1.1.3 集合的交与并（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（湘教版2019）

1.1.3　集合的交与并 1 | 交集 在数学里,把所有既属于A又属于B的元素组成的集合,称为A与B的交集,记作A∩ B,读作“A交B”,即A∩B={x|x∈A且x∈B}.用韦恩图表示为:   第1章　集合与逻辑 把集合A,B中的元素放在一起组成的集合,称为A与B的并集,记作A∪B,读作“A并 B”,即A∪B={x|x∈A或x∈B}.用韦恩图表示为:   2 | 并集 第1章　集合与逻辑 交集的运算性质 并集的运算性质 A∩A=A A∪A=A A∩⌀=⌀ A∪⌀=A A∩B=B∩A A∪B=B∪A 3 | 交集与并集的运算性质 第1章　集合与逻辑 1.“x∈A或x∈B”这一条件包含哪几种情况? “x∈A或x∈B”这一条件包含下列三种情况:①x∈A,但x∉B;②x∈B,但x∉A;③x ∈A,且x∈B.用韦恩图表示如图.   知识辨析 第1章　集合与逻辑 2.集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数之和? 不一定.A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数之和. 3.已知A,B两个集合,若A∩B=A,A∪B=B,则集合A与B具有什么关系?若A∩B=A∪ B呢? 若A∩B=A,A∪B=B,则A⊆B;若A∩B=A∪B,则A=B. 第1章　集合与逻辑 1　集合的综合运算   1.解决集合交、并、补运算的技巧 (1)如果所给集合是有限集,那么可先把集合中的元素一一列举出来,然后结合交 集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于韦恩图. (2)如果所给集合是无限集,那么常借助于数轴,把已知集合均表示在数轴上,然后 进行交集、并集、补集的运算.解答过程中要注意端点值的取舍. 第1章　集合与逻辑   2.德·摩根定律 　　德·摩根定律包含集合运算中的两个重要等式. (1)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB). 第1章　集合与逻辑   (2)∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB). 第1章　集合与逻辑  典例    (多选)设全集U=R,集合M={x||x|≤2},N={y|y=x2+1},则下列运算正确的是 (         ) A.M∩N={x|1≤x≤2} B.M∪N={x|x≥-2} C.(∁UM)∪(∁UN)={x|x<1} D.(∁UM)∩(∁UN)={x|x<-2} ABD 第1章　集合与逻辑 解析    ∵M={x||x|≤2}={x|-2≤x≤2},N={y|y=x2+1}={y|y≥1}, ∴M∩N={x|1≤x≤2},M∪N={x|x≥-2}, ∁UM={x|x<-2或x>2},∁UN={y|y<1}, ∴(∁UM)∪(∁UN)={x|x<1或x>2},(∁UM)∩(∁UN)={x|x<-2}, 故C错误,A,B,D正确. 名师点拨    此题需注意,用描述法表示集合时,集合与代表元素所选用的字母没 有关系.此题C、D选项中的运算还可以根据德·摩根定律进行,具体过程如下: (∁UM)∪(∁UN)=∁U(M∩N)={x|x<1或x>2};(∁UM)∩(∁UN)=∁U(M∪N)={x|x<-2}. 第1章　集合与逻辑 2　集合中元素的个数问题   　　我们将有限集合A所含元素的个数用card(A)表示,并规定card(⌀)=0.一般地, 对任意两个有限集合A,B,有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B). 对任意三个有限集合A,B,C,有card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A ∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C).   第1章　集合与逻辑  典例    2021年某省进入“3+1+2”新高考模式,其中“3”为全国统考科目语 文、数学和外语;“1”为考生在物理和历史中选择一门;“2”为考生在政治、 地理、化学和生物四门中选择两门.某中学调查了高一某班学生的选科倾向,据 统计,有36名学生选择了化学、生物和政治中至少一门,已知选择化学、生物和 政治科目的人数分别为26,15,13,同时选择化学和生物的有6人,同时选择生物和 政治的有4人,则同时选择化学和政治的有    8    人. 第1章　集合与逻辑 解析    记选择化学的学生组成的集合为A,选择生物的学生组成的集合为B,选择 政治的学生组成的集合为C,则依题意可得card(A∪B∪C)=36,card(A)=26,card(B) =15,card(C)=13,card(A∩B)=6,card(B∩C)=4,card(A∩B∩C)=0,根据card(A∪B ∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B ∩C),可得36=26+15+13-6-4-card(A∩C)+0,解得card(A∩C)=8.所以同时选择化学 和政治的有8人. 第1章　集合与逻辑 3　利用集合的运算性质求参数的值或取值范围   利用解方程(组)或解不等式(组)来确定参数的值或取值范围时,需注意两点: (1)涉及A∪B=A或A∩B=B的问题,可利用集合的运算性质,转化为集合之间的包 含关系求解,此时要注意空集的特殊性. (2)在求解参数的取值范围时,要特别注意取值范围的边界值能否取到. 第1章　集合与逻辑  典例　已知集合A={x|a-1<x<2a+3},B={x|-2≤x≤4}. (1)当a=2时,求A∪B; (2)若　　　    ,求实数a的取值范围. 在①A∩B=A,②A∩(∁RB)=A,③A∩B=⌀这三个条件中任选一个,补充在(2)中的 横线上,并求解. 第1章　集合与逻辑 解析    (1)当a=2时,集合A={x|1<x<7},又B={x|-2≤x≤4}, 所以A∪B={x|-2≤x<7}. (2)若选择①A∩B=A, 则A⊆B. 当a-1≥2a+3, 即a≤-4时,A=⌀,满足题意; 当a>-4时,应满足 解得-1≤a≤ . 综上,实数a的取值范围为 a a≤-4或-1≤a≤  . 若选择②A∩(∁RB)=A, 则A是∁RB的子集,易得∁RB={x|x<-2或x>4}. 当a-1≥2a+3,即a≤-4时,A=⌀,满足题意; 第1章　集合与逻辑 当a>-4时,应满足2a+3≤-2或a-1≥4,所以-4<a≤- 或a≥5. 综上可知,实数a的取值范围为 a a≤- 或a≥5 . 若选择③A∩B=⌀,则当a-1≥2a+3,即a≤-4时,A=⌀,满足题意; 当a>-4时,应满足2a+3≤-2或a-1≥4, 所以-4<a≤- 或a≥5. 综上,实数a的取值范围为 a a≤- 或a≥5 . 第1章　集合与逻辑 素养　在集合新定义问题中发展数学抽象核心素养 素养解读 　　集合中的“新定义”问题,主要是对一些新概念、新符号的理解和认识,根 据题意并结合已有的知识对新的定义进行运算、推理、迁移.题目具有新颖性、 抽象性、实用性等特点. 第1章　集合与逻辑 典例呈现  例题    (多选)我们知道,如果集合A⊆S,那么S的子集A的补集为∁SA={x|x∈S且x ∉A},类似地,对于集合A,B,我们把集合{x|x∈A且x∉B},叫作集合A和B的差集,记 作A-B,例如:A={1,2,3,4,5},B={4,5,6,7,8},则有A-B={1,2,3},B-A={6,7,8}.下列说法 正确的是 (    BCD    ) A.已知A={4,5,6,7,9},B={3,5,6,8,9},则B-A={3,7,8} B.已知A={x|x<-1或x>3},B={x|-2≤x<4},则A-B={x|x<-2或x≥4} C.如果A-B=∅,那么A⊆B D.若全集U、集合A、集合B的关系如图所示,则A-B=A∩(∁UB)   第1章　集合与逻辑 解题思路    对于A,若A={4,5,6,7,9},B={3,5,6,8,9},则B-A={3,8}, 故A不正确; 对于B,A={x|x<-1或x>3},B={x|-2≤x<4},则A-B={x|x<-2或x≥4}, 故B正确; 对于C,如果A-B=∅,则A∩B=A,故A⊆B,故C正确; 对于D,A-B=∁A(A∩B)=A∩(∁UB), 故D正确.故选BCD. 第1章　集合与逻辑 思维升华 　　集合中的新定义问题,旨在考查对新定义情境的抽象分析能力及对已有知识 的计算、推理、迁移能力.解题的关键是弄清新定义的本质,然后将新定义问题 再迁移回集合的基本运算中求解. 第1章　集合与逻辑 $$