2.2.3 一元二次不等式的解法（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教B版2019）

知识点 1 一元二次不等式 知识 清单破 2.2.3　一元二次不等式的解法 　　一般地,形如ax2+bx+c>0的不等式称为一元二次不等式,其中a,b,c是常数,而且a≠0,一元 二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等. 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 1.因式分解法:一般地,如果x1<x2,则不等式(x-x1)(x-x2)<0的解集是(x1,x2),不等式(x-x1)(x-x2)>0的 解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞). 2.配方法:一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)通过配方可变为(x-h)2>k或(x-h)2<k的形式. 　　当k>0时,(x-h)2>k的解集为(-∞,h- )∪(h+ ,+∞),(x-h)2<k的解集为(h- ,h+ ). 　　当k<0时,(x-h)2>k的解集为R,(x-h)2<k的解集为⌀. 　　当k=0时,(x-h)2>k的解集为{x|x≠h},(x-h)2<k的解集为⌀. 知识点 2 一元二次不等式的解集 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 　　已知f(x),g(x)为关于x的整式,且g(x)≠0. 知识点 3 分式不等式的解法 分式不等式 同解不等式  >0  或  f(x)g(x)>0  <0  或  f(x)g(x)<0  >a(a≠0)  >0 g(x)[f(x)-ag(x)]>0 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 知识补充    ab>0⇔ 或  　    ab<0⇔ 或  第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 1.不等式x2-x>x2-1是一元二次不等式.(　    ) 2.不等式x2+x-2<0与2-x-x2>0的解集相同.(　    ) 3.不等式x2-2x-3>0可化为(x-1)2>4.(　    ) 4.不等式x(1-x)≤0的解集为[0,1].(　    ) 知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” . ✕ √ √ ✕ 5.不等式 <1的解集为{x|x<1或x>2}. (　    ) 提示 √ 原不等式可化为 >0,同解于(x-1)(x-2)>0,其解集为{x|x<1或x>2}. 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 疑难 情境破 疑难 1 含参数的一元二次不等式的解集 讲解分析 　　含参数的一元二次不等式的解题步骤:①将二次项系数化为正数;②判断相应的方程是 否有根(如果可以直接分解因式,那么可省去此步);③根据根的情况写出相应的解集,若方程 有两个不相等的实根,还要比较两根的大小. 根据上面的步骤可能产生的讨论形式:①若二次项系数含有参数,则应讨论其与0的关系,然后 将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式;②若一元二次不等式对应的一元二次 方程的根的个数不确定,则应讨论方程的判别式与0的关系;③若对应方程无根,则可直接写出 解集,若对应方程有两个根,则要讨论两根的大小关系,从而确定解集. 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 典例 解关于x的不等式ax2-2(a+1)x+4>0. 思路点拨    因为二次项的系数a不确定,所以需要根据a的取值进行分类讨论. 解析    (1)当a=0时,原不等式为-2x+4>0,所以x<2,故不等式的解集为{x|x<2}. (2)当a<0时,方程ax2-2(a+1)x+4=0的判别式Δ=4(a-1)2>0,易得方程的两根分别为x1=2,x2= ,易 知 <2,所以不等式的解集为 . (3)当a>0时,方程ax2-2(a+1)x+4=0的判别式Δ=4(a-1)2≥0,方程的两根分别为x1=2,x2= . ①当 <2,即a>1时,不等式的解集为 ; ②当 >2,即0<a<1时,不等式的解集为 ; ③当 =2,即a=1时,不等式的解集为{x|x≠2}. 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x<2};当a<0时,不等式的解集为 ;当a>1时, 不等式的解集为 ;当0<a<1时,不等式的解集为 x x<2或x>  ;当a=1时,不等 式的解集为{x|x≠2}. 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 1.解决与一元二次不等式有关的恒成立问题时,可通过二次函数求最值求解,也可通过分离参 数求解.解决恒成立问题一定要分清自变量和参数,一般地,已知范围的是变量,求解范围的是 参数.对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的范围内 全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的范围内全部在x轴下方. 2.求不等式恒成立问题中参数范围的常用方法: (1)利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在R上的恒成立问题. 　　设y=ax2+bx+c(a≠0),则y>0恒成立⇔ y≥0恒成立⇔ y<0恒成立⇔ y≤0 恒成立⇔  疑难 2 如何解决与一元二次不等式有关的恒成立问题 讲解分析 (2)分离自变量和参数,利用等价转化思想将其转化为求函数的最值问题. 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 典例1 若关于x的不等式(m-1)x2+(m-1)x+2>0的解集为R,则实数m的取值范围是　　　　    . [1,9) 解析    当m-1=0,即m=1时,不等式化为2>0,显然恒成立,符合题意; 当m-1≠0,即m≠1时,若关于x的不等式(m-1)x2+(m-1)x+2>0的解集为R,则  解得1<m<9. 综上所述,实数m的取值范围是[1,9). 易错警示    解决含参数的“一元二次不等式”问题,要关注二次项系数是否含有参数,若二 次项系数含参数,则要对二次项系数是不是0进行讨论. 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 若对任意的m∈{m|1≤m≤3},mx2-mx-6+m<0恒成立,求实数x的取值范围. 解析    mx2-mx-6+m<0⇔m(x2-x+1)-6<0. ∵x2-x+1= + >0,∴m< . 由题意可得 >3,即x2-x-1<0, 解得 <x< . ∴实数x的取值范围为 . 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 1.简单分式不等式的解法 解分式不等式的思路:先转化为整式不等式,再求解. 化分式不等式为“标准形式”的方法:移项,通分,右边化为0,左边化为 的形式(f(x),g(x)为 关于x的整式,且g(x)≠0). 2.简单高次不等式的解法 不等式的最高次项的次数大于2的不等式称为高次不等式.解高次不等式常用的方法有两种: (1)将高次不等式中的多项式分解成若干个不可约因式的乘积.根据实数运算的符号法则,把 它等价转化为两个或多个不等式(组),于是原不等式的解集就是各不等式(组)解集的并集. (2)穿针引线法: 疑难 3 分式不等式和高次不等式的解集 讲解分析 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 ①将不等式化为标准形式,一端为0,另一端为一次因式或二次不可约因式的乘积(因式中x的 系数为正); ②求出各因式等于0时的实数根,并在数轴上标出; ③自最右端上方起,用曲线自右向左依次由各根穿过数轴,遇奇次重根穿过,遇偶次重根穿不 过(即“奇过偶不过”); ④记数轴上方为正,下方为负,根据不等式的符号写出解集. 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 典例 求下列关于x的不等式的解集: (1) >0;(2) ≥1; (3) >0. 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)原不等式等价于(4x+2)(3x-1)>0,所以原不等式的解集为 . (2)原不等式可化为 ≤0, 所以原不等式等价于  所以原不等式的解集为 . (3)原不等式可以转化为(x-2)3(x-1)(x+3)2>0,各因式对应的根为2(三重根),1,-3(二重根). 结合下图可得,原不等式的解集为{x|x>2或x<1且x≠-3}. 第二章　等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 $$