第一章 集合与常用逻辑用语（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教B版2019）

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 第一章　集合与常用逻辑用语 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合A={x|-1<x<3},B={x|x>2},则A∪B=(　　) A.(-1,3)　　　　B.(2,3) C.(-1,+∞)　　　　D.(2,+∞) 2.设命题p:∃n∈{n|n>1},n2>2n-1,则􀱑p是(　　) A.∀n∉{n|n>1},n2≤2n-1 B.∀n∈{n|n>1},n2≤2n-1 C.∃n∈{n|n≤1},n2>2n-1 D.∃n∈{n|n>1},n2≤2n-1 3.已知集合M={1,2,a,a2-3a-1},N={-1,3},若3∈M且N⊈M,则实数a的值为(　　) A.-1　　　　B.4　　　　 C.-1或-4　　　　D.-4或1 4.已知实数x,y,则“x>y”是“(x-y)(x+y)2>0”的(　　) A.必要不充分条件　　　　B.充分不必要条件 C.充要条件　　　　D.既不充分也不必要条件 5.已知非空集合M满足:对任意x∈M,总有x2∉M且∉M.若M⊆{0,1,2,3,4,5},则满足条件的M的个数为(　　) A.11　　　　B.12　　　　C.15　　　　D.16 6.高一年级某班30名同学参加体能测试,给出下列三个判断: ①有人通过了体能测试; ②同学甲没有通过体能测试; ③有人没有通过体能测试. 若这三个判断中只有一个是真的,则下列选项中正确的是(　　) A.只有1名同学通过了体能测试 B.只有1名同学没有通过体能测试 C.30名同学都通过了体能测试 D.30名同学都没通过体能测试 7.已知条件p:a=b(ab≠0),条件q:a+,则p是q的(　　) A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件 C.充要条件　　　　D.既不充分也不必要条件 8.对于集合M,N,定义M-N={x|x∈M且x∉N},M⊕N=(M-N)∪(N-M).设A=,B={x|x<0,x∈R},则A⊕B=(　　) A. C.∪[0,+∞)　　　　D.∪(0,+∞) 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.下列说法正确的有(　　) A.“a>1”是“<1”的充分不必要条件 B.命题“∀x<1,x2<1”的否定是“存在x<1,使x2≥1” C.若x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要不充分条件 D.若a,b∈R,则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件 10.已知集合A={x|-3<x<1},B={x|x≤-1},C={x|-2<x≤2},则集合{x|-3<x<1}可以表示为(　　) A.A∩(B∪C)　　　　B.A∪(B∩C) C.A∩[∁R(B∩C)]　　　　D.(A∩B)∪(A∩C) 11.将有理数集Q划分为两个非空子集M与N,且满足M∪N=Q,M∩N=⌀,M中的每一个元素都小于N中的元素,这种有理数的分割就是数学史上有名的戴德金分割.对于任一戴德金分割(M,N),下列选项中可能成立的是(　　) A.M有一个最大元素,N有一个最小元素 B.M没有最大元素,N也没有最小元素 C.M没有最大元素,N有一个最小元素 D.M有一个最大元素,N没有最小元素 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.设集合U={0,1,2,3},A={x∈U|x2+mx=0},若∁UA={1,2},则实数m=　　　　.  13.设p:-m≤x≤m(m>0),q:-1≤x≤4,若p是q的充分条件,则m的最大值为　　　　,若p是q的必要条件,则m的最小值为　　　　.  14.若∀x∈{x|1≤x≤2},∃t∈{t|1≤t≤2},使得x+2>t+m成立,则实数m的取值范围是　　　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知全集为R,集合A={x|x2<4},B={x|(x-m-1)(x-m-7)>0}. (1)若m=-2,求集合A∪(∁RB); (2)请在①“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件;②若x∈A,则x∉B;③A⊆∁RB这三个条件中任选一个,补充在下面问题的横线上,并解答. 若　　　,求实数m的取值范围.  注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 16.(15分)已知全集U为实数集,集合A={x|-1<x<6},B={x|a+1≤x≤3a-1}. (1)若a=4,求图中阴影部分表示的集合M; (2)若A∪B=A,求实数a的取值范围. 17.(15分)已知全集U={x|0<x<5,且x∈N},集合A={1,2,m2},B={x|x2-5x+4=0}. (1)求∁UB; (2)若a2+1∈∁UB且a∈U,求实数a的值; (3)设集合C=A∩(∁UB),若C的真子集共有3个,求实数m的值. 18.(17分)已知全集U=R,集合A={x∈R|x2-3x+b=0},B={x∈R|(x-2)(x2+3x-4)=0}. (1)若b=4时,存在集合M使得A⫋M⫋B,求出所有满足条件的集合M; (2)集合A,B能否满足(∁UB)∩A=⌀?若能,求实数b的取值范围;若不能,请说明理由. 19.(17分)已知集合A={x|x=m2-n2,m,n∈Z}. (1)判断8,9,10是否属于A,并证明; (2)已知集合B={x|x=2k+1,k∈Z},证明:x∈A的一个充分不必要条件是x∈B; (3)写出集合A中的所有偶数. 答案与解析 第一章　集合与常用逻辑用语 1.C 2.B 3.B 4.A 5.A 6.C 7.A 8.C 9.ABD 10.ABD 11.BCD 1.C　在数轴上表示出A和B,如图所示: 由图可知,A∪B=(-1,+∞). 2.B　 3.B　因为3∈M,所以a=3或a2-3a-1=3. 若a=3,则a2-3a-1=-1,M={1,2,3,-1},不满足N⊈M. 若a2-3a-1=3,则a=4或a=-1, 当a=4时,M={1,2,4,3},满足N⊈M, 当a=-1时,M={1,2,-1,3},不满足N⊈M. 综上,a的值为4. 4.A　由(x-y)(x+y)2>0可得x-y>0且x+y≠0,即x>y且x≠-y,故“x>y”是“(x-y)(x+y)2>0”的必要不充分条件. 5.A　由题意可得M是集合{2,3,4,5}的非空子集,且2,4不能同时为M中的元素,所以满足条件的M有24-1-4=11个,故选A. 6.C　若“同学甲没有通过体能测试”为真,则“有人没有通过体能测试”必为真,不符合题意,所以“同学甲没有通过体能测试”为假,即同学甲通过了体能测试,所以“有人通过了体能测试”为真,“有人没有通过体能测试”为假,所以30名同学都通过了体能测试. 故选C. 7.A　当a=b(ab≠0)时,必有a+,充分性成立;当a+时,有a=b(ab≠0)或a=(ab≠0),必要性不成立,所以p是q的充分不必要条件.故选A. 8.C　由题意得A-B={x|x≥0},B-A=, 所以A⊕B={x|x≥0}∪∪[0,+∞),故选C. 9.ABD　因为a>1⇔0<<1,所以“a>1”是“<1”的充分不必要条件,故A正确; 命题“∀x<1,x2<1”的否定为“存在x<1,使x2≥1”,故B正确; 当x≥2,y≥2时,x2+y2≥8>4,当x=1,y=3时,x2+y2=1+9=10>4,但不满足x≥2且y≥2,所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件,故C错误; 因为ab≠0⇔a≠0且b≠0,所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件,故D正确. 故选ABD. 10.ABD　易得B∪C={x|x≤2},所以A∩(B∪C)={x|-3<x<1},所以A正确; 易得B∩C={x|-2<x≤-1},所以A∪(B∩C)={x|-3<x<1},所以B正确; 因为B∩C={x|-2<x≤-1},所以∁R(B∩C)={x|x≤-2或x>-1}, 所以A∩[∁R(B∩C)]={x|-3<x≤-2或-1<x<1},所以C错误; 易得A∩B={x|-3<x≤-1},A∩C={x|-2<x<1}, 所以(A∩B)∪(A∩C)={x|-3<x<1},所以D正确. 11.BCD　假设M有一个最大元素m,N有一个最小元素n,则m<n,此时不满足M∪N=Q,故A不成立; 若M={x∈Q|x<},N={x∈Q|x≥},则M没有最大元素,N也没有最小元素,故B可能成立; 若M={x∈Q|x<0},N={x∈Q|x≥0},则M没有最大元素,N有一个最小元素0,故C可能成立; 若M={x∈Q|x≤0},N={x∈Q|x>0},则M有一个最大元素0,N没有最小元素,故D可能成立. 故选BCD. 12.答案　-3 解析　∵U={0,1,2,3},∁UA={1,2},∴A={0,3},即方程x2+mx=0的两个根为0和3,∴32+3m=0,故m=-3. 13.答案　1;4 解析　设A=[-m,m](m>0),B=[-1,4]. 若p是q的充分条件,则A⊆B, 所以解得0<m≤1,所以m的最大值为1. 若p是q的必要条件,则B⊆A, 所以解得m≥4,所以m的最小值为4. 14.答案　{m|m<2} 解析　由∀x∈{x|1≤x≤2},x+2>t+m成立,得x+2的最小值大于t+m,因此3>t+m,则∃t∈{t|1≤t≤2},使得t+m<3成立,故t的最小值小于3-m,即3-m>1,解得m<2.因此,实数m的取值范围是{m|m<2}. 15.解析　(1)A={x|x2<4}=(-2,2),(2分) 当m=-2时,B={x|(x+1)(x-5)>0}=(-∞,-1)∪(5,+∞),(4分) ∴∁RB=[-1,5],∴A∪(∁RB)=(-2,5].(6分) (2)A=(-2,2),B={x|(x-m-1)(x-m-7)>0}=(-∞,m+1)∪(m+7,+∞).(8分) 若选①,则A⫋B,所以m+1≥2或m+7≤-2,(11分) 解得m≥1或m≤-9,所以实数m的取值范围为(-∞,-9]∪[1,+∞).(13分) 若选②,则A∩B=⌀, 所以m+1≤-2且m+7≥2,(11分) 解得-5≤m≤-3,所以实数m的取值范围为[-5,-3].(13分) 若选③,易得∁RB=[m+1,m+7],则m+1≤-2且m+7≥2,(11分) 解得-5≤m≤-3,所以实数m的取值范围为[-5,-3].(13分) 16.解析　(1)当a=4时,B={x|5≤x≤11}.(2分) 因为全集U为实数集,集合A={x|-1<x<6}, 所以∁UA={x|x≤-1或x≥6}.(4分) 由题图可知阴影部分表示的集合是B∩(∁UA),(6分) 所以M=B∩(∁UA)={x|6≤x≤11}.(8分) (2)因为A∪B=A,所以B⊆A.(10分) 当B=⌀时,a+1>3a-1,解得a<1.(12分) 当B≠⌀时,需满足解得1≤a<.(14分) 综上,实数a的取值范围为.(15分) 17.解析　(1)U={x|0<x<5,且x∈N}={1,2,3,4},B={x|x2-5x+4=0}={1,4},(2分) 因此∁UB={2,3}.(4分) (2)若a2+1∈∁UB,则a2+1=2或a2+1=3,(6分) 解得a=±1或a=±,(8分) 又a∈U,∴a=1.(10分) (3)∵A={1,2,m2},∁UB={2,3}, ∴当m2≠3时,C=A∩(∁UB)={2},此时集合C只有1个真子集,不符合题意,(12分) 当m2=3,即m=±时,C=A∩(∁UB)={2,3},此时集合C共有3个真子集,符合题意.(14分) 综上,m=±.(15分) 18.解析　(1)当b=4时,A={x∈R|x2-3x+4=0}=⌀,(2分) 易得B={-4,1,2},(4分) 若A⫋M⫋B,则M是B的一个非空真子集,(5分) ∴满足条件的集合M为{-4},{1},{2},{-4,1},{-4,2},{1,2}.(7分) (2)由(∁UB)∩A=⌀得A⊆B.(9分) 当A=⌀时,Δ=9-4b<0,解得b>,满足A⊆B.(11分) 当A≠⌀时,由(1)知B={-4,1,2}, 若-4∈A,则b=-28,此时A={-4,7},不满足A⊆B; 若1∈A,则b=2,此时A={1,2},满足A⊆B; 若2∈A,则b=2,此时A={1,2},满足A⊆B.(15分) 综上,集合A,B能满足(∁UB)∩A=⌀,满足条件的实数b的取值范围是.(17分) 19.解析　(1)8∈A,9∈A,10∉A.(1分) 证明:∵8=32-1,9=52-42,∴8∈A,9∈A.(3分) 假设10=m2-n2,m,n∈Z, 则(|m|+|n|)(|m|-|n|)=10,且|m|+|n|>|m|-|n|>0, ∵10=1×10=2×5,∴显然均无整数解,∴10∉A.(5分) (2)证明:∵2k+1=(k+1)2-k2,k∈Z, ∴2k+1∈A,k∈Z,∴B⊆A.(8分) 又∵8∈A但8∉B,∴B⫋A, ∴x∈A的一个充分不必要条件是x∈B.(10分) (3)集合A={x|x=m2-n2=(m+n)(m-n),m,n∈Z},(11分) ①当m、n同奇或同偶时,m+n、m-n均为偶数,则(m+n)(m-n)为4的倍数;(13分) ②当m、n一奇一偶时,m+n、m-n均为奇数,则(m+n)(m-n)为奇数.(15分) 综上,集合A中的偶数为4k(k∈Z).(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$