第2章 综合拔高练（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教B版2019）

综合拔高练 高考真题练 考点1　一元二次不等式及其应用 1.(2023新课标Ⅰ,1)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N=(　　) A.{-2,-1,0,1}　　　B.{0,1,2} C.{-2}　　　D.{2} 2.(2019天津,3)设x∈R,则“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的(　　) A.充分而不必要条件　　　 B.必要而不充分条件 C.充要条件　　　 D.既不充分也不必要条件 3.(2021上海,4)不等式<1的解集为　　　　.  考点2　均值不等式及其应用 4.(2021天津,13)若a>0,b>0,则+b的最小值为　　　　.  5.(2020天津,14)已知a>0,b>0,且ab=1,则的最小值为　　　　.   6.(2020江苏,12)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是　　　　.   考点3　等式与不等式的实际应用 7.(2019课标全国Ⅰ,4)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是≈0.618,称为黄金分割比例,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是(　　) A.165 cm　　　B.175 cm　　　 C.185 cm　　　D.190 cm 8.(2019北京,14)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%. ①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付　　　　元;   ②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为　　　　.   高考模拟练 应用实践 1.已知“∃x∈R,不等式x2-4x-a-1<0”不成立,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,-5]　　　B.(-∞,-2] C.(-5,+∞)　　　D.[-5,+∞) 2.已知不等式mx>n的解集是{x|x<2},则不等式(mx+n)(x-3)>0的解集是(　　) A.{x|x<2或x>3}　　　B.{x|2<x<3} C.{x|x<-2或x>3}　　　D.{x|-2<x<3} 3.若关于x的不等式x2-(m+3)x+3m<0的解集中恰有3个整数,则实数m的取值范围为(　　) A.(6,7]　　　B.[-1,0) C.[-1,0)∪(6,7]　　　D.[-1,7] 4.(多选题)已知集合{x|x2+ax+b=0,a>0}有且仅有两个子集,则下列说法正确的是(　　) A.a2-b2≤4 B.a2+≥4 C.若不等式x2+ax-b<0的解集为(x1,x2),则x1x2>0 D.若不等式x2+ax+b<c的解集为(x1,x2),且|x1-x2|=4,则c=4 5.(多选题)已知a>0,b>0,a+b=ab,则(　　) A.a+b≥4　　　B.ab≤4 C.a+4b≥9　　　D. 6.已知a,b,c均为正实数,ab+ac=4,则的最小值是　　　　.  7.如图,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AD垂直于斜边BC,且垂足为D,设BD,CD的长度分别为a和b(a≠b),E是BC的中点,点B绕点E顺时针旋转90°后到达点F,过D点作DH垂直于AE,且垂足为H.有以下三个命题: ①由图知AD<AE,即可以得到不等式; ②由图知AH<AD,即可以得到不等式; ③由图知FE<FD,即可以得到不等式. 以上三个命题是真命题的是　　　　.(写出所有正确命题的序号)  8.已知a,b,c是正实数,且b+c=,则的最小值为　　　　.  9.(1)已知集合A={x|-5x2+4x+1>0},B={x||2x+1|-5>0},求A∪B; (2)已知p:实数x满足不等式≥0,q:实数x满足不等式x2-4mx-5m2<0,其中m∈R,m≠0.若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围. 10.中国“一带一路”倡议提出后,某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇,决定开发生产一款大型电子设备,生产这种设备的年固定成本为500万元,每生产1台,需另投入成本C(x)(万元),当年产量不足70台时,C(x)=x2+60x;当年产量不小于70台时,C(x)=121x+-2 180,若每台设备售价为120万元,通过市场分析,该企业生产的电子设备能全部售完. (1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数解析式; (2)当年产量为多少台时,该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大? 迁移创新 11.我们学习了二元均值不等式:如果a>0,b>0,那么,当且仅当a=b时,等号成立.利用均值不等式及其变形可以证明其他不等式,也可以利用“和定积最大,积定和最小”求最值. (1)对于三元均值不等式,请猜想:设a>0,b>0,c>0,则　　　　≤,当且仅当a=b=c时,等号成立(把横线补全即可,不需要证明);  (2)利用(1)中猜想的三元均值不等式证明: 当a>0,b>0,c>0时,(a2+b2+c2)(a+b+c)≥9abc; (3)利用(1)中猜想的三元均值不等式求最值: 设a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,求(1-a)(1-b)·(1-c)的最大值. 答案与分层梯度式解析 综合拔高练 高考真题练 1.C 2.B 7.B 1.C　因为M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0}={x|x≤-2或x≥3},所以M∩N={-2},故选C. 2.B　由x2-5x<0得0<x<5,记A={x|0<x<5}, 由|x-1|<1得0<x<2,记B={x|0<x<2},显然B⫋A, 故“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的必要而不充分条件,故选B. 3.答案　{x|-7<x<2} 解析　<1⇔-1<0⇔<0⇔(x+7)(x-2)<0,解得-7<x<2.故答案为{x|-7<x<2}. 4.答案　2 解析　因为a>0,b>0,所以+b≥2+b≥2, 当且仅当即a=b=时等号成立, 故+b的最小值为2. 5.答案　4 解析　≥2=4, 当且仅当,即a+b=4时取等号. 又∵ab=1,∴时取等号, ∴的最小值为4. 6.答案　 解析　由5x2y2+y4=1知y≠0,∴x2=≥2,当且仅当,即y2=时取“=”.故x2+y2的最小值为. 7.B　设此人脖子下端至肚脐的长度为x cm, 则,解得x≈42.07, 又其腿长为105 cm,26+42.07+105=173.07(cm), 所以其身高可能是175 cm. 8.答案　①130　②15 解析　①x=10时,一次购买草莓和西瓜各1盒,共140元,由题可知顾客需支付140-10=130(元). ②设一笔订单金额为m元,则只需考虑m≥120时的情况. 根据题意得(m-x)×80%≥m×70%, 所以x≤,而m≥120, 为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x≤,而=15,所以x≤15.所以x的最大值为15. 高考模拟练 1.A 2.D 3.C 4.ABD 5.ACD 1.A　若“∃x∈R,不等式x2-4x-a-1<0”不成立, 则∀x∈R,不等式x2-4x-a-1≥0恒成立, ∴Δ=16+4(a+1)≤0,解得a≤-5,∴a的取值范围为(-∞,-5].故选A. 2.D　∵不等式mx>n的解集是{x|x<2}, ∴故n=2m<0,∴不等式(mx+n)(x-3)>0等价于(x+2)(x-3)<0,解得-2<x<3,∴不等式的解集为{x|-2<x<3},故选D. 3.C　不等式x2-(m+3)x+3m<0可化为(x-3)(x-m)<0.当m>3时,不等式的解集为(3,m),要使解集中恰有3个整数,则这3个整数只能是4,5,6,所以6<m≤7;当m=3时,不等式的解集为⌀,不符合题意;当m<3时,不等式的解集为(m,3),要使解集中恰有3个整数,则这3个整数只能是0,1,2,所以-1≤m<0. 综上可知,m的取值范围是[-1,0)∪(6,7],故选C. 4.ABD　由于集合{x|x2+ax+b=0,a>0}有且仅有两个子集,所以Δ=a2-4b=0,即a2=4b, 由于a>0,所以b>0. 对于A,a2-b2=4b-b2=-(b-2)2+4≤4,当且仅当b=2时等号成立,A正确. 对于B,a2+≥2=4,当且仅当4b=,即b=时等号成立,B正确. 对于C,若不等式x2+ax-b<0的解集为(x1,x2),则x1x2=-b<0,C错误. 对于D,不等式x2+ax+b<c的解集为(x1,x2),且|x1-x2|=4,即不等式x2+ax+b-c<0的解集为(x1,x2),且|x1-x2|=4, 则x1+x2=-a,x1x2=b-c,|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=a2-4(b-c)=4c=16,解得c=4,D正确.故选ABD. 5.ACD　因为a+b=ab≤,所以(a+b)2-4(a+b)≥0,又a>0,b>0,所以a+b≥4,即ab≥4,当且仅当a=b=2时,等号成立,故A正确,B错误; 由a+b=ab,得=1,所以a+4b=(a+4b)·≥5+2=9,当且仅当,即a=3,b=时,等号成立,故C正确. ,易知0<<1,所以,当且仅当,即a=,b=3时,等号成立,故D正确. 故选ACD. 6.答案　4 解析　设a=x,b+c=y,则x>0,y>0,且xy=4, 故≥2=4, 当且仅当,即x=y=2时,等号成立. 所以的最小值是4. 7.答案　①②③ 解析　易得△ABD∽△CAD,故,所以AD=, 易知AE=,所以由AD<AE可得,故①正确; 在△ADE中,易知DE=,所以DH=, 易得△AHD∽△ADE,故,所以AH=, 由AH<AD可得,故②正确; 易知FE=BE=,在Rt△DEF中,由勾股定理可得FD=, 由FE<FD可得,故③正确. 8.答案　4-2 解析　,易得≥2=2,当且仅当b=2c,b+c=,即b=时取等号,故原式=a≥2a+-2≥2-2,当且仅当a=时取等号. 9.解析　(1)易得集合A=,集合B={x|x>2或x<-3},故A∪B=xx>2或-<x<1或x<-3. (2)易得不等式≥0的解集为(-2,4]. 不等式x2-4mx-5m2<0即(x-5m)(x+m)<0, 当m>0时,不等式的解集为(-m,5m), 当m<0时,不等式的解集为(5m,-m). 若p是q的充分不必要条件, 则当m>0时,(-2,4]⫋(-m,5m), 则解得m≥2, 当m<0时,(-2,4]⫋(5m,-m), 则解得m<-4. 综上,实数m的取值范围为(-∞,-4)∪[2,+∞). 10.解析　(1)由题可知,当0<x<70,x∈N*时,y=120x-x2+60x-500; 当x≥70,x∈N*时,y=120x--500=1 680-, 所以y= (2)当0<x<70,x∈N*时,y=-(x-60)2+1 300, 则当x=60时,y取得最大值1 300; 当x≥70,x∈N*时,y=1 680-, 因为当x>0时,x+≥2=180,当且仅当x=,即x=90时取等号, 所以y=1 680-≤1 680-180=1 500, 所以当x=90时,y取得最大值1 500. 因为1 300<1 500,所以当年产量为90台时,该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大. 11.解析　(1)对照二元均值不等式,可以得到当a>0,b>0,c>0时,,当且仅当a=b=c时,等号成立. (2)证明:由(1)可得当a>0,b>0,c>0时,, ∴=abc, 当且仅当a=b=c时,等号成立, ∴(a2+b2+c2)(a+b+c)≥9abc. (3)∵a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,∴1-a=b+c>0,1-b=a+c>0,1-c=a+b>0, ∴(1-a)(1-b)(1-c)=(b+c)(a+c)(a+b)≤,当且仅当b+c=a+c=a+b,即a=b=c=时取等号,故(1-a)(1-b)(1-c)的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$