2.2 从函数观点看一元二次方程 2.3 一元二次不等式（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（湘教版2019）

2.2　从函数观点看一元二次方程 1 | 二次函数的零点 2.3　一元二次不等式 　　一般地,我们把使得ax2+bx+c=0(a≠0)成立的实数x叫作二次函数y=ax2+bx+c 的零点.这样,一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根就是二次函数y=ax2+bx+c的零点, 也就是函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴交点的横坐标. 第2章　一元二次函数、方程和不等式 1.一元二次不等式的概念 　　我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次 不等式. 2.解形如ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(其中a>0)的一元二次不等式的一般步骤: (1)确定对应一元二次方程ax2+bx+c=0的根; (2)画出对应二次函数y=ax2+bx+c的大致图象; (3)由图象得出不等式的解集. 　　对于二次项系数是负数(即a<0)的一元二次不等式,可以先把二次项系数化 为正数,再按上述步骤求解. 2 |一元二次不等式及其解法 第2章　一元二次函数、方程和不等式 　　二次函数、一元二次方程、一元二次不等式(即三个“二次”)之间的关系 如下(其中a,b,c为常数,a>0): Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c 的图象       一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 有两个相异实根x1,x2 (x1<x2) 有两个相等实根 x1=x2=-  没有实根 3 | 三个“二次”之间的关系 第2章　一元二次函数、方程和不等式 一元二次不等式 ax2+bx+c>0的解集 {x|x<x1或x>x2}   R 一元二次不等式 ax2+bx+c<0的解集 {x|x1<x<x2} ⌀ ⌀ 第2章　一元二次函数、方程和不等式 利用一元二次不等式解决实际问题的一般步骤 (1)理解题意,分清量与量之间的关系; (2)建立相应的不等关系,把实际问题抽象为一元二次不等式问题; (3)解这个一元二次不等式,结合实际检验,得到实际问题的解. 4 | 一元二次不等式的应用 第2章　一元二次函数、方程和不等式 1.函数y=ax2+bx+c的零点就是函数图象与x轴的交点吗? 不是.函数y=ax2+bx+c的零点就是函数图象与x轴交点的横坐标. 2.不等式x2-y2>0是一元二次不等式吗? 不是.此不等式含有两个变量,根据一元二次不等式的定义,可知不是一元二次不 等式. 3.若一元二次不等式ax2+x-1>0的解集为R,则实数a应满足什么条件? 结合二次函数的图象可知,若一元二次不等式ax2+x-1>0的解集为R,则  此不等式组无解,所以不存在实数a使不等式ax2+x-1>0的解集为R. 知识辨析 第2章　一元二次函数、方程和不等式 4.设一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)和ax2+bx+c<0(a>0)的解集分别为{x|x<x1 或x>x2},{x|x1<x<x2}(x1<x2),则x1+x2,x1x2为何值? 不等式的解集的端点值是相应方程的根,则  5. >0与(x-3)(x+2)>0等价吗? 等价. 第2章　一元二次函数、方程和不等式 1 含参数的一元二次不等式的解法   解含参数的一元二次不等式的基本方法——分类讨论 　　解含参数的一元二次不等式时,为了做到分类不重不漏,讨论一般需从如下 几个方面考虑: (1)关于二次项系数符号的讨论:分a>0,a<0.(注意,在未说明不等式为一元二次不 等式的情况下,还要考虑a=0的情况) (2)关于不等式对应方程的根的个数的讨论:分两根(Δ>0),一根(Δ=0),无根(Δ<0). (3)关于不等式对应方程的根x1,x2的大小的讨论:分x1>x2,x1=x2,x1<x2. 第2章　一元二次函数、方程和不等式  典例　设m∈R,解关于x的不等式m2x2+2mx-3<0. 解析    (1)当m=0时,不等式为-3<0,不等式成立,故原不等式的解集为R. (2)当m≠0时,m2>0,原不等式可化为  <0. ①当m>0时, >- ,原不等式的解集为 x - <x<  ; ②当m<0时,- > ,原不等式的解集为 x  <x<-  . 综上,当m=0时,原不等式的解集为R; 当m>0时,原不等式的解集为 ; 当m<0时,原不等式的解集为 . 易错提醒    对参数分类讨论的各种情况是相互独立的,其解集不能合并. 第2章　一元二次函数、方程和不等式 2　简单的分式不等式的解法   1.解分式不等式的思路:先转化为整式不等式,再求解. 2.化分式不等式为“标准形式”的方法:移项,通分,右边化为0,左边化为 的形 式(f(x),g(x)为关于x的整式). (1)形如 >a(a≠0)的分式不等式可同解变形为 >0,进而转化为g(x) [f(x)-ag(x)]>0. (2)解 ≥0(≤0)型的分式不等式,转化为整式不等式后,应注意分子可取0,而分 母不能取0. 第2章　一元二次函数、方程和不等式  典例　解下列关于x的不等式: (1)-1< <1;(2) <1-a(a∈R). 思路点拨    (1)将原不等式拆成两个不等式并组成不等式组再求解,或分x>0和x< 0两种情况分别求解后取并集. (2)移项、合并化为 <0,再化为(ax+1-a)(x-1)<0,对a进行分类讨论求解. 第2章　一元二次函数、方程和不等式 解析    (1)解法一:原不等式等价于  即 整理得  此不等式组等价于  解得  所以x>1或x<-1, 所以原不等式的解集为{x|x>1或x<-1}. 解法二:当x>0时,由 <1得x>1,此时 >-1恒成立; 第2章　一元二次函数、方程和不等式 当x<0时,由 >-1得x<-1,此时 <1恒成立. 所以原不等式的解集为{x|x>1或x<-1}. (2)原不等式可化为 -(1-a)<0,即 <0,进一步化为(ax+1-a)(x-1)<0. ①当a>0时,不等式化为 (x-1)<0. 因为 <1, 所以不等式的解集为 . ②当a=0时,不等式化为x-1<0,即x<1,所以不等式的解集为{x|x<1}. ③当a<0时,不等式化为 (x-1)>0. 因为 >1, 第2章　一元二次函数、方程和不等式 所以不等式的解集为 . 综上,当a>0时,原不等式的解集为 ; 当a=0时,原不等式的解集为{x|x<1}; 当a<0时,原不等式的解集为 x x> 或x<1 . 解后反思    解分式不等式时,一般要等价变形为一边为零的形式,再化为一元二 次不等式(组)求解.当分式不等式的两边用“≥”或“≤”连接时,要注意分母不 能为零. 第2章　一元二次函数、方程和不等式 3　一元二次不等式恒成立问题   1.不等式ax2+bx+c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是:当a=0时,b=0,且c>0;当a ≠0时,a>0,且Δ<0. 2.不等式ax2+bx+c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是:当a=0时,b=0,且c<0;当a ≠0时,a<0,且Δ<0. 3.解决恒成立问题一定要分清谁是自变量,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就 是自变量,求谁的范围,谁就是参数. 4.若f(x)有最大值f(x)max,则a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max;若f(x)有最小值f(x)min,则a<f(x)恒 成立⇔a<f(x)min. (f(x)是关于x的函数) 第2章　一元二次函数、方程和不等式  典例    (1)对任意实数x,若y=(5-a)x2-6x+a+5恒为正值,则a的取值范围是    (-4,4)   ; (2)已知函数y=x2+mx-1,若对任意x∈[m,m+1],都有y<0成立,则实数m的取值范围是          . 解析    (1)由题意可得  解得-4<a<4. (2)作出函数y=x2+mx-1的图象(如图), 因为对任意x∈[m,m+1],都有y<0, 第2章　一元二次函数、方程和不等式 所以  解得- <m<0.   解题总结    解与一元二次不等式有关的恒成立问题,可借助二次函数的图象求 解,必要时可通过分离参数的方法求解. 第2章　一元二次函数、方程和不等式 4　一元二次不等式的实际应用    典例　某自来水厂的蓄水池存有400 t水,水厂每小时可向蓄水池中注水60 t,同 时蓄水池又向居民小区不间断供水,m h内供水总量为120  t(0≤m≤24). (1)开始供水多长时间后,蓄水池中的水量最少?最少水量是多少? (2)若蓄水池中水量少于80 t,就会出现供水紧张现象,请问在一天之中,有几个小 时出现供水紧张现象? 第2章　一元二次函数、方程和不等式 解析    (1)设开始供水m h后,蓄水池中的水量为y t,则y=400+60m-120  =60(  - )2+40. ∵0≤m≤24,∴0≤ ≤2 , ∴当 = ,即m=6时,ymin=40. 故开始供水6 h后,蓄水池中的水量最少,最少水量为40 t. (2)令 =x,则0≤x≤12, 由题意,得400+10x2-120x<80,即x2-12x+32<0, 解得4<x<8,则16<x2<64. ∵x2=6m,∴16<6m<64,∴ <m< . ∵ - =8, ∴每天有8个小时出现供水紧张现象. 第2章　一元二次函数、方程和不等式 素养　在实际问题中应用基本不等式发展数学建模核心素养 　　数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构 建模型解决问题的素养.在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析 问题、建立模型,确定参数、计算求解,检验结果、改进模型,最终解决实际问题. 素养解读 第2章　一元二次函数、方程和不等式 典例呈现  例题　为精准落实帮扶措施,某村为某帮扶对象建设猪圈,帮助其养猪致富.现 要建设完全一样的地面为长方形的猪圈两间(每间留一个面积为1平方米的门), 一面利用原有的墙(墙足够长),其他各墙面用砖砌成(如图).每间猪圈的地面面积 为24平方米,高为2米,新砌砖墙每平方米造价100元(猪圈的地面和顶部不计费用, 砖墙的厚度忽略不计),每个门造价200元.设每间猪圈不靠墙一边的长为x米,猪圈 的总造价为y元. 第2章　一元二次函数、方程和不等式 (1)求y关于x的函数解析式(不必写出自变量的取值范围); (2)当x的值为多少时,可使两间猪圈的总造价最低?并求出最低造价. 解题思路    (1)根据题意得y= ×100+2×200=400· +200. 故y关于x的函数解析式为y=400· +200. (2)y=400 +200≥400×2 +200=5 000, 当且仅当x= ,即x=6时等号成立. 故当x=6时,猪圈的总造价最低,最低造价为5 000元. 第2章　一元二次函数、方程和不等式 用基本不等式解决实际问题的一般步骤 (1)理解题意,确定变量; (2)建立相应的关系式,把实际问题转化、抽象为最大值或最小值问题; (3)在自变量的取值范围内,求出最大值或最小值; (4)结合实际意义求出正确的结果,回答实际问题. 思维升华 第2章　一元二次函数、方程和不等式 $$