2.2从函数观点看一元二次方程课件-2024-2025学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

2.2从函数观点看一元二次方程 一.新课导入 问题1：回顾一次函数的观点看一元一次方程. 2 二.新知探究 问题2：方程有实根吗？若有？根是多少？二次函数图象与轴有交点吗？若有，交点横坐标是多少？ 3 两个方面： （1）从个数上来看相同；（2）从大小关系上来看相等 问题3：观察方程的根与对应二次函数的图象与轴交点的横坐标，你发现它们之间都有哪些关系？ 4 问题4：观察方程与相应函数在形式上有什么联系？并据此解释为什么方程的根与对应二次函数的图象与轴交点之间有上述关系？ 方程就是函数当函数值时的表达式，即为轴，所以方程的实根就是的图象与轴的交点横坐标． 5 初步提出零点的概念：1、3既是方程的根，又是函数时的值，也是函数图象与轴交点的横坐标．1、3在方程中称为实数根，在函数中称为零点． 零点的概念: 我们把使得方程成立的实数叫做二次函数的零点．（注意：零点不是点，是一个实数.） 这样，一元二次方程的实数根就是二次函数的零点，也就是函数的图象与轴交点的横坐标． 6 问题5：只计算方程-4+4=0(-2+3=0)的根的情况，能否直接说出其所对应的二次函数-4+4 (-2+3)零点的情况？依据是什么？ 判断依据：求方程的根与求其所对应的函数的零点所要解的是同一个方程,即方程根的情况与其对应的函数图像与轴交点情况是相同的． 7 问题6：一般的一元二次方程的根与对应二次函数的零点之间有什么关系？ （1）当时，方程有两个不相等的实数根，分别设为,，则．其所对应的二次函数有两个零点,，函数图象与轴有两个交点,0),( ,0). 8 （2）当时，方程有两个相等的实数根，分别设为, ，则．其所对应的二次函数有唯一零点，函数图象与轴只有一个交点,0). （3）当时，方程没有实数根，其所对应的二次函数没有零点，函数图象与轴没有交点. 9 问题7：根据上述归纳，我们一起完成下述表格． 判别式 二次函数 的图像 一元二次方程 的根 有两个不相等 的实数根, 有两个相等 的实数根 没有实数根 10 三.典例剖析 例1.二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程的两个根； （2）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围. 分析：（1）根据二次函数图像与轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根即可得出结果； （2）方程有实数根的个数转化为二次函数的图像与直线的交点个数. 11 解：（1）观察图像可知，二次函数的图像与轴交于（1,0），（3,0）两点，故方程的两个根是 （2）若方程有两个不相等的实数根，则二次函数的图像与直线有两个交点，由上图可知，作直线，可以发现只有时才能使得二次函数的图像与直线有两个不同的交点，于是. 12 一元二次方程的根与系数的关系为： 分析：先根据点坐标求的值，由函数图像与轴的交点的横坐标就是对应方程的根，再结合韦达定理建立两根的关系式进行转化. 例2.已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的两个交点的横坐标的平方和为15，求该二次函数的表达式. 13 解：由二次函数的图像与轴交于点知设二次函数的图像与轴的交点的横坐标为，则是对应一元二次方程的两个根，由根与系数关系知： 所以 =， 得=3. 故二次函数的表达式为或 14 四.练习巩固 练习1.已知二次函数（ 为常数），求证：不论为何值，该二次函数均没有零点. 分析：二次函数零点问题转化为对应一元二次方程的根的问题，即证明对应一元二次方程没有实根. 证明：由题意可知对应的一元二次方程为，于是不论为何值,一元二次方程均没有实根，从而对应的二次函数均没有零点. 15 练习2.已知二次函数有最小值-3，且函数的零点为-1和2，求该二次函数的表达式. 分析：先根据二次函数最小值建立的一个关系式，再依据函数零点就是对应一元二次方程的根结合韦达定理建立的方程组求解. 解：因为二次函数的最小值为-3，所以 又因为方程的根为-1,2，由韦达定理可得,即， 所以二次函数的表达式为 16 五.归纳小结 问题8：通过本节课的学习，你有哪些收获？ 这节课我们得到了一元二次方程的根与其对应的的二次函数零点之间的关系，即一元二次方程的实数根就是二次函数的零点，也就是函数的图象与轴交点的横坐标． 在以后的学习中，我们可以将一元二次方程根的问题转化为对应二次函数的零点问题，也可以将二次函数的零点问题转化为对应的一元二次方程根的问题，这是方程与函数之间的转化思想，要会用联系的观点看问题． 17 $$