第2章 专题强化练2 三个“二次”的应用（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

专题强化练2　三个“二次”的应用 1.若关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是{x|2<x<3},则不等式cx2+bx+a>0的解集为(　　) A.　　　　B. C.　　　　D. 2.已知关于x的不等式x2-(a+1)x+a≤0的解集中有且仅有4个正整数,则a的取值范围是(　　) A.-3≤a<-2　　　　B.-3<a≤-2　　 C.4<a≤5　　　　D.4≤a<5 3.不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4≥0的解集为⌀,则实数a的取值范围是(　　) A.{a|a<-2或a≥2}　　　　B.{a|-2<a<2} C.{a|-2<a≤2}　　　　D.{a|a<2} 4.已知a,b∈R,且a<b,关于x的不等式x2-(a+b)x+ab+1<0的解集为{x|x1<x<x2},x1<x2,则实数a,b,x1,x2的大小关系是(　　) A.a<x1<x2<b　　　　B.x1<a<b<x2　　 C.a<x1<b<x2　　　　D.x1<a<x2<b 5.(多选题)已知不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<1或x>3},则下列结论正确的是(　　) A.c<0 B.a+2b+4c<0 C.cx+a<0的解集为 D.cx2-bx+a>0的解集为 6.设一元二次方程x2+(a-1)x+2a-5=0的两个实根为x1,x2(x1≠x2),则当x1x2(x1+x2+9)>0时,a的取值范围是　　　　　　.  7.已知函数y=x2+2(a+2)x+a2-1,y=0有两根x1,x2.若x1<0<x2,则实数a的取值范围是　　　　　　;若-4<x1<x2<0,则实数a的取值范围是　　　　.  8.已知正实数x,y满足x++3y+=10,则xy的取值范围是　　　　,的取值范围是　　　　　　.  9.关于x的不等式组的整数解组成的集合为A. (1)当k=3时,求集合A; (2)若集合A={-2},求实数k的取值范围; (3)若集合A中有2 019个元素,求实数k的取值范围. 答案与分层梯度式解析 专题强化练2　三个“二次”的应用 1.A 2.D 3.C 4.A 5.ABC 1.A　不等式ax2+bx+c<0的解集是{x|2<x<3}, ∴a>0且2,3是ax2+bx+c=0的两个根, ∴即 则不等式cx2+bx+a>0可化为6ax2-5ax+a>0,又a>0, ∴6x2-5x+1>0,解得x>或x<,故选A. 2.D　由x2-(a+1)x+a≤0,得(x-a)(x-1)≤0, 因为关于x的不等式x2-(a+1)x+a≤0的解集中有且仅有4个正整数,所以a>1, 故原不等式的解集为{x|1≤x≤a},所以4≤a<5,故选D. 3.C　因为不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4≥0的解集为⌀, 所以不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0的解集为R. 当a-2=0,即a=2时,不等式为-4<0,符合题意. 当a-2≠0,即a≠2时, 易得解得-2<a<2. 综上,实数a的取值范围是{a|-2<a≤2}.故选C. 4.A　解法一:由题可得x1+x2=a+b,x1x2=ab+1.由a<b,x1<x2,设x1=a+m,则x2=b-m.所以x1x2=(a+m)(b-m)=ab+m(b-a)-m2=ab+1,所以m(b-a)-m2=1,m=.又a<b,所以b-a>0,所以m>0.故x1>a,x2<b.又x1<x2,故a<x1<x2<b.故选A. 解法二(数形结合):不等式x2-(a+b)x+ab+1<0可化为(x-a)(x-b)<-1, 设y=(x-a)(x-b),画出函数y=(x-a)(x-b)的大致图象与直线y=-1,如图所示, 由图象可知a<x1<x2<b,故选A. 5.ABC　因为不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<1或x>3}, 所以ax2+bx+c=0的两个根为1和3,且a<0, 由根与系数的关系得解得 因为c=3a<0,所以A正确; 因为a+2b+4c=a-8a+12a=5a<0,所以B正确; 不等式cx+a<0可化为3ax+a<0,因为a<0,所以3x+1>0,解得x>-,所以不等式cx+a<0的解集为,选项C正确; 不等式cx2-bx+a>0可化为3ax2+4ax+a>0,因为a<0, 所以3x2+4x+1<0,即(x+1)(3x+1)<0,得-1<x<-, 因此不等式cx2-bx+a>0的解集为,选项D错误.故选ABC. 6.答案　 解析　因为方程x2+(a-1)x+2a-5=0的两个实根为x1,x2(x1≠x2), 所以Δ=(a-1)2-4(2a-5)>0,解得a<3或a>7易错点, 根据根与系数的关系得x1+x2=1-a,x1x2=2a-5, 由x1x2(x1+x2+9)>0得(a-10)(2a-5)<0, 解得<a<10, 又a<3或a>7,所以<a<3或7<a<10, 故a的取值范围是a<a<3或7<a<10. 7.答案　{a|-1<a<1}; 解析　若y=0的两根x1,x2满足x1<0<x2, (二次函数的图象开口向上,与x轴的两交点分别在x=0的两侧,则只需x=0时的函数值为负) 则a2-1<0,解得-1<a<1,故a的取值范围为{a|-1<a<1}. 若y=0的两根x1,x2满足-4<x1<x2<0, (两个根在同一范围内,结合二次函数图象,从0与-4处的函数值、判别式、对称轴三个方面列不等式组) 则解得-<a<-1, 故a的取值范围为. 8.答案　1≤xy≤;≤≤2 解析　对已知式左边分组,利用基本不等式构造关于xy和的不等式,解不等式即可. 因为x>0,y>0,所以10=+≥2=2当且仅当x+=+3y=5时取“=”,得3(xy)2-11xy+8≤0,即(xy-1)(3xy-8)≤0,解得1≤xy≤. 因为x>0,y>0,所以10=(x+3y)+≥2=2当且仅当x+3y=+=5时取“=”,得4-11+6≤0,即≤0,解得≤≤2. 9.解析　(1)当k=3时,原不等式组可化为解得-3<x<-,满足条件的整数x不存在,故A=⌀. (2)由x2-x-2>0得x<-1或x>2. 因为有唯一整数解x=-2, 且方程2x2+(2k+5)x+5k=(2x+5)(x+k)=0的两个根为-k和-,所以结合数轴可得-2<-k≤3,(借助数轴得到此不等式,要注意等号能否取到) 所以-3≤k<2. (3)当-k<-时,由A中有2 019个元素可得A={-3,-4,…,-2 021}(借助数轴找到这2 019个整数),  所以-2 022≤-k<-2 021,解得2 021<k≤2 022. 当-k>-时,由A中有2 019个元素可得A={-2,3,4,…,2 020}(借助数轴找到这2 019个整数,注意-2是A中的元素),  所以2 020<-k≤2 021,得-2 021≤k<-2 020. 所以实数k的取值范围为{k|2 021<k≤2 022或-2 021≤k<-2 020}. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$