=x2-4中x的取值范围为R,∴A={x|y=x2-4}=R.∵y=x2-4≥-4,∴B={y|y=x2-4}={y|y≥-4}.C表示二次函数y=x2-4图象上所有点的坐标构成的集合. ∴A≠B,A∪B=R,A∩C=⌀,B⊆A,故选BC. 易错警示 解决集合问题时,首先要明确集合中的元素及其代表的意义是什么.用描述法表示集合时,要注意区分数集和点集.一般地,竖线左侧是单个字母时,集合为数集;竖线左侧是数对形式时,集合是点集. 3.答案　0或-2 解析　若a+1=1,则a=0,此时A={1,-1,-3},符合题意;若a-1=1,则a=2,此时a2-3=1,不满足集合中元素的互异性,舍去;若a2-3=1,则a=-2或a=2(舍去),当a=-2时,A={-1,-3,1},符合题意.综上,a=0或a=-2. 4.答案　{25,-31,5,-23,-11} 解析　由A∩B={25},得25∈A, 所以(x-1)2=25或7x-3=25, 解得x=6或x=-4或x=4. 当x=6时,A={25,39,5},B={25,37,39},A∩B={25,39},不满足题意,故x=6舍去; 当x=-4时,A={25,-31,5},B={25,-23,-11},A∩B={25},满足题意,此时A∪B={25,-31,5,-23,-11}; 当x=4时,6x+1=25,B中元素不满足集合中元素的互异性,故x=4舍去. 综上,A∪B={25,-31,5,-23,-11}. 易错警示 集合中含有参数时,一定要检验求出的参数值是否满足集合中元素的互异性. 5.答案　-或0或1 解析　A={x|x2-3x-4=0}={-1,4}.因为B⫋A,所以当B=⌀时,mx+1=0无解,得m=0;当B≠⌀时,若B={-1},则m=1,若B={4},则m=-. 综上所述,m的值为-或0或1. 6.解析　(1)∵A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}, ∴A∩B=⌀时,分B=⌀和B≠⌀两种情况讨论: 若B=⌀,则m+1>2m-1,解得m<2; 若B≠⌀,则或 解得m>4. 综上,实数m的取值范围是{m|m<2或m>4}. (2)若A∪B=A,则B⊆A. 当B=⌀时,有m+1>2m-1,解得m<2; 当B≠⌀时,有 解得2≤m≤3. 综上,实数m的取值范围是{m|m≤3}. 易错警示 空集是一个特殊的集合,它不含任何元素,是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集,当题设中隐含有空集参与的集合间的基本关系与运算时,如解决有关A⊆B,A∩B=A,A∪B=B等集合问题时,应先考虑空集的情况. 7.答案　{a|a≤1} 解析　如图,在数轴上表示出A,B, 因为A⊆B,所以a≤1. 8.解析　易知a+3>a+1,所以B≠⌀,利用数轴表示B⊆A,如图所示, 或 则a+3<-5或a+1≥4, 解得a<-8或a≥3. 所以a的取值范围是{a|a<-8或a≥3}. 易错警示 解决参数范围问题时,不要忘记考虑端点值,处理此类问题一般先将端点值取在待求范围内,再结合集合运算及集合间的关系,探讨将端点值保留还是舍掉. 9.A　根据题意可知,只需找一个x的取值集合,使{x|-1≤x<2}是此取值集合的一个真子集即可,结合选项可知,{x|-1≤x<2}是{x|-1≤x≤2}的真子集.故选A. 10.C　∵关于x的一元二次方程ax2+4x+3=0有一个正根和一个负根, ∴ 解得a<0. 故满足题意的a的取值集合应是集合{a|a<0}的真子集,结合选项可知选C. 易错警示 在充分条件、必要条件的判断中,务必明确设问方式,分清哪个是条件,哪个是结论,然后根据充分条件、必要条件的概念作出准确的判断,若从集合的角度看,应该准确判断集合间的包含关系. 思想方法练 1.解析　∵a<1,∴2a<a+1,∴B≠⌀. 利用数轴表示B⊆A,如图所示. 或 由图知,要使B⊆A,需a+1≤-1或2a≥1,即a≤-2或a≥. 又∵a<1, ∴实数a的取值范围是. 方法总结 在解决有关集合的问题时,一般根据集合中元素的不同属性采用不同的图形来辅助.若给定的集合是不等式的解集,则一般画数轴求解;若给定的集合是用列举法表示的数集,则一般采用韦恩图求解. 2.D　集合A有且仅有2个子集,说明集合A中只含有一个元素. 由于方程ax2+2x+a=0中x2的系数为a,因此需对a是不是0进行讨论,从而确定集合. 对于集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},当a=0时,A={0},满足题意.当a≠0时,Δ=4-4a2=0,解得a=±1.若a=1,则A={-1},满足题意;若a=-1,则A={1},满足题意.所以a=0或a=±1,故选D. 3.解析　(1)由题意得A={1,2}. ∵命题p为真命题,∴B⊆A. 又∵B={x|[x-(a-1)](x-1)=0}, 此时B中至少有一个元素1,因此B不是空集,但是需分B中有一个元素还是两个元素讨论. ∴B有两种情况: ①若B={1},则a-1=1,解得a=2; ②若B={1,2},则a-1=2,解得a=3. 因此,实数a的值为2或3. (2)∵“x∈A”是“x∈C”的必要条件, ∴由“x∈C”能推出“x∈A”,从而C⊆A. C是A的子集,需对集合C的情况分类讨论,注意不要遗漏空集的情况. 因此,集合C有四种情况: ①C=A,此时m=3; ②C={1},此时此方程组无实数解, m的值不存在; ③C={2},此时此方程组无实数解, m的值不存在; ④C=⌀,此时Δ=m2-8<0,解得-2<m<2. 综上,m的取值范围为{m|m=3或-2<m<2}. 4.D　由|x-2|<1可得1<x<3, 常利用集合之间的包含关系说明p是q的什么条件. ∵{x|1<x<3}⫋{x|x<3}, ∴“|x-2|<1”是“x<3”的充分而不必要条件.故选D. 5.解析　∵命题p:∀x∈{x|0≤x≤1},x2-a≥0为真命题, ∴a≤x2对任意x∈{x|0≤x≤1}恒成立, ∴a≤,即a≤0. ∵命题q:∃x∈R,x2+2ax+a+2=0为真命题, ∴方程x2+2ax+a+2=0有实数根, ∴Δ=4a2-4(a+2)=4a2-4a-8≥0, ∴a≤-1或a≥2. ∵命题p,q都是真命题, ∴a≤-1. 故实数a的取值范围为{a|a≤-1}. 对于含参数的全称命题问题,常转化为恒成立问题,对于含参数的特称命题问题,常转化为存在性问题. 6.解析　两个集合中至少有一个非空集合的反面是两个集合都是空集,从反面思考问题会使问题易于求解,这就是补集思想的应用. 对于集合A,令Δ=4-4(9-a)<0,得a<8; 对于集合B,令Δ=16-4a<0,得a>4. 若集合A,B都为空集,则4<a<8. 因为A,B两个集合中至少有一个集合不为空集, 所以a的取值范围是{a|a≥8或a≤4,且a≠0}. 学科网（北京）股份有限公司 $$