3.2.1 函数的单调性与最值（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（湘教版2019）

3.2.1　函数的单调性与最值 3.2　函数的基本性质 1 | 函数的最值 设D是函数f(x)的定义域,I是D的一个非空的子集.如不加说明,我们认为I是个区 间. 如果有a∈D,使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立,就说f(x)在x=a处取到最大值 M=f(a),称M为f(x)的最大值,a为f(x)的最大值点. 如果有b∈D,使得不等式f(x)≥f(b)对一切x∈D成立,就说f(x)在x=b处取到最小值 N=f(b),称N为f(x)的最小值,b为f(x)的最小值点. 最大值和最小值统称为最值. 第3章　函数的概念与性质 　　如果函数y=f(x)在区间I上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区 间上具有(严格的)单调性,区间I叫作y=f(x)的单调区间. 增函数 减函数 条件 设D是函数f(x)的定义域,I是D的一个非空的子集.如果对于I上任意两个值x1,x2,当x1<x2时,都有 f(x1) <f(x2) f(x1)>f(x2) 结论 就称f(x)是区间I上的增函数,也称f(x)在区间I上单调递增 就称f(x)是区间I上的减函数,也称f(x)在区间I上单调递减 2 | 函数的单调性 第3章　函数的概念与性质 1.函数y= 在定义域上是减函数吗? 不是.y= 在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上也单调递减,但不能说y= 在(-∞,0)∪ (0,+∞)上单调递减. 2.若函数f(x)是其定义域上的增函数,且f(a)>f(b),则a,b满足什么关系?如果函数f(x) 是减函数呢? 若函数f(x)是其定义域上的增函数,那么当f(a)>f(b)时,a>b.若函数f(x)是其定义域 上的减函数,那么当f(a)>f(b)时,a<b. 3.决定二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)单调性的因素有哪些? 其图象的开口方向和对称轴的位置,即解析式中字母a的符号及- 的大小. 知识辨析 第3章　函数的概念与性质 4.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的对称轴与区间[m,n]可能存在几种位置关系?试画 草图给予说明.   第3章　函数的概念与性质 1　函数单调性的判断与证明   1.利用定义证明函数f(x)在给定的区间I上的单调性的一般步骤 第一步:取值,设x1,x2是区间I内的任意两个值,且x1<x2. 第二步:作差,即f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1)). 第三步:变形,通过因式分解、配方、分母有理化等方法,向有利于判断差的符号 的方向变形. 第四步:判断正负,确定f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1))的正负,当正负不确定时,需进行分类 讨论. 第五步:下结论,指出函数f(x)在给定的区间I上的单调性. 　　注意:第一步强调取值的任意性;第二步也可以用作商法比较;第三步是关键, 在变形时一般尽量化成几个最简因式的乘积或几个非负数的和的形式. 第3章　函数的概念与性质 2.函数单调性的等价变形 任取x1,x2∈I,且x1≠x2,那么(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0⇔ >0⇔f(x)在I上是增函 数;(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0⇔ <0⇔f(x)在I上是减函数. 第3章　函数的概念与性质 3.常见函数的单调性 常见函数 单调性 一次函数y=ax+b(a≠0) a>0时,在R上单调递增; a<0时,在R上单调递减 反比例函数y= (a≠0) a>0时,单调减区间是(-∞,0)和(0,+∞); a<0时,单调增区间是(-∞,0)和(0,+∞) 二次函数y=a(x-m)2+n(a≠0) a>0时,单调减区间是(-∞,m],单调增区间是[m,+∞); a<0时,单调减区间是[m,+∞),单调增区间是(-∞,m] 第3章　函数的概念与性质 4.复合函数单调性的判断依据 由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合,得到函数y=f(g(x)),其单调性的判断方法如下表: 　　复合函数的单调性可简记为“同增异减”,即内外函数的单调性相同时单调 递增,相异时单调递减. u=g(x) y=f(u) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 第3章　函数的概念与性质  典例    (多选)下列命题中正确的是 (    AD    ) A.函数y=2x2+x+1在(0,+∞)上是增函数 B.函数y= 在(-∞,1)∪(1,+∞)上是减函数 C.函数y= 的单调递减区间是[2,+∞) D.若函数值不为零的函数f(x)对任意实数x,y均有f(x)·f(y)=f(x+y),且当x<0时,f(x)>1, 则f(x)为(-∞,+∞)上的减函数 第3章　函数的概念与性质 解析    对于A,抛物线y=2x2+x+1的开口向上,对称轴为直线x=- =- ,所以函数y= 2x2+x+1在(0,+∞)上单调递增,故A正确; 对于B,因为当x=-2时,y=- ,当x=2时,y=1,所以函数y= 在(-∞,1)∪(1,+∞)上不 是减函数,故B错误; 对于C,解不等式5+4x-x2≥0,得-1≤x≤5,所以函数y= 的定义域为[-1,5], 故C错误; 对于D,因为f(x)·f(y)=f(x+y),所以f(0)·f(0)=f(0),f(x)·f(-x)=f(x-x)=f(0). 又f(0)≠0,所以f(0)=1,所以f(x)·f(-x)=1>0,故f(x)与f(-x)同号,又当x<0时,f(x)>1,所以f (x)>0恒成立. 第3章　函数的概念与性质 任取x1,x2∈R且x1>x2,则f(x1)·f(x2-x1)=f(x2), 又x2-x1<0,故 =f(x2-x1)>1, 又f(x1)>0,所以f(x2)>f(x1),故f(x)为(-∞,+∞)上的减函数,故D正确.故选AD. 第3章　函数的概念与性质 2　函数单调性的应用   1.利用函数的单调性解不等式 (1)利用函数的单调性解不等式主要依据函数单调性的概念,将符号f“脱掉”,列 出关于未知量的不等式(组),然后求解,此时注意函数的定义域. (2)解有关抽象函数的不等式问题的一般步骤: ①将不等式化为f(x1)<f(x2)的形式,其中x1,x2在f(x)的定义域D内; ②若函数f(x)是D上的增函数,则x1<x2,若函数f(x)是D上的减函数,则x1>x2. 第3章　函数的概念与性质 2.利用函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)利用单调性的定义:在单调区间内任取x1,x2,且x1<x2,由f(x1)-f(x2)<0(或f(x1)-f(x2)> 0)恒成立求参数的取值范围. (2)利用具体函数本身所具有的特征:如根据二次函数的图象的对称轴相对于所 给单调区间的位置建立关于参数的不等式,解不等式求参数的取值范围. 　　注意:若某个函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子区间 上也是单调的. 　　根据分段函数的单调性求参数的取值范围时,一般从两方面考虑:一方面,每 个分段区间上的函数具有相同的单调性,由此列出相关式子;另一方面,要考虑分 界点处函数值之间的大小关系,由此列出另外的式子,从而解得参数的取值范围. 第3章　函数的概念与性质  典例　定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(mn)=f(m)+f(n),且当x>1时, f(x)>0. (1)求证: f =f(m)-f(n); (2)判断函数f(x)的单调性,并说明理由; (3)若f(2)=1,解不等式f(x+3)-f(3x)>3. 解析    (1)证明:由m= ·n, 可得f(m)=f =f +f(n), ∴f =f(m)-f(n). (2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则 >1. 第3章　函数的概念与性质 由(1)及已知可得f(x2)-f(x1)=f >0,即f(x2)>f(x1). ∴f(x)在(0,+∞)上单调递增. (3)由f(2)=1,可得f(4)=f(2)+f(2)=2, 令m=4,n=2, 则f(8)=f(4)+f(2)=3, ∴不等式f(x+3)-f(3x)>3即f(x+3)-f(3x)>f(8), 第3章　函数的概念与性质 即f >f(8). 由(2)可知f(x)在定义域内单调递增, ∴ 解得0<x< . ∴不等式f(x+3)-f(3x)>3的解集为 . 第3章　函数的概念与性质 3  求二次函数最值的常见类型及解法   1.求二次函数的最大(小)值有两种类型:一种是函数的定义域为实数集R,这时只 要根据抛物线的开口方向,应用配方法即可求出最大(小)值;另一种是函数的定义 域为某一区间,这时二次函数的最大(小)值由它的单调性确定,而单调性又由抛物 线的开口方向和对称轴的位置来决定,当开口方向或对称轴位置不确定时,需要 进行分类讨论. 2.求二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间[m,n]上的最值一般分为以下几种情况: (1)若- 在区间[m,n]内,则最小值为f ,最大值为f(m),f(n)中的较大者. (2)若- <m,则f(x)在区间[m,n]上单调递增,最大值为f(n),最小值为f(m). (3)若- >n,则f(x)在区间[m,n]上单调递减,最大值为f(m),最小值为f(n). 第3章　函数的概念与性质  典例　已知函数f(x)=x2-2x-3,若x∈[t,t+2],求函数f(x)的最小值. 解析    易知f(x)图象的对称轴为直线x=1. 当t+2≤1,即t≤-1时,f(x)在[t,t+2]上为减函数, ∴f(x)min=f(t+2)=(t+2)2-2(t+2)-3=t2+2t-3; 当t<1<t+2,即-1<t<1时, f(x)在[t,1]上为减函数,在[1,t+2]上为增函数,∴f(x)min=f(1)=- 4; 当t≥1时,f(x)在[t,t+2]上为增函数, ∴f(x)min=f(t)=t2-2t-3. 综上,f(x)min=  第3章　函数的概念与性质 $$