第5章 单元整合练 三角函数图象与性质的应用（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

单元整合练　三角函数图象与性质的应用 1.已知函数f(x)=sin(x+φ),0<φ<π,若函数f(x)在上存在最大值,但不存在最小值,则φ的取值范围是(　　) A.　　　　B.　　 C.　　　　D. 2.将函数f(x)=2cos2x+2sin xcos x-1的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象.若在区间内有g(x1)=g(x2),则f(x1+x2)=(　　) A.-2　　　　B.-1　　 C.1　　　　D. 3.已知函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,x1,x2是f(x)的两个零点,若x2=4x1,则下列不为定值的量是(　　) A.φ　　　　B.ω　　 C.ωx1　　　　D. 4.(多选题)如图,函数f(x)=tan(2x+φ)的部分图象与坐标轴分别交于点D,E,F,且△DEF的面积为,则(　　) A.点D的纵坐标为1 B. f(x)在上单调递增 C.点是f(x)图象的一个对称中心 D. f(x)的图象可由y=tan x的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位长度得到 5.图1是函数f(x)=cosx的部分图象,经过适当的平移、伸缩变换后,得到g(x)的部分图象(如图2),则(　　) 　　 A.g(x)=f B.g=- C.方程g(x)=lox有4个不相等的实数解 D.g(x)>的解集为,k∈Z 6.(多选题)若函数f(cos x)=1-cos nx,n∈Z,则下列说法正确的是(　　) A.若n=1,则f(sin x)=1-sin x B.若n=1,则∀x∈R, f(cos x)≥0恒成立 C.若n=1,则方程f(sin x)=有8个根 D.若f(sin x)=f(cos x),则n=4k,k∈Z 7.已知f(x)=2sin·cos-2cos2+1(ω>0)满足　　　　　　　　　　　.  (1)求函数f(x)的解析式; (2)若关于x的方程f(x)=1在区间[0,m]上有两个不同的解,求实数m的取值范围. 从①f(x)的图象与直线y=-2的两个相邻交点之间的距离等于π;②f(x)图象的两个相邻对称中心之间的距离为这两个条件中选择一个,补充在上面问题中并作答. 8.已知A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))是函数f(x)=2sin(ωx+φ)A>0,ω>0,-<φ<0图象上的任意两点, f(0)=-,且当|f(x1)-f(x2)|=4时,|x1-x2|的最小值为. (1)求f的值; (2)将函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的,再把所得图象向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)在区间上的值域; (3)当x∈时,不等式c<f(x)<c+4恒成立,求实数c的取值范围. 9.已知函数f(x)=asin2(π-x)-2cos(π+x)-(a∈R),且当x∈时,y=f(x)的最大值为. (1)求实数a的值; (2)设函数g(x)=bsin,若对任意的x1∈,总存在x2∈[0,π],使得f(x1)=g(x2),求实数b的取值范围. 答案与分层梯度式解析 单元整合练　三角函数图象与性质的应用 1.D 2.B 3.B 4.AC 5.D 6.ABD 1.D　若0≤x<,则φ≤x+φ<+φ, 因为0<φ<π,函数f(x)在上存在最大值,但不存在最小值, 所以当≤φ<π时, 需满足+φ≤,此时≤φ≤; 当0<φ<时, 需满足-φ<+φ-,此时<φ<. 综上,φ的取值范围是. 故选D. 2.B　f(x)=2cos2x+2sin xcos x-1=sin 2x+cos 2x=2sin, 将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到g(x)=2sin=2sin的图象, 当-π≤x≤-时,-≤2x-≤-, 令2x-=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z), 因此当k=-2时,x=-,且-∈, 所以函数g(x)的图象关于直线x=-对称. 因为在区间内有g(x1)=g(x2),且g(x)的最小正周期T==π,所以x1+x2=-, 故f(x1+x2)=f=2sin =2sin=2sin=-1.故选B. 3.B　函数f(x)=cos(ωx+φ),ω>0的周期为, 令f(x)=0,可得ωx+φ=kπ+,k∈Z,所以x==,k∈Z, 又ω>0,|φ|<,所以x1=,x2=, 由x2=4x1得=4×,所以φ=, 因此ωx1=·ω=-φ=-=,==2, ∴不为定值的量是ω.故选B. 4.AC　由已知得函数f(x)的周期为,OD=f(0)=tan φ, 因为△DEF的面积为,所以××tan φ=, 所以tan φ=,即点D的纵坐标为tan φ=1,故A正确; 由tan φ=,结合题图可得φ=,故f(x)=tan,当x∈时,2x+∈,而y=tan x在上不具有单调性,故f(x)在上不单调递增,故B错误; 令2x+=,k∈Z,得x=-,k∈Z, 故对任意k∈Z,点都是f(x)图象的对称中心,k=1时,-=,故点是f(x)图象的一个对称中心,故C正确; 将y=tan x图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,可得y=tan 2x的图象,再把得到的图象向左平移个单位长度得到y=tan的图象,故D错误.故选AC. 5.D　A选项,若g(x)=f,则g(0)=f>0,与图2不符合,所以A选项错误. B选项, f(x)=cos x的图象向右平移1个单位长度得到y=cos=cos=sin x的图象, 再将横坐标缩小为原来的一半,纵坐标不变,得到g(x)=sin πx的图象, 所以g=sin π=sin=sin =,所以B选项错误. C选项,由g(x)=lox,得sin πx=lox,设h(x)=lox, 则h(1)=0,h(4)=lo4=-1,画出y=g(x)和y=h(x)的图象,如图所示, 由图可知,两个图象有5个交点,所以方程g(x)=lox有5个不相等的实数解,所以C选项错误. D选项,由g(x)=sin πx>,得2kπ+<πx<2kπ+,k∈Z,得2k+<x<2k+,k∈Z,所以g(x)>的解集为,k∈Z,所以D选项正确.故选D. 6.ABD　对于A,当n=1时, f(cos x)=1-cos nx=1-cos x,令t=cos x,则f(t)=1-t,t∈[-1,1],所以f(sin x)=1-sin x,故A正确; 对于B,当n=1时, f(cos x)=1-cos x,因为∀x∈R,cos x∈[-1,1],所以f(cos x)=1-cos x≥0,故B正确; 对于C,n=1时,由f(sin x)=得1-sin x=, 画出y=1-sin x,y=的图象,如图所示: 由图可得两函数图象有7个交点, 故方程f(sin x)=有7个实数根,故C错误; 对于D,因为sin x=cos,所以 f(sin x)=f=1-cos=1-cos,由于f(cos x)=1-cos nx, f(sin x)=f(cos x),所以cos=cos nx,所以=kπ(k∈Z),所以n=4k,k∈Z,故D正确.故选ABD. 7.解析　(1)f(x)=sin-cos =sin-cos =sin+sin=2sin. 若选择①: 由f(x)的图象与直线y=-2的两个相邻交点之间的距离等于π,得函数f(x)的最小正周期T=π, 即=π,所以ω=1,故f(x)=2sin. 若选择②: 由f(x)图象的两个相邻对称中心之间的距离为,得函数f(x)的最小正周期T=π,即=π, 所以ω=1,所以f(x)=2sin. (2)关于x的方程f(x)=1在区间[0,m]上有两个不同的解,即sin=在区间[0,m]上有两个不同的解. 当x∈[0,m]时,2x-∈, 结合正弦曲线知≤2m-<,解得≤m<, 即实数m的取值范围为. 8.解析　(1)由可得φ=-, ∵当|f(x1)-f(x2)|=4时,|x1-x2|的最小值为,∴f(x)的最小正周期T满足T==,即ω=2, ∴f(x)=2sin,∴f=2sin =. (2)根据已知得g(x)=2sin, ∵x∈,∴4x+∈[-π,π],∴y=g(x)在区间上的值域是[-2,2]. (3)x∈时,2x-∈, 此时f(x)min=-, f(x)max=1, ∵不等式c<f(x)<c+4恒成立, ∴即解得-3<c<-,故c的取值范围是(-3,-). 9.解析　(1)f(x)=asin2(π-x)-2cos(π+x)-=asin2x+2cos x-=a(1-cos2x)+2cos x-=-acos2x+2cos x-a, x∈时,cos x∈[0,1],令t=cos x,则y=-at2+2t-a,t∈[0,1]. 当a=0时,y=2t,因此当t=1时,ymax=2,与题意不符; 当a>0时,若0<<1,即a>1,则当t=时, ymax=-a+2×-a=-a=,解得a=2或a=-6(舍去); 若≥1,即0<a≤1,则当t=1时,ymax=-a+2-a=2-a=,解得a=,不符合0<a≤1; 当a<0时,<0,因此当t=1时,ymax=-a+2-a=2-a=,解得a=,不符合a<0. 综上,实数a的值为2. (2)由(1)可知f(x)=-2cos2x+2cos x-, 当t=cos x=时, f(x)max=, 当t=cos x=0或t=cos x=1时, f(x)min=-,所以f(x)在上的值域为,设为A. 当x∈[0,π]时,-≤x-≤, 所以sin∈, 设g(x)在[0,π]上的值域为B, 若对任意的x1∈,总存在x2∈[0,π],使得f(x1)=g(x2),则A⊆B, 当b=0时,B={0},显然不合题意; 当b>0时,B=,则得b≥; 当b<0时,B=,则得b≤-. 综上,实数b的取值范围为∪. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$