2.2.4 均值不等式及其应用（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教B版2019）

知识点 均值不等式 知识 清单破 2.2.4　均值不等式及其应用 1.均值不等式 　　均值不等式:如果a,b都是正数,那么 ≥ ,当且仅当a=b时,等号成立.均值不等式也 称为基本不等式(均值不等式中的a,b还可以为零),其实质是:两个正实数的算术平均值不小 于它们的几何平均值. 2.均值不等式与最值 (1)已知x,y均为正实数,如果积xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值,最小值为2 . (2)已知x,y均为正实数,如果和x+y是定值S,那么当x=y时,积xy有最大值,最大值为 . 上述结论可归纳为口诀:积定和最小,和定积最大. 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” . 1.当a,b同号时, + ≥2. (　    ) √ 2.不等式a2+b2≥2ab与 ≤ 有相同的适用范围. (　    ) ✕ 提示 不等式a2+b2≥2ab对任意实数a,b都成立,而 ≤ 只有当a,b都是正实数(特殊时可 取0)时成立. 3.已知m>0,n>0,且mn=81,则m+n的最小值为18. (　    ) √ 提示 因为m>0,n>0,所以m+n≥2 =18,当且仅当m=n=9时取等号,故m+n的最小值为18. 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 4.a+ 的最小值为2. (　    ) ✕ 提示 当a>0时,a+ ≥2 =2,当且仅当a=1时取等号;当a<0时,(-a)+ ≥2,∴a+ ≤-2,当 且仅当a=-1时取等号. 5.x2+ 的最小值为0. (　    ) ✕ 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 疑难 情境破 疑难 1 应用均值不等式求最大(小)值 讲解分析 利用均值不等式求最值的注意事项 (1)一正:各项必须都是正值. 　　若各项都是正数,则可以直接用均值不等式求最大(小)值;若各项都是负数,则可以提取 负号,化为正数后用均值不等式求最大(小)值;若有些项是正数,有些项是负数,则不可以用均 值不等式求最大(小)值. (2)二定:各项之和或各项之积为定值. 　　利用均值不等式求最大(小)值有关问题的关键是凑出“和”或“积”为定值,常见的方 法技巧如下: ①拆(裂项拆项):对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 分式”的和,再根据分式中分母的情况对整式进行拆项,为应用均值不等式凑定值创造条件; ②并(分组并项):目的是分组后各组可以单独应用均值不等式,或分组后先对一组应用均值不 等式,再在组与组之间应用均值不等式得出最值; ③配(配式、配系数,凑出定值):有时为了找出“积”或“和”为定值,常常需要根据题设条 件采取合理配式、配系数的方法,构造出“积”或“和”为定值. (3)三相等:必须验证取等号时条件是否成立,若等号不成立,则不能用均值不等式求最大(小) 值. 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)当x<0时,求 +4x的最大值; (2)当x>0时,求x+ 的最小值. 思路点拨    (1)由x<0得 >0,-4x>0,变形后运用均值不等式求出最大值.(2)利用  × =1为定值,将所求式变形后,运用均值不等式求出最小值. 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)∵x<0,∴-x>0. 则 +(-4x)≥2 =8 ,当且仅当 =-4x,即x=- 时取等号. ∴ +4x≤-8 ,∴ +4x的最大值为-8 . (2)∵x>0,∴x+ >0, ∴x+ =x+ =x+ + - ≥2× - = , 当且仅当x+ = ,即x= 时,等号成立.故x+ 的最小值为 . 名师点睛    在利用均值不等式求最值的过程中,常需要把数、式合理地拆成两项(多项)或恒 等变形配凑成适当的数、式,以便于利用均值不等式,平时要积累一些变形的经验. 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 1.求含有附加条件的最大(小)值问题,常见的方法是分析条件与结论的运算结构,选用不同的 不等式求解:设a>0,b>0,则有 ≤ ≤ ≤ (当且仅当a=b时取等号),即调和平 均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数. 2.换(常值代换、变量代换):对条件变形,以便进行“1”的代换,从而构造利用均值不等式求 最值的形式.常用于“已知ax+by=m(a,b,x,y,m均为正数),求 + 的最小值”和“已知 + =m (a,b,x,y,m均为正数),求x+y的最小值”两种类型. 疑难 2 利用均值不等式求有附加条件的最大(小)值 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)设x>0,y>0,且x+y=18,求xy的最大值; (2)已知x,y>0,且x+y=4,求 + 的最小值. 解析    (1)∵x>0,y>0,∴ ≥ ,即xy≤ =81, 当且仅当x=y=9时,等号成立,因此xy的最大值为81. (2)∵x+y=4,∴ (x+y)=1,∴ + = (x+y) =  , ∵x,y>0,∴ >0, >0, ∴ + ≥2 =2 , 当且仅当 = ,且x+y=4时取等号,即x=2 -2,y=6-2 时取等号, ∴ + ≥ ×(4+2 )=1+ , 即 + 的最小值为1+ . 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 1.利用均值不等式证明不等式的关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式,通过将 “和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,达到放缩的效果.证明不等式常用 的变形技巧有: (1)拆分、配凑:将所要证明的不等式先拆分成几部分,再利用均值不等式证明. (2)常值代换:利用已知条件或将已知条件变形得到含“常值”的式子,将“常值”代入后再 利用均值不等式证明. 2.多次运用均值不等式时,需要注意两点:一是不等号方向要一致,二是等号要能同时取到. 疑难 3 利用均值不等式证明不等式 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)已知a,b,c>0,求证: + + ≥a+b+c; (2)已知x,y为正实数,且满足x+y=1.证明: + ≥ . 思路点拨    (1)由均值不等式得 +b≥2a, +c≥2b, +a≥2c,再利用不等式的性质证明不 等式.(2)先利用“乘1法”转化,使用均值不等式证得 + ≥4,再利用a2+b2≥ 证得  + ≥ . 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 证明    (1)∵a,b,c>0, ∴利用均值不等式可得 +b≥2a(当且仅当a=b时等号成立), +c≥2b(当且仅当b=c时等号 成立), +a≥2c(当且仅当a=c时等号成立),∴ + + +a+b+c≥2a+2b+2c, ∴ + + ≥a+b+c,当且仅当a=b=c时,等号成立. (2)因为x,y为正实数,x+y=1, 所以 + =(x+y) =2+ + ≥4, 所以 + ≥ = ≥ = ,当且仅当x=y= 时取等号. 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 $$