1.1.1 集合（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（湘教版2019）

1.1　集合 1.1.1　集合 1 | 集合与元素 1.集合与元素 在数学语言中,把一些对象放在一起考虑时,就说这些对象组成了一个集合或集. 这些对象中的每一个,都叫作这个集合的一个元素. 2.集合具有的基本属性 (1)互异性:同一集合中的元素是互不相同的. (2)确定性:集合中的元素是确定的. (3)无序性:集合中的元素没有顺序. 第1章　集合与逻辑 3.元素与集合的关系 关系 语言表达 符号表示 读法 属于 a是集合S 的一个元素 a∈S a属于S 不属于 a不是集合 S的元素 a∉S (或a⋷S) a不属 于S 第1章　集合与逻辑 特别提醒    (1)a∈S与a∉S取决于a是不是集合S中的元素,在a∈S与a∉S这两种 情况中,必有一种且只有一种成立. (2)符号“∈”“∉”只能用在元素与集合之间,表示元素与集合之间的归属关 系. 第1章　集合与逻辑 1.常用数集及其记法 通常用R+表示全体正实数组成的集合;类似的有R-,Z+,N+,Q-,… 2.集合的分类 (1)有限集:元素个数有限的集合. (2)无限集:元素无限多的集合. 注意:没有元素的集合叫空集,记作⌀;空集也是有限集. 常用的 数集 自然 数集 整数集 有理 数集 实数集 记法 N Z Q R 2 | 常用数集与集合的分类 第1章　集合与逻辑 1.列举法 把集合中的元素一一列举出来的方法叫作列举法.列举法表示的集合的结构如下: 2.描述法 　　把集合中元素共有的,也只有该集合中元素才有的属性描述出来,以确定这个集 合的方法叫作描述法.描述法表示的集合的一般结构如下: 3 | 表示集合的方法 第1章　集合与逻辑 1.设a,b是两个实数,a<b. 2.实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),满足条件x≥a,x>a,x≤b,x<b的实数x组成 的集合可用区间分别表示为[a,+∞),(a,+∞),(-∞,b],(-∞,b). 名称 符号 数轴表示 闭区间 [a,b]   开区间 (a,b)   左闭右开区间 [a,b)   左开右闭区间 (a,b]   4 | 区间的概念及表示 第1章　集合与逻辑 1.数轴上离原点距离很近的所有点能否构成一个集合? 不能.数轴上离原点距离很近的所有点不满足集合中元素的确定性,不能构成一 个集合. 2.某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合? 能.某班身高高于175厘米的男生是确定的,能构成一个集合. 3.若集合A中含有两个元素a,b,则a,b应满足什么关系? a≠b. 4.如何区分0,⌀,{0},{⌀}? 0是一个数,⌀,{0},{⌀}都是集合.⌀不含任何元素,{0}含有一个元素0,{⌀}含有一 个元素⌀. 知识辨析 第1章　集合与逻辑 5.有人认为{x|y=x2+1},{y|y=x2+1}与{(x,y)|y=x2+1}表示的集合是一样的,这个说法 正确吗? 不正确.这三个集合的代表元素不同,表示的意义也不一样,{x|y=x2+1}=R,{y|y=x2+ 1}=[1,+∞),{(x,y)|y=x2+1}可表示抛物线y=x2+1上的点的集合. 第1章　集合与逻辑 1 集合中元素的特性及应用   1.确定性.它是确定一些对象能否构成集合的重要依据,构成集合的元素需有明确 的标准,不能模棱两可. 2.互异性.它是决定集合中元素互不相同的依据,意味着集合中不能有重复元素. 在含参数的集合问题中,尤其要注意应用互异性检验所求得的参数的值是否合 理. 3.无序性.集合中的元素可以交换顺序,解题过程中仅改变元素顺序并没有改变集 合. 第1章　集合与逻辑  典例    (1)已知集合A={1,a2},若a∈A,则实数a的值为    0　    ; (2)若集合B={a,a2},1∈B,则实数a的值为　-1    . 解析    (1)因为A={1,a2},a∈A,所以a=1或a=a2. ①若a=1,则a2=1,这与“互异性”相矛盾,故a≠1. ②若a=a2,则a=0或a=1(舍去),当a=0时,A中含有元素1和0,满足集合中元素的互异 性,符合题意. 综上,实数a的值为0. (2)因为B={a,a2},1∈B,所以a=1或a2=1,即a=±1. 当a=1时,a=a2,与“互异性”相矛盾,故a≠1; 当a=-1时,集合B中含有1,-1两个元素,符合集合中元素的互异性,所以a=-1. 第1章　集合与逻辑 解题模板    由集合中元素的特性求解参数的值的步骤:   第1章　集合与逻辑 2　集合的表示方法   集合的表示方法有列举法和描述法,它们各有优缺点,应根据具体问题进行 选择,一般遵循最简原则. 1.列举法的适用范围 (1)元素个数少时,一般可全部列举出来,如{1,2,3,4}. (2)元素个数多且有限时,若可以将元素按某种规律排列,则可采用列举部分元素, 中间用省略号表示的方法,如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3,…, 1 000}. (3)元素个数无限但有规律时,也可以结合省略号采用列举法,如自然数集N可以 表示为{0,1,2,3,…}. 第1章　集合与逻辑 2.用描述法表示集合时的注意点 (1)写清楚集合中的代表元素,如数或点等. (2)说明该集合中元素所具有的共同特征. (3)不能出现未经说明的字母. (4)所有描述的内容都要写在大括号内,语言要力求简洁、准确. (5)“{}”有“所有”“全体”的含义,如{x|x为自然数}即代表自然数集N,不能 表示为{x|x为所有自然数}或{N}. 第1章　集合与逻辑  典例　已知用描述法表示的集合A= ,B= ,如果 用列举法表示,那么集合A=    {1,2,4,5,6,9}    ,B=    {-6,-3,-2,-1,3,6}    . 解析    ∵x∈N+且 ∈Z,∴x的所有可能取值有1,2,4,5,6,9, ∴用列举法表示集合A为{1,2,4,5,6,9}. ∵ ∈Z, ∴3-x=±1或3-x=±2或3-x=±3或3-x=±6, 由3-x=1,得x=2∈N+;由3-x=-1,得x=4∈N+;由3-x=2,得x=1∈N+;由3-x=-2,得x=5∈N+; 由3-x=3,得x=0,与x∈N+矛盾,故3-x≠3;由3-x=-3,得x=6∈N+;由3-x=6,得x=-3,与x∈ N+矛盾,故3-x≠6;由3-x=-6,得x=9∈N+. 故3-x的值只能是-1,1,-2,2,-3,-6, 第1章　集合与逻辑 对应 的值依次为-6,6,-3,3,-2,-1, 即B={-6,-3,-2,-1,3,6}. 易错警示    列举集合中元素时要弄清代表元素是谁,同时要抓住代表元素的属 性,本例中A,B的代表元素分别是x和 ,注意不可混淆. 第1章　集合与逻辑 3　与方程有关的集合问题   与方程有关的集合问题中,往往用集合表示方程的解,集合中的元素就是方 程的实数根. (1)当方程中含有参数时,一般需对参数进行分类讨论,如在研究方程ax2+bx+c=0 (a,b不同时为0)的解时,需分a=0和a≠0两种情况讨论. (2)在根据方程根的情况确定参数的值或取值范围时,还需要对集合中元素的互 异性进行检验. 第1章　集合与逻辑  典例　已知集合A={x|kx2-8x+16=0}. (1)若集合A中只有一个元素,求实数k的取值集合; (2)若集合A中至少有一个元素,求实数k的取值集合. 思路点拨　集合中只有一个元素表明关于x的方程kx2-8x+16=0只有一个根或两 个相等的实数根;集合中至少有一个元素表明关于x的方程kx2-8x+16=0有一个根 或两个根.解题时应注意对方程的最高次项的系数进行分类讨论. 第1章　集合与逻辑 解析    (1)①当k=0时,方程kx2-8x+16=0变为-8x+16=0, 解得x=2,满足题意; ②当k≠0时,要使集合A={x|kx2-8x+16=0}中只有一个元素, 则方程kx2-8x+16=0有两个相等的实数根, 所以Δ=64-64k=0,解得k=1,此时集合A={4},满足题意. 综上所述,实数k的取值集合为{0,1}. (2)由题意可知,方程kx2-8x+16=0至少有一个实数根. ①当k=0时,方程kx2-8x+16=0变为-8x+16=0,解得x=2,符合题意; ②当k≠0时,要使方程kx2-8x+16=0至少有一个实数根, 则Δ=64-64k≥0,即k≤1. 所以k≤1且k≠0. 综上可知,实数k的取值集合为{k|k≤1}. 第1章　集合与逻辑 $$