第2章 专题强化练2 实数大小的比较（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教B版2019）

专题强化练2　实数大小的比较 1.(多选题)已知实数a,b,c满足c<b<a且ac<0,则下列不等式一定成立的是(　　) A.ab>ac　　　B.c(b-a)>0 C.ac(a-c)<0　　　D.cb2<ab2 2.已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系是(　　) A.c≥b>a　　　B.a>c≥b　　　C.c>b>a　　　D.a>c>b 3.有外表一样、质量不同的四个小球,它们的质量分别是a,b,c,d,已知a+b=c+d,a+d>b+c,a+c<b,则这四个小球质量的大小关系是(　　) A.d>b>a>c　　　B.b>c>d>a C.d>b>c>a　　　D.c>a>d>b 4.(多选题)已知实数a,b满足a>b2+1,则下列不等关系一定正确的是(　　) A.a>2b　　　B.a>2b+1 C.a>b-1　　　D.2a>b2-b+1 5.已知a,b,c∈(0,+∞),若,则(　　) A.c<a<b　　　B.b<c<a　　　C.a<b<c　　　D.c<b<a 6.若x>0,y>0,a=,则a与b的大小关系为(　　) A.a>b　　　B.a<b　　　C.a≤b　　　D.a≥b 7.若a>b>c>0,x=,则x,y,z的大小关系是　　　.(用“>”连接)  8.已知0<a<,且M=,则M,N的大小关系是　　　　.(用“>”连接)  9.已知a<b<c,则a2b+b2c+c2a　　　　ab2+bc2+ca2.(填“>”“<”或“=”)  10.以max M表示数集M中最大的数.设0<a<b<c<1,已知b≥2a或a+b≤1,则max{b-a,c-b,1-c}的最小值为　　　　.  11.已知a>1,b>1,比较的大小. 12.已知a,b均为正实数. (1)用作差法比较大小: ①a3+b3与a2b+ab2; ②a5+b5与a3b2+a2b3; (2)请你根据(1)中比较大小的结果写出一个更一般的结论.(无须证明) 答案与分层梯度式解析 专题强化练2　实数大小的比较 1.ABC 2.A 3.A 4.ACD 5.A 6.B 1.ABC　因为c<b<a,ac<0,所以c<0,a>0,所以ab>ac,故A一定成立;因为b-a<0,所以c(b-a)>0,故B一定成立;因为a-c>0,ac<0,所以ac(a-c)<0,故C一定成立;当b=0时,cb2=ab2,当b≠0时,cb2<ab2,故D不一定成立.故选ABC. 2.A　∵c-b=4-4a+a2=(2-a)2≥0,∴c≥b. 2b=(b+c)-(c-b)=(6-4a+3a2)-(4-4a+a2)=2+2a2,∴b=1+a2, ∵1+a2-a=>0,∴1+a2>a,即b>a,∴c≥b>a. 3.A　∵a+b=c+d,a+d>b+c,∴a+d+(a+b)>b+c+(c+d),即a>c,∴b<d.又a+c<b,∴a<b. 综上可得,d>b>a>c. 4.ACD　对于A,(b2+1)-2b=(b-1)2≥0,所以a>b2+1≥2b,则a>2b,故A正确; 对于B,取a=2.5,b=1,满足a>b2+1=2,但a<2b+1=3,故B错误; 对于C,(b2+1)-(b-1)=>0,所以a>b2+1>b-1,故C正确; 对于D,由a>b2+1,得2a>2b2+2, 因为(2b2+2)-(b2-b+1)=b2+b+1=>0,所以2a>2b2+2>b2-b+1,故D正确. 故选ACD. 5.A　因为, 所以+1,即, 又因为a,b,c∈(0,+∞),所以a+b>b+c>c+a. 由a+b>b+c可得a>c,由b+c>c+a可得b>a, 所以c<a<b.故选A. 6.B　∵x>0,y>0,∴x+y+1>0,b(1+x+y)==a.故选B. 7.答案　z>y>x 解析　解法一:易得y2-x2=2c(a-b)>0,∴y>x.同理,可得z>y,∴z>y>x. 解法二:令a=3,b=2,c=1,则x=,故z>y>x. 8.答案　M>N 解析　∵0<a<,∴0<ab<1,即1-ab>0. ∴M-N= =>0, ∴M>N. 9.答案　< 解析　a2b+b2c+c2a-(ab2+bc2+ca2) =(a2b-ab2)+(b2c-bc2)+(c2a-ca2) =ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a) =ab(a-b)+bc[(b-a)+(a-c)]+ca(c-a) =ab(a-b)+bc(b-a)+bc(a-c)+ca(c-a) =b(a-b)(a-c)+c(a-c)(b-a) =(a-b)(a-c)(b-c). ∵a<b<c,∴a-b<0,a-c<0,b-c<0, ∴(a-b)(a-c)(b-c)<0, ∴a2b+b2c+c2a<ab2+bc2+ca2. 10.答案　 解析　解法一:令b-a=m,c-b=n,1-c=p,则m,n,p>0,b=1-n-p,a=1-m-n-p. 若b≥2a,则1-n-p≥2(1-m-n-p),即2m+n+p≥1. 令S=max{b-a,c-b,1-c}=max{m,n,p}, 易得所以4S≥2m+n+p≥1,所以S≥. 若a+b≤1,则1-m-n-p+1-n-p≤1,即m+2n+2p≥1. 易得所以5S≥m+2n+2p≥1,所以S≥. 综上,max{b-a,c-b,1-c}的最小值为,当且仅当b-a=c-b=1-c=,即a=时,等号成立. 解法二:令S=max{b-a,c-b,1-c},则 若a+b≤1,则由①+2×②+2×③,得5S≥(b-a)+2(c-b)+2(1-c)=2-b-a=2-(b+a)≥1,所以S≥. 若b≥2a,则由2×①+②+③,得4S≥2(b-a)+(c-b)+(1-c)=1+b-2a≥1,所以S≥. 所以S的最小值为,当且仅当b-a=c-b=1-c=,即a=时,等号成立. 解法三:令S=max{b-a,c-b,1-c},则 ②+③,得2S≥1-b,所以S≥④. 若b≥2a,则由①+④,得2S≥b-a+,所以S≥. 若a+b≤1,则由①+4×④,得5S≥b-a+4×=-a-b+2≥1,所以S≥. 所以S的最小值为,当且仅当b-a=c-b=1-c=,即a=时,等号成立. 解法四:令S=max{b-a,c-b,1-c},则 设(x+2y)S≥x(b-a)+y(c-b)+y(1-c)=-xa+(x-y)·b+y. 若b≥2a,则b-2a≥0,令 所以4S≥b-2a+1≥1,所以S≥. 若a+b≤1,则-a-b≥-1,令 所以5S≥-a-b+2≥1,所以S≥. 所以S的最小值为,当且仅当b-a=c-b=1-c=,即a=时,等号成立. 11.解析　 =, 因为a>1,b>1, 所以(a-b)2≥0,a+b>0,a-1>0,b-1>0, 所以-≤0,∴. 12.解析　(1)①(a3+b3)-(a2b+ab2) =(a3-a2b)+(b3-ab2) =a2(a-b)+b2(b-a) =(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b). 当a=b时,a-b=0,a3+b3=a2b+ab2; 当a≠b时,(a-b)2>0,又a+b>0,∴a3+b3>a2b+ab2. 综上所述,a3+b3≥a2b+ab2. ②(a5+b5)-(a3b2+a2b3) =(a5-a3b2)+(b5-a2b3) =a3(a2-b2)+b3(b2-a2)=(a2-b2)(a3-b3) =(a-b)2(a+b)(a2+ab+b2). ∵a>0,b>0,∴a+b>0,a2+ab+b2>0,又(a-b)2≥0, ∴a5+b5≥a3b2+a2b3. (2)一般性结论为:若a>0,b>0,m>0,n>0,则am+n+bm+n≥ambn+anbm. 学科网（北京）股份有限公司 $$