第五章 三角函数1（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 第五章　 三角函数 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知扇形的弧长为2,面积为1,则扇形的圆心角的弧度数是(　　) A.4　　B.2　　C.　　D. 2.已知角θ的终边经过点(-1,-3),则=(　　) A.　　B.-　　C.-1　　D.1 3.函数f(x)=的图象大致为(　　) 　　　　 　　　　 4.已知α∈,且3cos 2α-sin α=2,则(　　) A.cos(π-α)=　　　　B.tan(π-α)=　　 C.sin=　　　　D.cos= 5.将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,则函数y=f(x)g(x)的最大值为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 6.已知f(x)=sin ωx+cos ωx,ω>0.若存在x1,x2∈,且x1<x2,使得f(x1)-f(x2)=-2,则实数ω的取值范围是(　　) A.　　　　B. C.　　　　D. 7.在锐角三角形ABC中,sin A=3cos Bcos C,则tan Atan Btan C的最小值是(　　) A.　　B.3　　C.　　D.12 8.已知函数f(x)=4cos·cos-1(ω>0)在区间上单调递增,且在区间[0,π]上只取得一次最大值,则ω的取值范围是(　　) A.　　B.　　C.　　D. 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知α∈R,sin α+cos α=,那么tan α的值为(　　) A.2+　　B.-2+　　C.2-　　D.-2- 10.设函数f(x)=Acos,则下列结论正确的是(　　) A. f(x)的一个周期为-π B. f(x)在区间上单调递减 C. f的一个零点为- D. f(x)的图象关于直线x=对称 11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则(　　) A.ω=2 B.直线x=是f(x)图象的一条对称轴 C.[f(x)]2-(a+1)f(x)+a=0在x∈上有两个不相等的解,则a∈ D.已知函数g(x)=f(x)+sin2x,当g(x)取最大值时,sin 2x= 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.若函数f(x)=tan(ω≠0)的最小正周期是,则ω=　　　　.  13.方程lg(sin x)=lg(cos x)的解构成的集合为　　　　　　　.  14.若关于x的方程sin x+2cos x+2-m=0在x∈上有且只有一个实数解,则实数m的取值范围为　　　　　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知函数f(x)=. (1)化简f(x)的解析式; (2)若<β<π<α<,且f(α+β)=-, f=,求α-β. 16.(15分)已知函数f(x)=sin+cos-2sin xcos x. (1)求函数f(x)的最小正周期及图象的对称轴方程; (2)将函数y=f(x)的图象先向左平移个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,求y=g(x)在[0,2π]上的单调递减区间. 17.(15分)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示. (1)求f(x)的解析式; (2)直接写出f(x)在区间[0,π]上的单调区间; (3)已知∀x∈R, f(a-x)=f(a+x)都成立,直接写出一个满足题意的a的值. 18.(17分)如图所示,在等腰直角△OAB中,∠AOB=,OA=,M为线段AB的中点,点P,Q分别在线段AM,BM上运动,且∠POQ=,设∠AOP=θ. (1)设PM=f(θ),求θ的取值范围及f(θ); (2)求△OPQ面积的最小值. 19.(17分)已知定义在R上的函数f(x)=是奇函数. (1)求实数a,b的值; (2)判断函数f(x)的单调性并证明; (3)若对任意的θ∈,不等式f(k)+f(cos2θ-2sin θ)≤0恒成立,求实数k的取值范围. 答案全解全析 1.B　设扇形的圆心角为α rad,则半径为,所以扇形的面积为×2×=1,可得α=2.故选B. 2.C　因为角θ的终边经过点(-1,-3),所以tan θ=3, 所以====-1. 故选C. 3.A　易知函数f(x)的定义域为R, f(-x)===f(x),所以函数f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故排除C,D; 当x∈(0,π)时,sin x>0,2|x|-1>0,则f(x)>0,故排除B.故选A. 4.B　因为3cos 2α-sin α=2,所以3(1-2sin2α)-sin α=2,即6sin2α+sin α-1=0,解得sin α=-或sin α=,又α∈,所以sin α=,所以cos α=-=-,tan α==-. 则cos(π-α)=-cos α=,tan(π-α)=-tan α=,sin=cos α=-,cos=sin α=,故选B. 5.C　易得g(x)=sin=sin, 则y=f(x)g(x)=sin 2x·sin=sin 2x·sin 2xcos-cos 2x·sin=sin 2x·sin 2x-cos 2x=sin22x-sin 2xcos 2x=×-×sin 4x=-=-sin, 所以当sin=-1时,y=f(x)g(x)取得最大值,为-×(-1)=.故选C. 6.B　f(x)=sin ωx+cos ωx=sin,∴f(x)max=, f(x)min=-,∴若存在x1,x2∈,且x1<x2,使得f(x1)-f(x2)=-2,则f(x1)=-, f(x2)=. 当0<x<,ω>0时,<ωx+<+, ∴+>,解得ω>.故选B. 7.A　∵sin A=sin(B+C)=3cos Bcos C,∴sin Bcos C+cos Bsin C=3cos B·cos C,∴tan B+tan C=3,∴tan Btan C≤=,当且仅当tan B=tan C,即B=C时,等号成立. 易知tan Atan Btan C=-tan(B+C)tan Btan C=·tan Btan C==3+, ∵tan Btan C≤,∴tan Atan Btan C≥.故选A. 8.C　f(x)=4cos·cos-1=4sincos+sin-1=2sincos+2sin2-1=sin ωx-cos ωx=2sin. 由x∈,ω>0,得ωx-∈. 因为f(x)在区间上单调递增, 所以-ω-≥-且ω-≤,所以0<ω≤. 当x∈[0,π],ω>0时,ωx-∈. 要使函数f(x)在[0,π]上只取得一次最大值, 则≤ωπ-<,解得≤ω<. 综上,ω的取值范围为.故选C. 9.BD　由得或 所以tan α=-2+或tan α=-2-.故选BD. 10.ACD　函数f(x)的最小正周期为=π,所以-π也为函数f(x)的周期,故A正确; 当x∈时,2x+∈,又y=cos t在上单调递增,在上单调递减,所以函数f(x)在区间上不单调,故B错误; f=Acos=Acos=Acos, 因为f=Acos=0,所以f的一个零点为-,故C正确; 由于f=Acos=Acos 4π=A,所以f(x)的图象关于直线x=对称,故D正确. 故选ACD. 11.ABD　对于A,由题图知,函数f(x)的最小正周期T=2×=π,又ω>0,所以ω=2,故A正确; 对于B,由“五点作图法”得2×+φ=π,解得φ=,所以f(x)=sin,令2x+=+kπ(k∈Z),得x=kπ+(k∈Z),所以直线x=是f(x)图象的一条对称轴,故B正确; 对于C,因为[f(x)]2-(a+1)f(x)+a=0,所以f(x)=1或f(x)=a, 令t=2x+,因为x∈,所以t∈,所以sin t=1或sin t=a共有两个不相等的解, 结合y=sin t的图象(图略),可知直线y=1与函数y=sin t的图象有一个交点,当a∈时,直线y=a与函数y=sin t的图象有一个交点,共两个交点,故C错误; 对于D,g(x)=sin+sin2x=sin 2x+cos 2x+=sin 2x+cos 2x+=sin 2x+cos 2x+, 令cos θ=,sin θ=,所以g(x)=sin(2x+θ)+,所以当2x+θ=2kπ+(k∈Z)时,g(x)取到最大值,此时sin 2x=sin=cos θ=,故D正确.故选ABD. 12.答案　2或-2 解析　由题知,T==,即|ω|=2,解得ω=±2. 13.答案　 解析　由lg(sin x)=lg(cos x),得sin x=cos x,即tan x=, 所以x=kπ+,k∈Z.① 易知sin x>0,cos x>0,所以2kπ<x<2kπ+,k∈Z.② 由①②得x=2kπ+,k∈Z,故方程的解构成的集合为. 14.答案　[3,4)∪{2+} 解析　方程sin x+2cos x+2-m=0在x∈上有且只有一个实数解,即方程sin x+2cos x+2=m在x∈上有且只有一个实数解,即函数y=sin x+2cos x+2的图象和直线y=m在x∈上有且只有一个交点. 令f(x)=sin x+2cos x+2=sin(x+θ)+2,其中tan θ=2, 不妨设θ为锐角,由x∈,可得x+θ∈, 所以当x+θ=,即x=-θ时, f(x)max=+2. 当x=0时, f(0)=0+2+2=4;当x=时, f=1+0+2=3. 函数y=f(x)的图象如图所示, 由图可知,3≤m<4或m=2+,即实数m的取值范围为[3,4)∪{2+}. 15.解析　(1)f(x)======cos x.(5分) (2)由题意得cos(α+β)=-,cos=sin 2β=.(7分) 由于<β<π,所以<2β<2π,又sin 2β=>0,所以<2β<π,所以<β<,又π<α<,所以<α-β<,<α+β<2π. 又cos(α+β)=-,所以<α+β<.(9分) 由上述分析得cos 2β=-,sin(α+β)=-,(10分) 所以sin(α-β)=sin[(α+β)-2β]=sin(α+β)cos 2β-cos(α+β)sin 2β =-×-×=,所以α-β=.(13分) 16.解析　(1)f(x)=sin 2x+cos 2x+cos 2x-sin 2x-sin 2x =cos 2x-sin 2x=2=2cos,(3分) 所以函数f(x)的最小正周期为π.(5分) 令2x+=kπ,k∈Z,得x=-+,k∈Z,故函数f(x)图象的对称轴方程为x=-+,k∈Z.(7分) (2)将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数解析式为y=2cos=2cos,(9分) 所以g(x)=2cos=2cos.(11分) 令2kπ≤x+≤π+2kπ,k∈Z,得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,(13分) 所以y=g(x)在[0,2π]上的单调递减区间为,.(15分) 17.解析　(1)由题图可知,=-=,所以T=π,所以ω=2.(3分) 因为f(x)的图象过点,所以2sin=2, 即sin=1, 所以-+φ=2kπ+,k∈Z,解得φ=2kπ+,k∈Z.(5分) 又因为0<φ<π,所以φ=. 所以f(x)=2sin.(7分) (2)在区间[0,π]上,函数f(x)的单调递增区间为,(9分) 单调递减区间为,.(11分) (3)因为∀x∈R, f(a-x)=f(a+x)都成立, 所以函数f(x)的图象关于直线x=a对称,(14分) 由题图可知,a=符合题意(答案不唯一).(15分) 18.解析　(1)因为△OAB为等腰直角三角形,OA=,M为线段AB的中点,所以OM=1,∠AOM=,OM⊥AB.(3分) 因为点P在线段AM上运动,所以θ∈.(4分) 因为∠AOP=θ,所以∠POM=-θ,(5分) 所以PM=OM·tan∠POM=tan,即f(θ)=tan,θ∈.(8分) (2)因为∠POQ=,所以∠QOM=θ,所以QM=OM·tan∠QOM=tan θ,(10分) 所以PQ=PM+QM=tan+tan θ,(12分) 所以S△OPQ=PQ·OM== =≥(2-2)=-1, 当且仅当tan θ=-1时,等号成立,(15分) 所以△OPQ面积的最小值为-1.(17分) 19.解析　(1)因为定义在R上的函数f(x)=是奇函数, 所以f(0)==0,所以b=1,所以f(x)=.(2分) 又f(-1)=-f(1),所以=-,解得a=2,所以f(x)=.(4分) 经检验,a=2,b=1符合题意.(5分) (2)f(x)在R上单调递减.证明如下: 由(1)知f(x)====-+.(6分) 任取x1,x2∈R,且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=-=. 因为函数y=2x在R上单调递增,x1<x2,所以>, 又+1>0,+1>0, 所以f(x1)-f(x2)=>0,即f(x1)>f(x2),(9分) 所以f(x)在R上单调递减.(10分) (3)因为函数f(x)在R上单调递减,且f(x)为奇函数, 所以不等式f(k)+f(cos2θ-2sin θ)≤0, 即f(k)≤-f(cos2θ-2sin θ)=f(-cos2θ+2sin θ), 即k≥-cos2θ+2sin θ=sin2θ+2sin θ-1=(sin θ+1)2-2.(12分) 因为对任意的θ∈,不等式f(k)+f(cos2θ-2sin θ)≤0恒成立, 所以对任意的θ∈,k≥(sin θ+1)2-2恒成立. 因为θ∈,所以sin θ∈(-1,1),所以(sin θ+1)2-2∈(-2,2),(15分) 所以k≥2,即实数k的取值范围是[2,+∞).(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$