2.2 从函数观点看一元二次方程 2.3 一元二次不等式（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（湘教版2019）

2.2　从函数观点看一元二次方程 2.3　一元二次不等式 基础过关练 题组一　二次函数的零点 1.(多选)关于函数y=mx2-4x-m+5的零点,以下说法正确的是(　　) A.当m=0时,该函数只有一个零点 B.当m=1时,该函数只有一个零点 C.当m=-1时,该函数没有零点 D.当m=2时,该函数有两个零点 2.函数y=ax2+2ax+3(a≠0)的一个零点为1,则其另一个零点为　　　　.  3.函数y=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数y=bx2-ax-1的零点为　　　　.  4.已知关于x的方程x2-2x+a=0. (1)当a为何值时,方程的一个根大于1,另一个根小于1? (2)当a为何值时,方程的一个根大于-1且小于1,另一个根大于2且小于3? (3)当a为何值时,方程的两个根都大于0? 题组二　一元二次不等式的解法及其应用 5.不等式2x2-5x-3≥0的解集为(　　) A.　　　　B. C.　　　　D. 6.不等式-x2+x+6<0的解集是(　　) A.{x|-2<x<3}　　　　B. C.{x|x>3或x<-2}　　　　D. 7.已知全集U=R,集合A={x|x2+3x-18≥0},B=x≤0,C=. (1)求A∩B; (2)求B∩C. 题组三　含参数的一元二次不等式的解法及其应用 8.若关于x的不等式ax-b>0的解集是{x|x>1},则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是(　　) A.{x|x<-1或x>3}　　　　B.{x|-1<x<3} C.{x|1<x<3}　　　　D.{x|x<1或x>3} 9.若集合{x|ax2+ax+4≤0}=⌀,则实数a的取值范围是(　　) A.[0,16)　　　　B.(0,16) C.(-∞,0)∪(16,+∞)　　　　D.[0,16] 10.已知集合A={x|x2-2x-8≤0,x∈R},B={x|x2-(5+m)x+5m≤0,x∈R}.设全集为R,若B⊆∁RA,则实数m的取值范围为　　　　.  11.已知关于x的不等式(ax-1)(x+1)>0. (1)若此不等式的解集为,求实数a的值;　 (2)若a∈R,解这个不等式. 题组四　三个“二次”之间的关系 12.已知不等式ax2+bx+2>0的解集是(-1,2),则b-a的值等于(　　) A.-4　　B.-2　　C.2　　D.4 13.(多选)已知关于x的不等式x2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>3},则(　　) A.b=-1 B.不等式bx+c>0的解集是{x|x<-6} C.b+c=5 D.不等式cx2-bx+1<0的解集是xx<-或x> 14.已知关于x的不等式-1<<1的解集是{x|-2<x<0},则所有满足条件的实数a组成的集合是　　　　.  题组五　一元二次不等式的实际应用 15.某文具店购进一批新型台灯,每盏最低售价为15元,若按最低售价销售,每天能卖出30盏;若售价每提高1元,日销售量将减少2盏.为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入,则这批台灯的销售单价x(单位:元)的取值范围是(　　) A.10<x<20　　　　B.15≤x<20 C.15<x<20　　　　D.10≤x<20 16.如图,互相垂直的两条公路AM,AN旁有一矩形花园ABCD,现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ,要求P在射线AM上,Q在射线AN上,且PQ过点C,其中AB=30 m,AD=20 m.记三角形花园APQ的面积为S. (1)当DQ的长是多少时,S最小?并求S的最小值; (2)要使S不小于1 600 m2,则DQ的长应在什么范围内? 能力提升练 题组一　三个“二次”的综合应用 1.已知关于x的不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0的解集为空集,则实数a的取值范围是(　　) A.　　　　B. C.　　　　D.{a|a≠2} 2.已知关于x的不等式ax2+2bx+4<0的解集为,其中m<0,则+的最小值为　　　　.  3.已知集合A={x|x2-2x+a≥0},B={x|x2-2x+a+1<0},若A∪B=R,则实数a的取值范围为　　　　.  4.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式ax2+ax-6<0的解集为B. (1)若a=1,求A∩B; (2)在(1)的前提下,若不等式x2+mx+n<0的解集为A∩B,求不等式mx2+x+n<0的解集; (3)∀x∈R,ax2+ax-6<0,求a的取值范围. 题组二　一元二次不等式恒成立问题 5.已知不等式-2x2+bx+c>0的解集是{x|-1<x<3},若对于任意x∈{x|-1≤x≤0},不等式-2x2+bx+c+t≤4恒成立,则t的取值范围是(　　) A.{t|t≤2}　　　　B.{t|t≤-2} C.{t|t≤-4}　　　　D.{t|t≤4} 6.(多选)若对任意x∈[a,a+2],不等式x2-2x-3≤0恒成立,则实数a的值可能为(　　) A.-2　　B.-1　　C.　　D.2 7.已知对任意m∈[1,3],mx2-mx-1<-m+5恒成立,则实数x的取值范围是(　　) A.　　　　 B.∪ C.　　　　 D. 8.若不等式a2+8b2≥λb(a+b)对于任意的a,b∈R恒成立,则实数λ的取值范围为　　　　　　　　.  9.已知函数y=mx2-mx-1. (1)若对于x∈R,y<0恒成立,求实数m的取值范围; (2)若对于x∈[1,3],y<5-m恒成立,求实数m的取值范围. 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.AB　当m=0时,函数y=-4x+5,令-4x+5=0,解得x=,此时方程只有一个实数根,故函数只有一个零点,A正确; 当m=1时,函数y=x2-4x+4,令x2-4x+4=0,因为Δ=(-4)2-4×1×4=0,所以方程有两个相等的实数根,故函数只有一个零点,B正确; 当m=-1时,函数y=-x2-4x+6,令-x2-4x+6=0,因为Δ=(-4)2-4×(-1)×6>0,所以方程有两个不相等的实数根,故函数有两个零点,C错误; 当m=2时,函数y=2x2-4x+3,令2x2-4x+3=0,因为Δ=(-4)2-4×2×3<0,所以方程无实数根,故函数无零点,D错误.故选AB. 2.答案　-3 解析　解法一:∵函数y=ax2+2ax+3(a≠0)的一个零点为1, ∴a+2a+3=0,∴a=-1. ∴y=-x2-2x+3. 令-x2-2x+3=0,解得x1=1,x2=-3, ∴函数的另一个零点为-3. 解法二:由函数y=ax2+2ax+3(a≠0)的一个零点为1,可得方程ax2+2ax+3=0(a≠0)的一个根为1,根据根与系数的关系可得x1+x2=-=-2,∴另一个根为-3.故函数的另一个零点为-3. 3.答案　-和- 解析　因为函数y=x2-ax-b的两个零点是2和3, 所以解得经检验,满足题意. 所以y=bx2-ax-1即为y=-6x2-5x-1. 令-6x2-5x-1=0, 解得x=-或x=-, 故函数y=bx2-ax-1的零点为-和-. 4.解析　(1)作满足题意的二次函数y=x2-2x+a的大致图象(如图1),由图知,12-2+a<0,解得a<1. 所以a的取值范围是{a|a<1}. 图1 (2)作满足题意的二次函数y=x2-2x+a的大致图象(如图2),由图知,解得-3<a<0. 所以a的取值范围是{a|-3<a<0}. 图2 (3)作满足题意的二次函数y=x2-2x+a的大致图象(如图3),由图知,解得0<a≤1. 所以a的取值范围是{a|0<a≤1}. 图3 5.C　不等式2x2-5x-3≥0即(2x+1)(x-3)≥0,解得x≤-或x≥3.故选C. 6.C　原不等式可化为x2-x-6>0,即(x-3)(x+2)>0,解得x>3或x<-2,所以不等式的解集为{x|x>3或x<-2}.故选C. 7.解析　(1)x2+3x-18=(x+6)(x-3)≥0,解得x≤-6或x≥3, 所以A=(-∞,-6]∪[3,+∞). ≤0⇔解得-5≤x<14, 所以B=[-5,14).所以A∩B=[3,14). (2)由(1)知B=[-5,14). 将≤1化为-1≤0,即≤0, 所以解得-2≤x<1, 所以C=[-2,1). 所以B∩C=[-2,1). 8.A　因为不等式ax-b>0的解集是{x|x>1},所以a>0,=1,所以关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0可化为a(x-3)>0,即(x+1)(x-3)>0,解得x<-1或x>3,故不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是{x|x<-1或x>3}.故选A. 9.A　集合{x|ax2+ax+4≤0}=⌀等价于不等式ax2+ax+4≤0无解. 当a=0时,4≤0,不成立,满足题意; 当a≠0时,需满足 解得0<a<16. 综上,0≤a<16.故选A. 10.答案　(4,+∞) 解析　解不等式x2-2x-8≤0,得-2≤x≤4,所以∁RA={x|x<-2或x>4}. B={x|x2-(5+m)x+5m≤0,x∈R}={x|(x-5)(x-m)≤0}, 当m=5时,B={5},满足题意. 当m>5时,B=[5,m],满足题意. 当m<5时,B=[m,5], 由B⊆∁RA,得m>4,所以4<m<5. 综上,m的取值范围为(4,+∞). 11.解析　(1)∵不等式(ax-1)(x+1)>0的解集为, ∴方程(ax-1)(x+1)=0的两根分别是-1,-. ∴=-,解得a=-2. (2)当a<0时,不等式可化为(x+1)<0, 若>-1,则a<-1,解得-1<x<, 若=-1,则a=-1,无解, 若<-1,则-1<a<0,解得<x<-1; 当a=0时,不等式为-(x+1)>0,解得x<-1; 当a>0时,不等式为(x+1)>0, ∵>-1,∴解不等式得x<-1或x>. 综上,当a<-1时,不等式的解集为; 当a=-1时,不等式的解集为⌀; 当-1<a<0时,不等式的解集为; 当a=0时,不等式的解集为{x|x<-1}; 当a>0时,不等式的解集为. 12.C　因为不等式ax2+bx+2>0的解集是(-1,2), 所以解得所以b-a=2,故选C. 13.ABD　∵关于x的不等式x2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>3}, ∴-2和3是方程x2+bx+c=0的两个实根, 根据根与系数的关系,得-b=-2+3,解得b=-1,故A正确; 又-2×3=-6=c,∴不等式bx+c>0化为-x-6>0, ∴x<-6,故B正确; b+c=-7,故C不正确; 不等式cx2-bx+1<0化为-6x2+x+1<0,即6x2-x-1>0,即(3x+1)(2x-1)>0,解得x>或x<-,故D正确.故选ABD. 14.答案　{2} 解析　∵-1<<1,∴<1, 即(ax+1)2<(x-1)2, 化简得(a2-1)x<0, ∵不等式的解集是{x|-2<x<0}, ∴a2-1>0且-=-2, 解得a=2或a=-1(舍去). 故答案为{2}. 15.B　由题意,得x[30-2(x-15)]>400(x≥15),整理得x2-30x+200<0,∴(x-10)(x-20)<0,解得10<x<20,又∵x≥15,∴15≤x<20.故选B. 16.解析　(1)设DQ=x m,可得AQ=(x+20)m, 因为DC∥AB,所以△QDC∽△QAP, 所以=,即=, 所以AP= m, 则S=AP·AQ=××(x+20)=15×≥15=1 200, 当且仅当x=,即x=20时,等号成立. 故当DQ的长为20 m时,S最小,且最小值为1 200 m2. (2)由S≥1 600,得15≥1 600且x>0,所以3x2-200x+1 200≥0, 解得x≥60或x≤, 由x>0,可得0<x≤或x≥60, 所以DQ的长的范围是∪[60,+∞). 能力提升练 1.C　若a2-4=0,则a=±2. 当a=2时,不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0化为-1≥0,其解集为空集,因此a=2满足题意; 当a=-2时,不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0化为-4x-1≥0,即x≤-,其解集不为空集,因此a=-2不满足题意,应舍去. 若a2-4≠0,则a≠±2. ∵关于x的不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0的解集为空集, ∴ 解得-<a<2. 综上,a的取值范围是. 故选C. 2.答案　2 解析　∵ax2+2bx+4<0的解集为, ∴方程ax2+2bx+4=0的两根为m,, ∴m·=,∴a=1,∴m+=-2b,∵m<0,∴2b=-m+≥4,即b≥2,当且仅当m=-2时取“=”. ∴+=+≥2,当且仅当b=4时取“=”, ∴+的最小值为2. 3.答案　a≥1 解析　易知当a<1时,集合A={x|x≤1-或x≥1+}; 当a≥1时,A=R. 当a<0时,集合B={x|1-<x<1+}; 当a≥0时,B=⌀. 要使A∪B=R,需满足或a≥1,解得a≥1. 4.解析　(1)由题可知A={x|-1<x<3}, 当a=1时,B={x|-3<x<2}, ∴A∩B={x|-1<x<2}. (2)∵不等式x2+mx+n<0的解集为A∩B={x|-1<x<2}, ∴-1和2是方程x2+mx+n=0的两个根, ∴解得 ∴mx2+x+n<0即-x2+x-2=--<0,其解集为R. (3)当a=0时,-6<0恒成立,符合题意; 当a≠0时,∵∀x∈R,ax2+ax-6<0, ∴解得-24<a<0. 综上可得,a的取值范围是{a|-24<a≤0}. 5.B　由题意知-1和3是方程-2x2+bx+c=0的两个实数根,则解得 则-2x2+bx+c=-2x2+4x+6. 由-2x2+bx+c+t≤4得t≤2x2-4x-2. 当-1≤x≤0时,-2≤2x2-4x-2≤4,则t≤-2. 6.BC　易得不等式x2-2x-3≤0的解集是[-1,3]. 因为对任意x∈[a,a+2],不等式x2-2x-3≤0恒成立, 所以[a,a+2]⊆[-1,3], 所以解得-1≤a≤1. 结合选项知实数a的值可能为-1,.故选BC. 7.D　对任意m∈[1,3],不等式mx2-mx-1<-m+5恒成立,即对任意m∈[1,3],m(x2-x+1)<6恒成立, 所以对任意m∈[1,3],x2-x+1<恒成立, 所以对任意m∈[1,3],x2-x+1<=2, 所以x2-x+1<2,解得<x<,故实数x的取值范围是.故选D. 8.答案　{λ|-8≤λ≤4} 解析　因为a2+8b2≥λb(a+b)对于任意的a,b∈R恒成立,所以a2+8b2-λb(a+b)≥0对任意的a,b∈R恒成立,即a2-λba+(8-λ)b2≥0对任意的a,b∈R恒成立,将其看作关于a的一元二次不等式,可得Δ=λ2b2+4(λ-8)b2=b2(λ2+4λ-32)≤0,所以λ2+4λ-32≤0,解得-8≤λ≤4. 9.解析　(1)①当m=0时,y=-1<0恒成立. ②当m≠0时,由y<0在R上恒成立,得 解得-4<m<0, 综上,-4<m≤0. ∴实数m的取值范围为(-4,0]. (2)由题意得mx2-mx-1<5-m对于x∈[1,3]恒成立,即m(x2-x+1)<6对于x∈[1,3]恒成立. ∵x2-x+1=+>0, ∴m<对于x∈[1,3]恒成立. 记h=,x∈[1,3],即m<hmin,即求y=x2-x+1的最大值,由其图象可知,当x=3时,y有最大值, ∴hmin=,∴m<. ∴实数m的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$