专题02 常用逻辑用语8大题型（专项训练）数学人教B版2019必修第一册

专题02 常用逻辑用语8大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、命题（真假）的判断 1 题型二、判断全称量词命题与存在量词命题的真假 2 题型三、量词命题的否定 4 题型四、由量词命题的真假确定参数取值范围（重） 5 题型五、单变量充分、必要、充要条件的判断（重） 7 题型六、双变量充分、必要、充要条件的判断 9 题型七、由充分、必要、充要条件确定参数取值范围（重） 10 题型八、充分条件、必要条件的证明 11 B综合攻坚·能力跃升 13 题型一、命题（真假）的判断 1．下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B．同位角相等 C． D． 【答案】B 【详解】因为命题是能判断真假的陈述语句，选项A，C和D不能判断真假，选项B可以判断真假， 故选：B. 2．下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 【答案】D 【详解】由命题的定义可知，能够判断真假的陈述句是命题，所以D为命题． A，B，C不能判断真假，所以不是命题． 故选:D． 3．分析下列语句： ①空集是任何集合的子集． ②任何集合都有真子集吗？ ③一个数不是正数就是负数． ④德国数学家康托是集合论的创始人． ⑤公共场所请戴好口罩！ 其中为假命题的序号是 ，真命题的序号为 ． 【答案】 ③ ①④ 【详解】①空集是任何集合的子集，是真命题； ②任何集合都有真子集吗？不是陈述句，不是命题； ③一个数不是正数就是负数，还可以是0，是假命题； ④德国数学家康托是集合论的创始人，是真命题； ⑤公共场所请戴好口罩！不是陈述句，不是命题； 故答案为：③；①④． 4．指出下列命题中的条件p和结论q． (1)若，则x，y互为相反数． (2)如果，则． (3)当时，． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【详解】（1），互为相反数． （2），． （3），． 题型二、判断全称量词命题与存在量词命题的真假 5．（多选）已知集合，，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AD 【详解】因为集合，， 所以B是A的真子集，所以，或，. 故选：AD. 6．（多选）下列命题正确的是（    ） A． B． C． D．为奇数 【答案】AC 【详解】对于A，因为，故A正确； 对于B，因为方程的判别式，方程无实数解，故B错误； 对于C，任意，则，所以，故C正确； 对于D，因为，当时，是3个连续的整数， 至少有一个是偶数，所以是偶数，故D错误. 故选：AC. 7．（多选）下列命题正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BD 【详解】当时，，无解，故A错误； 当时，，故B正确； 当时，，故C错误； 由，故D正确. 故选：BD 8．（ 2025·江苏苏州·模拟预测）已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得， 所以错误，错误， 错误，，即，正确. 故选：D. 9．有下列命题： ①所有的素数都是奇数；②是无理数，是无理数； ③是无理数，是无理数；④至少有一个整数，是4的倍数. 其中，真命题有 .（填序号） 【答案】③ 【详解】对于①,因为偶数2是素数，故①错误； 对于②，因为无理数的立方是有理数2，故②错误； 对于③，因为无理数的平方是无理数，故③正确； 对于④,设，则除以4的余数是2， 设，则除以4的余数是1，故④错误. 故答案为：③. 题型三、量词命题的否定 10．已知命题，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知命题，则为. 故选：B. 11．已知命题p：，，命题q：，，则（   ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【详解】当时，，所以为真命题， 当时，，所以为假命题， 所以为假命题，为真命题， 所以只有C正确， 故选：C. 12．若命题，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】由存在量词命题的否定是全称量词命题可知： 命题，的否定为，． 故选：A 13．已知命题；命题，则（    ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 【答案】B 【详解】因为当时，成立，故命题为真命题，为假命题； 当时，，故命题为假命题，为真命题. 故选：B. 14．下列命题中真命题的个数是（    ） ①，； ②存在四边形不是菱形； ③存在一对整数，，使得． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】因为，且，所以①是真命题； 四边形可以为梯形，所以②是真命题； 取时，，所以③是真命题． 故真命题的个数是3个． 故选：D. 题型四、由量词命题的真假确定参数取值范围（重） 15．若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】命题“，”是假命题，则命题的否定“，”是真命题， 所以，实数a的取值范围是 故答案为：. 16．已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】若，则对有，不满足条件； 若，则对任意有，满足条件； 若，则对有，不满足条件. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 17．对任意，等式成立，则实数 . 【答案】 【详解】因为对任意，等式成立， 所以， 则，解得. 故答案为：. 18．已知命题，命题，.若命题和命题至多有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】． 【详解】若命题为真命题， 则，∴. 若命题，为真命题，则，∴. ∴均为真命题时，满足，即， 其补集为， ∴命题和命题至多有一个为真命题，实数a的取值范围为． 19．已知集合，集合或，全集. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）因为对任意恒成立，所以， 又，则，解得， 所以实数的取值范围为 （2）若，是真命题，则有， 则或，所以或， 即实数的取值范围为或. 20．已知集合，若命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由命题“”为假命题，得为真命题， 而， 当时，，满足题意； 当时，则要， ，因此； 所以实数a的取值范围为. 故选：A 题型五、单变量充分、必要、充要条件的判断（重） 21．“是有理数”是“是有理数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若是有理数，则是有理数， 若是有理数，如，此时不为有理数， 故“是有理数”是“是有理数”的必要不充分条件. 故选：B. 22．设，，则是的 条件.（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”） 【答案】必要不充分 【详解】因为或，， 所以由不能推出，而由可以推出， 故是的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分条件. 23．命题“”是命题“”的 条件． 【答案】必要不充分 【详解】因为或， 所以命题“”是命题“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 24．已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】集合， 因等价于， 即或，解得或，经检验符合题意； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 25．设是两个集合，则“且”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因“且”“” “”， 故“且”是“”的充要条件. 故选：A 26．“，”成立的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，在上能成立， 即在上能成立， 因为时，； 所以为使在上能成立，只需； 因此，A选项，是“，”成立的既不充分又不必要条件； B选项，是“，”成立的充分不必要条件； C选项，是“，”成立的充要条件； D选项，是“，”成立的必要不充分条件； 故选：D 27．方程有两个不相等的正实数根的一个充分不必要条件是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【详解】方程有两个不相等的正实数根，当且仅当， 且两根之和时取得，解得. 故其一个充分不必要条件是. 故选：B 题型六、双变量充分、必要、充要条件的判断 28．若，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】充分性：当时，可得，故充分性成立； 必要性：当时，可得，故必要性成立； 所以“”是“”的充要条件，故C正确. 故选:C． 29．已知a，b为实数，则“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由且，可得，所以“”是“且”的必要条件， 取，满足，但不满足且， 所以“”是“且”的不充分条件， 所以“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B. 30．“”是“”的 条件 【答案】必要非充分 【详解】由，可取，则，故充分性不成立； 由，则当时，；当时，， 所以，故必要性成立. 故答案为：必要非充分 31．如果，是实数，那么“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当时，满足，而； 当时，若，则， 所以，而，则； 若，则， 所以，而，则. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 题型七、由充分、必要、充要条件确定参数取值范围（重） 32．已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，或， 是的充分不必要条件， 所以且， 则. 故选：D 33．已知集合，集合，且是的充分条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因是的充分条件，则，故， 则. 故选：D 34．设集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的值为（   ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】由题意可得，令，解得，则，不符合题意； 令，则，解得或， 当时，，不符合题意，当时，. 综上可得：. 故选：D. 35．已知命题：关于的方程有实数根，命题：. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）命题为真命题，：关于的方程有实数根， 则，解得， 故实数的取值范围为. （2）：，：. 是的必要不充分条件，则，解得. 故的取值范围为. 36．已知命题，当命题为真命题时，实数的取值集合为A. (1)求集合A； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为为真命题，所以方程有解，即， 所以，即； （2）因为是的必要不充分条件，所以且， i）当时，，解得； ii）当时，，且等号不会同时取得，解得. 综上，的取值范围为. 题型八、充分条件、必要条件的证明 37．已知全集，集合均为U的子集，且，. (1)求A； (2)证明：“”是“”的充分不必要条件. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）依题意得. 由，得或3，则， 所以. （2）先证充分性， 当时，，则， 所以“”是“”的充分条件. 再证不必要性， 由，得． 当，即时，， 当时，，， 则，得或2， 所以“”不是“”的必要条件. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 38．已知，关于x的一元二次方程和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件. 【答案】证明见解析 【详解】证明：（充分性）将代入方程， 得，即， 解得，为整数根； 将代入方程， 得，即， 解得或，为整数根； 所以是两个方程的根都是整数的充分条件； （必要性）若方程有实根， 则，即， 若方程有实根， 则即，即， 所以上述两个方程都有实根等价于， ，， 当时，方程可化为，无整数根； 当时，方程可化为，无整数根； 当时，上述两个方程都有整数根， 所以上述两个方程都有整数根的必要条件是； 综上所述，这两个方程的根都是整数的充要条件是. 39．证明：“中两边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件． 【答案】证明见解析 【详解】证明：充分性：在中，设边上的高为，边上的高为． 则， 因为，所以， 故为等腰三角形，充分性成立． 必要性：若为等腰三角形，设，边上的高为，边上的高为， 则根据三角形面积公式， 可得，必要性成立． 故“两边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件． 40．已知集合，，证明：“”的充分非必要条件是“”. 【答案】证明见解析 【详解】集合，则恒有， ∴，即一切奇数都属于集合，即是的充分条件； 又，而，即由推不出，即必要性不成立； ∴“”的充分非必要条件是“”. 1．（2024·25高二下·安徽宿州·期末）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】A 【详解】 由，得是真命题，是假命题； 命题，时，，， 故满足，为真命题. 故选：A. 2．（2024·25高一上·广东东莞·期末）如果对于任意实数，表示不超过的最大整数.例如，.那么“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】如果，比如，则有， 根据定义，， 即“”不是“”的充分条件， 如果，则有， ，所以“”是“”的必要条件； 故“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B. 3．（2025·北京丰台·二模）已知关于的方程的两实根为，则“”是“关于的不等式的解集为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】充分性的判断： 若，则或， 当时，关于的方程有两个相等的实数根，则， 因为二次函数开口向上，所以关于的不等式的解集为； 当时，关于的方程有两个不相等的实数根，不妨设， 因为二次函数开口向上，所以关于的不等式的解集为. 所以，由“”不能推出“关于的不等式的解集为”，充分性不成立. 必要性的判断： 若关于的不等式的解集为，因为二次函数开口向上，所以， 又因为关于的方程有两个实数根，则，则，必要性成立. 综上，“”是“关于的不等式的解集为”的必要不充分条件. 故选：B. 4．（2023·24高一上·湖南长沙·阶段练习）设为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】1.判断充分性 已知，所以. 又因为，即中的元素都在中.而中的元素都不在中， 所以和没有公共元素，即. 由此可知，当“存在集合使得，”时，能推出“”， 所以“存在集合使得，”是“”的充分条件. 2. 判断必要性 已知，即和没有公共元素.此时取集合， 那么对于全集，就是由所有不属于但属于的元素组成的集合.如图， 因为和没有公共元素，所以中的元素都不属于，即， 同时（即）.所以当“”时， 能推出“存在集合使得，”， 所以“存在集合使得，”是“”的必要条件. 则“存在集合使得，”是“”的充分必要条件. 故选：C. 5．（2025·河北·三模）（多选）已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】已知集合， 当时，；当时，；当时，， 对于A，由对集合分析知，故A不正确， 对于C，由对集合分析知，故C正确； 对于B，当时，，此时，故B正确； 对于D，当时，，故D正确. 故选：BCD. 6．（2024·25高三·江西宜春·阶段练习）已知，求证：的充要条件是. 【答案】证明见解析 【详解】①必要性：因为.所以. 所以. ②充分性：因为， 所以，又， 所以且. 因为. 所以，即. 综上可得，当时，的充要条件是. 7．（2023·24高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知集合，集合，集合，且． (1)求实数a的值组成的集合； (2)若，是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由，知，则或或， 当时，所以， 当时，所以， 当时，所以， 所以的取值集合为． （2）由题意得，，故， 又是的充分不必要条件， 所以是的真子集，于是， 解得：，经检验符合条件， 综上，实数m的取值范围是． 8．（2024·25高一上·重庆渝中·阶段练习）已知命题成立．命题，都有成立． (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围： (2)若命题p和命题q有且只有一个命题是真命题，求实数m的取值范围 【答案】(1)或 (2)或． 【详解】（1）根据题意，命题，成立．若为真，则方程有解， 必有，解可得或， 故为真时，的取值范围为或， （2）若，由于 则， 则， 当且仅当时，即，时等号成立， 即的最小值为， 若命题为真命题，必有，可得， 故的取值范围为，； 又由命题和命题有且只有一个命题是真命题，分2种情况讨论， 若真假，则有，解可得， 若假真，则有，解可得， 综合可得：或， 即的取值范围为或． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 常用逻辑用语8大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、命题（真假）的判断 1 题型二、判断全称量词命题与存在量词命题的真假 2 题型三、量词命题的否定 4 题型四、由量词命题的真假确定参数取值范围（重） 5 题型五、单变量充分、必要、充要条件的判断（重） 7 题型六、双变量充分、必要、充要条件的判断 9 题型七、由充分、必要、充要条件确定参数取值范围（重） 10 题型八、充分条件、必要条件的证明 11 B综合攻坚·能力跃升 13 题型一、命题（真假）的判断 1．下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B．同位角相等 C． D． 2．下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 3．分析下列语句： ①空集是任何集合的子集． ②任何集合都有真子集吗？ ③一个数不是正数就是负数． ④德国数学家康托是集合论的创始人． ⑤公共场所请戴好口罩！ 其中为假命题的序号是 ，真命题的序号为 ． 4．指出下列命题中的条件p和结论q． (1)若，则x，y互为相反数． (2)如果，则． (3)当时，． 题型二、判断全称量词命题与存在量词命题的真假 5．（多选）已知集合，，则（ ） A．， B．， C．， D．， 6．（多选）下列命题正确的是（    ） A． B． C． D．为奇数 7．（多选）下列命题正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 8．（ 2025·江苏苏州·模拟预测）已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则（    ） A． B． C． D． 9．有下列命题： ①所有的素数都是奇数；②是无理数，是无理数； ③是无理数，是无理数；④至少有一个整数，是4的倍数. 其中，真命题有 .（填序号） 题型三、量词命题的否定 10．已知命题，则为（   ） A． B． C． D． 11．已知命题p：，，命题q：，，则（   ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 12．若命题，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 13．已知命题；命题，则（    ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 14．下列命题中真命题的个数是（    ） ①，； ②存在四边形不是菱形； ③存在一对整数，，使得． A．0 B．1 C．2 D．3 题型四、由量词命题的真假确定参数取值范围（重） 15．若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是 . 16．已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 . 17．对任意，等式成立，则实数 . 18．已知命题，命题，.若命题和命题至多有一个为真命题，求实数的取值范围． 19．已知集合，集合或，全集. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围. 20．已知集合，若命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型五、单变量充分、必要、充要条件的判断（重） 21．“是有理数”是“是有理数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 22．设，，则是的 条件.（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”） 23．命题“”是命题“”的 条件． 24．已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 25．设是两个集合，则“且”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 26．“，”成立的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 27．方程有两个不相等的正实数根的一个充分不必要条件是（   ） A．或 B． C． D． 题型六、双变量充分、必要、充要条件的判断 28．若，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 29．已知a，b为实数，则“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 30．“”是“”的 条件 31．如果，是实数，那么“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型七、由充分、必要、充要条件确定参数取值范围（重） 32．已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 33．已知集合，集合，且是的充分条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 34．设集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的值为（   ） A．－1 B．0 C．1 D．2 35．已知命题：关于的方程有实数根，命题：. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 36．已知命题，当命题为真命题时，实数的取值集合为A. (1)求集合A； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 题型八、充分条件、必要条件的证明 37．已知全集，集合均为U的子集，且，. (1)求A； (2)证明：“”是“”的充分不必要条件. 38．已知，关于x的一元二次方程和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件. 39．证明：“中两边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件． 40．已知集合，，证明：“”的充分非必要条件是“”. 1．（2024·25高二下·安徽宿州·期末）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 2．（2024·25高一上·广东东莞·期末）如果对于任意实数，表示不超过的最大整数.例如，.那么“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·北京丰台·二模）已知关于的方程的两实根为，则“”是“关于的不等式的解集为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2023·24高一上·湖南长沙·阶段练习）设为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2025·河北·三模）（多选）已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·25高三·江西宜春·阶段练习）已知，求证：的充要条件是. 7．（2023·24高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知集合，集合，集合，且． (1)求实数a的值组成的集合； (2)若，是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 8．（2024·25高一上·重庆渝中·阶段练习）已知命题成立．命题，都有成立． (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围： (2)若命题p和命题q有且只有一个命题是真命题，求实数m的取值范围 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$