2.2.4 均值不等式及其应用（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教B版2019）

2.2.4　均值不等式及其应用 基础过关练 题组一　对均值不等式的理解 1.给出下列条件:①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0,其中能使≥2成立的条件个数为(　　) A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4 2.设a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的(　　) A.充分不必要条件　　　B.必要不充分条件 C.充要条件　　　 D.既不充分也不必要条件 3.已知正数a,b满足a+2b=1,则(　　) A.ab≥ C.0<ab≤ 4.下列不等式正确的是(　　) A.x2+≥2　　　B.a2+b2≥4ab C.≥4 5.数学里有一种证明方法叫做无字证明,一般是指仅用图形而无须用文字解释就能不证自明的数学命题.如图所示,在等腰直角三角形ABC中,O为斜边AB的中点,D为线段AB上异于端点的一个动点,设AD=a(a>0),BD=b(b>0),则该图形可以完成的无字证明为(　　) A. C.　　　D.a2+b2≥2 题组二　利用均值不等式比较大小 6.已知a,b为互不相等的正实数,则下列四个数中最大的是(　　) A. 7.已知a,b是互不相等的正实数,x=,则x,y的大小关系是　　　　.  8.某市一外贸公司第一年的产值增长率为a,第二年的产值增长率为b,这两年的平均产值增长率为x,则x与的大小关系是　　　　.  题组三　利用均值不等式求最值 9.已知实数x>1,则2-x-的(　　) A.最小值为1　 　B.最大值为1 C.最小值为-1　　　D.最大值为-1 10.已知x>0,y>0,且4x+y=1,则的最小值为(　　) A.5　　　B.4 11.若正实数a,b满足2a+b=6,则的最小值为(　　) A.　　　C.2　　　D.4 12.已知a>0,b>0,a+2b=1,则的最小值为(　　) A. 13.(多选题)已知正数x,y满足x+y=4,则下列说法不正确的是(　　) A.的最小值是4 B.xy的最大值是4 C.x2+y2的最小值是8 D.x(y+1)的最大值是 14.已知x>1,y>0,且x+=2,则+y的最小值是　　　　.  题组四　利用均值不等式进行证明 15.已知a,b,c为不全相等的正实数,求证:a+b+c>. 16.已知a>0,b>0,a+b=1,求证: (1)≥8; (2)≥9. 题组五　利用均值不等式解决实际问题 17.某社区要在办公楼外墙建一个面积为8 m2的矩形展示区,并计划在该展示区内设置三个全等的矩形宣传栏(如图所示).要求上、下各空0.25 m,左、右各空0.25 m,相邻宣传栏之间也空0.25 m.设三个宣传栏的面积之和为S m2,则S的最大值为　　　.  18.通过技术创新,某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场.2023年,该种玻璃售价为 25欧元/平方米,销售量为80万平方米. (1)据市场调查,售价每提高1欧元/平方米,销售量将减少2万平方米,要使销售收入不低于2 000万欧元,则该种玻璃的售价最高为多少欧元/平方米? (2)为提高年销售量,增加市场份额,公司将在2024年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革:提高价格到m(m>25)欧元/平方米,其中投入(m2-600)万欧元作为技术创新费用,投入500万欧元作为固定宣传费用,投入2m万欧元作为浮动宣传费用,则该种玻璃的销售量n(单位:万平方米)至少达到多少时,才可能使2024年的销售收入不低于2023年销售收入与2024年投入之和?并求出此时的售价. 能力提升练 题组一　利用均值不等式求最值 1.已知x,y为正实数,则的最小值为(　　) A.4　　　B.5　　　C.6　　　D.8 2.已知0<x<1,则的最小值为(　　) A.50　　　B.49　　　C.25　　　D.7 3.已知x,y为正实数,且x+y=1,则的最小值为(　　) A.24　　　B.25　　　C.6+4-3 4.(多选题)设a>0,b>0,已知M=,则下列说法正确的是(　　) A.M有最小值　　　B.M没有最大值 C.N有最大值　　　D.N有最小值 5.已知x>0,y>0,且x+y+xy-3=0,则(　　) A.xy的最小值是1　　　 B.x+y的最小值是2 C.x+4y的最小值是3　　　 D.x+2y的最大值是4-3 6.(多选题)已知正实数a,b,c满足a2-ab+4b2-c=0,当取最小值时,下列说法正确的是(　　) A.a=2b B.a+b+c的最小值为- C.c=4b2 D.a+b-c的最大值为 7.已知x>0,y>0,m>0,且(mx-y)=4,则m的最小值为　　　　.  8.已知实数x,y满足x>2y>0,且x+y=1,则的最小值为　　　　.  9.已知关于x的不等式x2-2mx+m+2≤0(m∈R)的解集为M. (1)当M为空集时,求实数m的取值范围; (2)在(1)的条件下,求的最小值; (3)当M不为空集,且M⊆{x|1≤x≤4}时,求实数m的取值范围. 题组二　利用均值不等式进行证明 10.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明: (1)ab+bc+ac≤; (2)a2+b2+c2≥. 题组三　利用均值不等式解决实际问题 11.如图,在半径为4的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD,其顶点A,B在直径上,顶点C,D在圆周上,则矩形ABCD面积的最大值为　　　　　　　　.  12.如图,互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD,现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ,要求P在射线AM上,Q在射线AN上,且PQ过点C,其中AB=30 m,AD=20 m.记三角形花园APQ的面积为S m2. (1)当DQ的长度是多少时,S取最小值?并求出S的最小值; (2)要使S不小于1 600,则DQ的长度应在什么范围内? 13.某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益,拟在下一年度开展促销活动,已知该款食品年销量x(吨)与年促销费用t(万元)之间满足函数关系式x=2-(k为常数),如果不开展促销活动,年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用,通过市场分析,若将每吨食品售价定为“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和,则当年生产的该款食品正好能销售完. (1)求k的值; (2)将下一年的利润y(万元)表示为促销费用t(万元)的函数; (3)该食品企业下一年的促销费用投入多少万元时,该款食品的利润最大? (注:利润=销售收入-生产成本-促销费用,生产成本=固定费用+生产费用) 答案与分层梯度式解析 2.2.4　均值不等式及其应用 基础过关练 1.C 2.A 3.C 4.A 5.C 6.B 9.D 10.A 11.B 12.D 13.AD 1.C　当均为正数时,≥2,故只需a,b同号即可,则①③④均满足要求.故选C. 2.A　当a+b≤4时,∵a>0,b>0,∴2≤a+b≤4,∴ab≤4,充分性成立.当a>0,b>0,ab≤4时,令a=4,b=1,则a+b=5>4,因此必要性不成立. 综上所述,当a>0,b>0时,“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.故选A. 3.C　由题意得,a>0,b>0,则ab>0,所以 a+2b=1≥2,即0<ab≤,当且仅当a=2b,即a=时等号成立.故选C. 4.A　A.易知x2≠0,∵x2>0,≥2,当且仅当x2=,即x2=时,等号成立,故A正确; B.当a=1,b=1时,a2+b2<4ab,故B不正确; C.当a>0,b>0时,,故C不正确; D.当a<0时,a+≥4不成立,故D不正确. 5.C　由题意得AB=AD+BD=a+b,OC=OA=OB=(a+b),OD=|OB-BD|=(a+b)-b=, 当O与D不重合时,在Rt△OCD中,CD2=OD2+OC2=,当O与D重合,即a=b时,CD2=. 综上,CD=. 因为OC≤CD,所以(a+b)≤,当且仅当a=b时取等号,故选C. 6.B　解法一:因为a,b为互不相等的正实数,所以,故四个数中最大的是,故选B. 解法二:根据题意可令a=1,b=2,则, 所以四个数中最大的是,故选B. 7.答案　x<y 解析　易得x2=. ∵a,b是互不相等的正实数,∴a+b>2,∴x2<y2, 易知x>0,y>0,∴x<y. 8.答案　x≤ 解析　由题意可得(1+x)2=(1+a)(1+b)≤,当且仅当a=b时,等号成立,所以1+x≤1+,即x≤. 9.D　2-x-≤1-2=1-2=-1,当且仅当x-1=,即x=2时,等号成立.故2-x-的最大值为-1.故选D. 10.A　因为x>0,y>0,且4x+y=1,所以+1≥2+1=5, 当且仅当时,等号成立,故的最小值为5.故选A. 11.B　由2a+b=6,得=1, 因为a>0,b>0,所以,当且仅当,2a+b=6,即a=,b=3时取等号, 所以.故选B. 12.D　因为a>0,b>0,且a+2b=1,所以+3≥3+2,当且仅当时取等号,故选D. 13.AD　因为x>0,y>0,x+y=4, 所以=1,当且仅当,即x=y=2时等号成立,A中说法错误; xy≤=4,当且仅当x=y=2时等号成立,B中说法正确; x2+y2≥=8,当且仅当x=y=2时等号成立,C中说法正确; x(y+1)≤,当且仅当x=y+1,即x=时等号成立,D中说法错误. 故选AD. 14.答案　9 解析　因为x+=2,所以x-1+=1, 则≥5+2=9, 当且仅当(x-1)y==2,即x=,y=6时,等号成立.所以+y的最小值是9. 15.证明　∵a>0,b>0,c>0, ∴a+b≥2(当且仅当a=b时等号成立), b+c≥2(当且仅当b=c时等号成立), c+a≥2(当且仅当a=c时等号成立), ∴2(a+b+c)≥2(),即a+b+c≥(当且仅当a=b=c时等号成立). 又∵a,b,c为不全相等的正实数, ∴a+b+c>. 16.证明　(1)∵a+b=1, ∴, ∵a>0,b>0, ∴≥2+2=4,当且仅当a=b=时等号成立, ∴≥8. (2)证法一:∵a+b=1,∴1+, 同理,1+, 又a>0,b>0, ∴≥5+4=9,当且仅当a=b=时等号成立, ∴≥9. 证法二:. 由(1)知,≥8, 故≥9,当且仅当a=b=时,等号成立. 17.答案　4.5 解析　设矩形展示区的长为x m,则宽为 m, 由题意得S=(x-0.25×4)≤8.5-2=4.5,当且仅当0.5x=,即x=4时,等号成立,所以S的最大值为4.5. 18.解析　(1)设该种玻璃的售价为x(x≥25)欧元/平方米,则其销售收入为[80-2(x-25)]x欧元, 令[80-2(x-25)]x≥2 000,即x2-65x+1 000≤0,解得25≤x≤40, 所以该种玻璃的售价最高为40欧元/平方米. (2)由题意得mn≥25×80+500+2m+(m2-600),整理得mn≥1 500+2m+m2, 两边同除以m得n≥m+2, 又m+2≥2+2=102,当且仅当m,即m=30时取等号,所以n≥102. 故该种玻璃的销售量至少达到102万平方米时,才可能使 2024年的销售收入不低于2023年销售收入与2024年投入之和,此时的售价为30欧元/平方米. 能力提升练 1.C 2.B 3.B 4.ABD 5.B 6.AD 1.C　令t=,则t>0,故-2≥2-2=6,当且仅当t+2=,即t=2时取等号,故选C. 2.B　∵0<x<1,∴1-x>0,∴≥25+2=49,当且仅当,即x=时取等号,∴的最小值为49,故选B. 3.B　因为x,y为正实数,且x+y=1,所以≥13+2=25, 当且仅当时,等号成立,所以的最小值为25.故选B. 4.ABD　因为a>0,b>0,所以M=≥2=2,当且仅当,即a=b时,等号成立,故A,B正确; 当a>0,b>0时,,即,所以N=,当且仅当a=b时,等号成立,故C错误,D正确.故选ABD. 5.B　因为x>0,y>0,且x+y+xy-3=0,所以x+y=3-xy≥2,当且仅当x=y时取等号,解得0<xy≤1,故A错误;xy=3-(x+y)≤,当且仅当x=y时取等号,解得x+y≥2,故B正确;由题意得x=>0,所以0<y<3,x+4y=-5≥2-5=3,当且仅当4(y+1)=,即y=0时取等号,又y>0,所以等号取不到,故C错误;x+2y=-3≥2-3,当且仅当2(y+1)=,即y=-1时取等号,故D错误.故选B. 6.AD　由a2-ab+4b2-c=0可得c=a2-ab+4b2, 故-1≥2-1=3,当且仅当a=2b时等号成立,故A正确; 当a=2b时,c=a2-ab+4b2=4b2-2b2+4b2=6b2,故C错误; 当a=2b时,a+b+c=3b+6b2=6,当b=-时,a+b+c有最小值-,显然取不到,故B错误; 当a=2b时,a+b-c=3b-6b2=-6,当b=时,a+b-c有最大值,故D正确.故选AD. 7.答案　9 解析　由(mx-y)=4,得m-+1=4,即=m-3. 因为x>0,y>0,m>0, 所以m-3=≥2, 当且仅当,即y=x时,等号成立, 令t=>0,则t2-2t-3≥0,解得t≥3或t≤-1(舍去),即≥3,故m≥9,当且仅当y=3x时,等号成立,故m的最小值是9. 8.答案　 解析　因为x>2y>0,且x+y=1, 所以 = =2+ ≥, 当且仅当,且x+y=1,即x=时等号成立. 所以. 9.解析　(1)∵M为空集,∴Δ=4m2-4(m+2)<0,即m2-m-2<0,解得-1<m<2, ∴实数m的取值范围为{m|-1<m<2}. (2)由(1)知-1<m<2,则0<m+1<3, ∴≥2=4, 当且仅当m+1=,即m=1时等号成立. 所以的最小值为4. (3)由M不为空集,且M⊆{x|1≤x≤4}, 得解得2≤m≤. 故实数m的取值范围为. 10.证明　(1)因为a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”),b2+c2≥2bc(当且仅当b=c时取“=”),c2+a2≥2ca(当且仅当a=c时取“=”), 所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca(当且仅当a=b=c时取“=”). 因为(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1, 所以1≥ab+bc+ca+2ab+2bc+2ca, 即ab+bc+ac≤. (2)由(1)得2ab+2bc+2ac≤2(a2+b2+c2), 所以a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1≤a2+b2+c2+2(a2+b2+c2),即a2+b2+c2≥当且仅当a=b=c=时取“=”. 11.答案　16 解析　连接OC,设OB=x(0<x<4), 则BC=,AB=2OB=2x, 所以矩形ABCD的面积S=AB·BC=2x·≤x2+(16-x2)=16,当且仅当16-x2=x2,即x=2时等号成立,所以矩形ABCD面积的最大值为16. 12.解析　(1)设DQ=x m,则AQ=(x+20)m, 因为DC∥AB,所以△QDC∽△QAP,所以,即,即AP=, 则S=AP·AQ=×(x+20) =15≥15=1 200, 当且仅当x=,即x=20时,等号成立. 所以当DQ的长度是20 m时,S取最小值,最小值为1 200. (2)令S≥1 600,即15≥1 600, 则由x>0得3x2-200x+1 200≥0,所以x≥60或0<x≤, 即DQ的长度(单位:m)的取值范围是∪[60,+∞). 13.解析　(1)由题意可知,当t=0时,x=1,所以1=2-,解得k=2. (2)由(1)知k=2,故x=2-, 则由题意可得该款食品的年生产成本为32x+3=万元, 故年销售收入为万元, 所以y=(t≥0). (3)由(2)知y=-(t≥0), 因为- ≤-2=26.5, 当且仅当,即t=6时,等号成立. 所以该食品企业下一年的促销费用投入6万元时,该款食品的利润最大. 学科网（北京）股份有限公司 $$