第5章 单元整合练 三角函数式的恒等变形（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

单元整合练　三角函数式的恒等变形 1.已知sin xcos y=,则cos xsin y的取值范围是(　　) A.　　B.　　C.　　D.[-1,1] 2.(多选题)下列说法正确的是　(　　) A.函数y=sin x+cos x+sin xcos x的最大值为+ B.若tan θ=,则3sin2θ+2sin θcos θ-cos2θ= C.若sin x+cos x=,则3sin x+4cos x=0 D.已知函数g(x)=3sin x+acos x满足g(x)≤g恒成立,则a= 3.已知cos(140°-α)+sin(110°+α)=sin(130°-α),则tan α=(　　) A.　　　　B.-　　 C.　　　　D.- 4.函数f(x)=的值域为　　　　.  5.4sin 80°-等于　　　　.  6.已知x1,x2为方程x2-x+=0的两个实数根,且α,β∈,x1=3x2,则tan α的最大值为　　　　.  7.如图,在平面直角坐标系中,锐角α,β的始边均与x轴的非负半轴重合,终边分别与圆心在原点的单位圆交于A,B两点. (1)如果tan α=,B点的横坐标为,求cos(α+β)的值; (2)设α+β的终边与单位圆交于C,AP,BQ,CR均与x轴垂直,垂足分别为P,Q,R,求证:以AP,BQ,CR的长为三条边长能构成三角形. 8.(1)设0<β<α<,且cos α=,cos(α-β)=,求角β的值; (2)已知tan α=,且sin(2α+β)=sin β,求tan(α+β)的值. 答案与分层梯度式解析 单元整合练　三角函数式的恒等变形 1.A 2.ACD 3.D 1.A　由sin xcos y=得sin(x+y)=sin xcos y+cos xsin y=+cos xsin y, 因为-1≤sin(x+y)≤1,所以-≤cos xsin y≤①. 又sin(x-y)=sin xcos y-cos xsin y=-cos xsin y,且-1≤sin(x-y)≤1, 所以-≤cos xsin y≤②. 结合①②可得-≤cos xsin y≤,故选A. 2.ACD　对于A,令t=sin x+cos x,则t=sin∈[-,],sin xcos x=, ∴y=t+=(t+1)2-1,t∈[-,], 当t=-1时,ymin=-1,当t=时,ymax=+,故A正确; 对于B,若tan θ=,则3sin2θ+2sin θcos θ-cos2θ====,故B错误; 对于C,由sin x+cos x=,得(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x=,则sin xcos x=-<0, 因为0<x<,所以<x<,所以sin x=,cos x=-,故3sin x+4cos x=0,故C正确; 对于D,因为函数g(x)=3sin x+acos x满足g(x)≤g恒成立,所以g(x)max=g=+, g(x)=3sin x+acos x=sin(x+φ),其中tan φ=,所以=+,整理得(a-)2=0,所以a=,故D正确.故选ACD. 3.D　∵cos(140°-α)+sin(110°+α)=sin(130°-α), ∴-cos(40°+α)+cos(20°+α)=cos(40°-α), ∴cos(20°+α)=cos(40°-α)+cos(40°+α), ∴cos 20°cos α-sin 20°sin α=2cos 40°cos α, ∴cos 20°cos α-2cos 40°cos α=sin 20°sin α, 则tan α=== ====-,故选D. 4.答案　 解析　易得f(x)====2sin x(1+sin x) =2-, 由题意可得-1≤sin x<1,所以-≤f(x)<2×-=4, 因此,函数f(x)=的值域为. 易错警示　在求函数的值域时,应先依据化简前的函数解析式,求函数的定义域. 5.答案　- 解析　4sin 80°-= === ===-. 6.答案　12 解析　根据根与系数的关系得x1x2=,x1+x2=-,因为α,β∈,所以tan α>0,tan β>0,所以x1+x2=->0, 因为x1=3x2,所以 因此x1+x2=-=-=, 则tan α+tan β-(1-tan αtan β)tan β=(tan α+tan β)tan β, 整理得tan2β-tan αtan β+tan α=0, 则Δ=tan2α-4tan α≥0,即tan2α-12tan α≤0,解得0≤tan α≤12, 所以0<tan α≤12, 因此tan α的最大值为12. 7.解析　(1)由α是锐角,tan α=,结合同角三角函数的基本关系得sin α=,cos α=, 又cos β=,且β是锐角,所以sin β=, 所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=-. (2)证明:三角形的三边关系是任意两边之和大于第三边. 破题关键由三角函数的定义得,AP=sin α,BQ=sin β,CR=sin(α+β), 因为α,β∈, 所以cos α∈(0,1),cos β∈(0,1), 所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β<sin α+sin β,① 又因为α+β∈(0,π),所以-1<cos(α+β)<1, sin α=sin[(α+β)-β]=sin(α+β)cos β-cos(α+β)·sin β<sin(α+β)+sin β,② 同理,sin β<sin(α+β)+sin α,③ 由①②③可得,以AP,BQ,CR的长为三条边长能构成三角形. 8.解析　(1)因为0<β<α<,且cos α=,cos(α-β)=,所以0<α-β<,sin α==,sin(α-β)==, 所以sin β=sin[α-(α-β)] =sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β) =×-×=, 又0<β<,所以β=. (2)因为sin(2α+β)=sin β, 所以2sin[(α+β)+α]=3sin[(α+β)-α], 即2sin(α+β)cos α+2cos(α+β)sin α=3sin(α+β)·cos α-3cos(α+β)sin α, 即sin(α+β)cos α=5cos(α+β)sin α, 则tan(α+β)=5tan α=5×=. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$