1.2.3 全称量词和存在量词（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（湘教版2019）

1.2.3　全称量词和存在量词 1 | 全称量词与全称命题 全称量词 “任意”“所有”“每一个”等在逻辑中通常叫作全称量词,并用符号“∀”表示 全称命题 语句“对M的任一个元素x,有p(x)成立”叫作全 称命题,用符号简记为∀x∈M,p(x) 第1章　集合与逻辑 　　注意:涉及量词的命题必须指出量词的作用范围. 存在量词 “存在某个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫作存在量词,并用符号“∃”表示 特称命题 语句“存在M的某个元素x,使p(x)成立”叫作特 称命题,用符号简记为∃x∈M,p(x) 2 | 存在量词与特称命题 第1章　集合与逻辑 命题的类型 命题的符号表示 命题的否定的符号表示 命题的否定的类型 全称命题 ∀x∈I,p(x) ∃x∈I,¬p(x) 特称命题 特称命题 ∃x∈I,p(x) ∀x∈I,¬p(x) 全称命题 3 |含量词命题的否定 第1章　集合与逻辑 1.全称命题与特称命题有什么区别? ①全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质,无一例外, 强调“整体、全部”. ②特称命题中的存在量词表明给定范围内不是所有对象都不具有某一性质,强调 “个别、部分”. 2.“一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有实数解”是特称命题还是全称命题?请改 写成相应命题的符号形式. 是特称命题.可改写为“∃x∈R,ax2+2x+1=0(a≠0)”. 3.无量词的全称命题应如何进行否定? 先补回量词再进行否定. 知识辨析 第1章　集合与逻辑 1　全称命题与特称命题真假判定的技巧     第1章　集合与逻辑  典例　判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假. (1)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除; (2)对任意非零实数x1,x2,若x1<x2,则 > ; (3)对任意x∈R,x2+2x+1>0都成立; (4)∃x∈R,x2+1=0. 解析    (1)特称命题. 因为99既能被11整除,又能被9整除, 所以该命题是真命题. (2)全称命题. 存在x1=-1,x2=1,满足x1<x2, 第1章　集合与逻辑 但 < , 所以该命题是假命题. (3)全称命题. 因为存在x=-1,使x2+2x+1=0, 所以该命题是假命题. (4)特称命题. 因为对任意x∈R,x2+1>0恒成立, 所以该命题是假命题. 第1章　集合与逻辑 2 含量词命题的否定及其真假判断   1.全称(特称)命题的否定是将其全称量词(存在量词)改为存在量词(全称量词),并 把结论否定,即“改量词,否结论”. 2.命题与命题的否定的真假相反.当命题的否定的真假不易判断时,可以通过判断 原命题的真假来得出命题的否定的真假. 第1章　集合与逻辑  典例　写出下列命题的否定,并判断命题的否定的真假. (1)∀x∈R,x2-x+ ≥0; (2)所有的正方形都是矩形; (3)至少有一个实数x,使x3+1=0. 解析    (1)∃x∈R,x2-x+ <0,是假命题. (2)至少有一个正方形不是矩形,是假命题. (3)对任意实数x,x3+1≠0恒成立,是假命题. 第1章　集合与逻辑 3　全称命题和特称命题及其否定中的求参问题   1.全称命题的求参问题常以一次函数、二次函数等为载体进行考查,一般为“恒 成立”问题.解决此类问题时,可构造函数,利用数形结合思想求参数的取值范围, 也可用分离参数法求参数的取值范围. 2.特称命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语,对于此类问题,通常是假 设存在满足条件的参数,然后利用条件求参数范围.若能求出参数范围,则假设成 立;否则,假设不成立.解决有关特称命题的参数的取值范围问题时,一般转化为 “有解”问题,求解时应尽量分离参数.有以下常见结论: (1)∃x∈R,y=0等价于方程y=0有实数根; (2)∀x∈R,y>0就是不等式y>0恒成立,等价于ymin>0; 第1章　集合与逻辑 (3)∃x∈R,y>0就是不等式y>0有解,等价于ymax>0; (4)∀x∈R,y<0就是不等式y<0恒成立,等价于ymax<0; (5)∃x∈R,y<0就是不等式y<0有解,等价于ymin<0. 第1章　集合与逻辑  典例　已知命题p:“∃x∈R,x2-2x+m≤0”是假命题,则实数m的取值范围为     (1,+∞)    . 思路点拨　命题p的否定¬p一定为真命题,可以通过分离参数法,转化为不等式恒 成立问题,通过求最值得出m的取值范围;也可以利用二次函数的图象和性质转化 为Δ与0的大小关系,解不等式求解(此部分内容在第二章还会有介绍). 解析    解法一:由题意知¬p:∀x∈R,x2-2x+m>0是真命题, 即m>-x2+2x=-(x-1)2+1在x∈R上恒成立, 设函数y=-(x-1)2+1,由二次函数的性质知, 当x=1时,y最大值=1, ∴m>y最大值=1, 第1章　集合与逻辑 即实数m的取值范围是(1,+∞). 解法二:由题意知¬p:∀x∈R,x2-2x+m>0是真命题, 设函数y=x2-2x+m,由二次函数的图象和性质知,只需方程x2-2x+m=0中Δ<0,即4-4m <0,解得m>1, 故实数m的取值范围是(1,+∞). 方法技巧    已知命题p为假命题求参数的值或取值范围时,通常等价转化为¬p是 真命题后,再求参数的值或取值范围. 第1章　集合与逻辑 $$