第2章 本章复习提升（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

本章复习提升 易混易错练 易错点1　不能正确使用不等式的性质导致错误 1.(多选题)已知a,b,c∈R,则下列命题为真命题的是(　　) A.若bc2<ac2,则b<a B.若a3>b3且ab<0,则> C.若a>b>c>0,则> D.若c>b>a>0,则> 2.若-1<a+b<3,2<a-b<4,t=2a+3b,则t的取值范围为　　　　.  易错点2　忽略基本不等式的应用条件而致错 3.(多选题)下列说法正确的有(　　) A.已知x>1,则2x+-1的最小值为4+1 B.的最小值为2 C.若正数x,y满足x+2y=3xy,则2x+y的最小值为3 D.若正数x,y满足x+2y=3xy,则2x+y的最大值为3 4.(多选题)已知a>0,b>0,且a+2b=1,则(　　) A.ab的最大值为 B.+的最小值为9 C.a2+b2的最小值为 D.(a+1)(b+1)的最大值为2 5.已知a,b,c>0,ab+ac=4,则++的最小值是　　　　.  易错点3　忽略一元二次不等式中二次项系数的符号而致错 6.关于实数x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-2<x<1},则不等式a(x2+1)+b(x+1)+c<3ax的解集为　　　　.  7.关于x的不等式(a2-25)x2-(a+5)x+1≤0的解集是⌀,则实数a的取值范围是　　　　.  易错点4　忽略分式不等式中的分母不为0而致错 8.已知集合A=,若1∉A,则实数m的取值范围为　　　　.  9.解关于x的不等式:≤0. 10.不等式≤1的解集为A. (1)求集合A; (2)若关于x的不等式ax2+(a-1)x-1≤0的解集为B,且A∩B=B,求a的取值范围. 思想方法练 一、函数与方程思想在解不等式中的应用 1.已知当2≤x≤3,3≤y≤6时,不等式mx2-xy+y2≥0恒成立,则实数m的最小值为　　　　.  2.若关于x的不等式x2-mx+m+2>0对任意x∈{x|-2≤x≤4}恒成立,则m的取值范围为　　　　　　　　　.  二、分类讨论思想在解不等式中的应用 3.(1)求不等式≤1的解集; (2)求关于x的不等式ax2+2x+1>0(其中a>0)的解集. 4.设函数y=mx2-mx-1. (1)若对于一切实数x,y<0恒成立,求m的取值范围; (2)解不等式:y<(m+1)x-3. 三、数形结合思想在三个“二次”问题中的应用 5.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点(x1,0)与(x2,0),其中x1<x2,方程ax2+bx+c+a=0的两根为m,n(m<n),则(　　) A.m<n<x1<x2　　　　B.x1<x2<m<n　　 C.x1<m<n<x2　　　　D.m<x1<x2<n 6.(多选题)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)的图象开口向上,且对称轴为直线x=1,则下列选项正确的有(　　) A.|abc|+abc=0 B.当a≤x≤1-a时,ax2+bx+c的最大值为c-a2 C.关于x的不等式ax4+bx2>a(x2-2)2+b(x2-2)的解集为{x|x>或x<-} D.若关于x的函数t=x2+bx+1与关于t的函数y=t2+bt+1有相同的最小值,则|b-1|≥ 四、转化与化归思想在解不等式中的应用 7.(多选题)若关于x的不等式0≤ax2+bx+c≤1(a>0)的解集为{x|-1≤x≤2},则3a+2b+c的值不可以是(　　) A.　　B.　　C.　　D. 8.已知a,b均为正数,且满足a+b+8=ab. (1)求ab的最小值及取到最小值时a与b的值; (2)求的最小值及取到最小值时a与b的值. 答案与分层梯度式解析 本章复习提升 易混易错练 1.ABC 3.AC 4.BC 1.ABC　对于A,若bc2<ac2成立,则c≠0,所以c2>0,可得b<a,故A是真命题;对于B,由a3>b3得a>b,结合ab<0,可知a>0>b,所以>0>,故B是真命题;对于C,由a>b>c>0,得ac>bc,所以ac+ab>bc+ab①,又>0,故①式两边同时乘,得>,故C是真命题;对于D,因为c>b>a>0,所以a-b<0,c-a>0,c-b>0,可得-=<0,即<,故D是假命题.故选ABC. 易错警示　运用不等式的性质解决问题,一要注意不等号的方向,二要注意不等式性质成立的条件. 2.答案　-<t< 解析　设t=x(a+b)+y(a-b),则2a+3b=(x+y)a+(x-y)b,∴解得∴t=(a+b)-(a-b),∵-1<a+b<3,2<a-b<4,∴-<(a+b)<,-2<-(a-b)<-1,∴-<t<. 易错警示　利用几个代数式的范围求某一个代数式的范围时,不可多次运用不等式的性质(如:先运用不等式的性质由条件求出a、b的范围,再运用不等式的性质求结论),否则易扩大范围. 3.AC　对于A,当x>1时,x-1>0,则2x+-1=2(x-1)++1≥2+1=4+1,当且仅当x=+1时,等号成立,因此A选项正确;对于B,当x<0时,<0,因此B选项错误;对于C,D,若正数x,y满足x+2y=3xy,则3==+,2x+y=(2x+y)=≥5+2=3,当且仅当x=y=1时,等号成立,故2x+y的最小值为3,因此C选项正确,D选项错误.故选AC. 4.BC　∵a,b均为正数,且a+2b=1, ∴由基本不等式可得,1=a+2b≥2,解得ab≤,当且仅当a=2b=,即a=,b=时等号成立,故A选项不正确; +=(a+2b)=1+++4 ≥5+2=9,当且仅当=,即a=b=时等号成立,故B选项正确; ∵∴0<b<, ∴a2+b2=(1-2b)2+b2=5b2-4b+1=5+,0<b<,结合二次函数的性质可知,当b=时,a2+b2取得最小值,为,故C选项正确; ∵a>0,b>0,且a+2b=1, ∴(a+1)(b+1)=(a+1)(2b+2)≤×=2, 当且仅当a+1=2b+2,且a+2b=1,即a=1,b=0时等号成立, 又b>0,故等号不成立,故D选项不正确. 故选BC. 易错警示　利用基本不等式求最大(小)值时,要验证“一正、二定、三相等”,在本题中要注意选项D中等号不成立,解题时易忽视等号成立的条件导致解题错误. 5.答案　4 解析　设a=x,b+c=y,问题转化为已知x>0,y>0,且xy=4,求++的最小值. 由++=+=(y+x)+≥2=4, 当且仅当(y+x)=,即x=y=2时,等号成立. 所以++的最小值为4,即++的最小值为4. 易错警示　利用基本不等式求最值时,在保证各项均为正数的情况下,必须考虑由条件得出两项和或两项积为定值. 6.答案　{x|x<0或x>2} 解析　由题意可得ax2+bx+c=0的解为-2,1,且a<0易错点, 可得解得 则不等式a(x2+1)+b(x+1)+c<3ax, 即为a(x2+1)+a(x+1)-2a<3ax,且a<0, 则x2+1+x+1-2>3x,整理得x2-2x>0,解得x<0或x>2,即解集为{x|x<0或x>2}. 7.答案　a≤-5或a> 解析　当a2-25=0易错点时,a=±5, 若a=5,则不等式可化为-10x+1≤0,解得x≥,不符合题意; 若a=-5,则不等式可化为1≤0,解集为⌀,符合题意. 当a2-25≠0时,a≠±5, 则解得a<-5或a>. 综上,a≤-5或a>. 8.答案　{m|-1≤m<1} 解析　由≤0,得① 当m=0时,不等式为≤0,此时A=⌀,符合题意; 当m>0时,解①得-m<x≤m,则A={x|-m<x≤m}, 因为1∉A,所以m<1,此时0<m<1; 当m<0时,解①得m≤x<-m,则A={x|m≤x<-m}, 因为1∉A,所以-m≤1,解得m≥-1,此时-1≤m<0. 综上可得,实数m的取值范围是{m|-1≤m<1}. 易错警示　把含等号的分式不等式化为整式不等式求解时,切记不要忽略分母不等于零这一条件. 9.解析　≤0⇔ax(x+1)≤0且x+1≠0易错点. 当a>0时,ax(x+1)≤0且x+1≠0⇒x(x+1)≤0且x+1≠0⇒-1<x≤0, 此时原不等式的解集为{x|-1<x≤0}; 当a=0时,原不等式的解集为{x|x≠-1}; 当a<0时,ax(x+1)≤0且x+1≠0⇒x(x+1)≥0且x+1≠0⇒x<-1或x≥0, 此时原不等式的解集为{x|x<-1或x≥0}. 综上可知,当a>0时,原不等式的解集为{x|-1<x≤0};当a=0时,原不等式的解集为{x|x≠-1};当a<0时,原不等式的解集为{x|x<-1或x≥0}. 10.解析　(1)∵≤1,∴≤0,即≤0, 因此或解得-2<x≤3, 故A={x|-2<x≤3}. (2)由ax2+(a-1)x-1≤0,得(ax-1)(x+1)≤0, ∵A∩B=B,∴B⊆A, 当a=0时,B={x|x≥-1},不符合题意,舍去. 当a>0时,不等式可化为(x+1)≤0, 注意到-1<0<,∴B=, ∴≤3,又a>0,∴a≥. 当a<0时,不等式可化为(x+1)≥0,不符合题意,舍去. 综上,a的取值范围是. 思想方法练 5.C 6.ACD 7.AD 1.答案　0 解析　∵2≤x≤3,∴≤≤, 又3≤y≤6,∴1≤≤3.① ∴不等式mx2-xy+y2≥0恒成立可转化为m≥-,1≤≤3恒成立, 易得-=-+,1≤≤3, (利用二次函数图象的特点求出最大值) 结合二次函数的图象,得当=1时,-取得最大值,为0,∴m≥0,因此m的最小值为0. 2.答案　{m|2-2<m<2+2} 解析　设函数y=x2-mx+m+2,易知其图象开口向上,对称轴为直线x=, (设出不等式对应的函数,根据函数图象的特点,列出满足条件的关系式求解) ①当≤-2,即m≤-4时,有(-2)2-m×(-2)+m+2>0,解得m>-2,与m≤-4矛盾,不符合题意; ②当-2<<4,即-4<m<8时,有-m×+m+2>0,解得2-2<m<2+2,又-4<m<8,∴2-2<m<2+2; ③当≥4,即m≥8时,有42-m×4+m+2>0, 解得m<6,与m≥8矛盾,不符合题意. 综上所述,m的取值范围为{m|2-2<m<2+2}. 思想方法　函数与方程思想在本章中的体现 (1)利用函数图象讨论方程根的个数及分布情况,讨论不等式的解集情况; (2)利用函数解决代数中有关取值范围的问题,以及函数在实际问题中的应用; (3)利用方程解决与函数有关的问题. 　　函数、方程、不等式三者密不可分,很多不等式问题都可以从函数的角度进行求解,如y>a(y是关于x的函数,a为参数)恒成立等价于ymin>a. 3.解析　(1)由≤1,可得≤0, 不等式≤0⇔解得-2≤x<2. 所以不等式≤1的解集为{x|-2≤x<2}. (2)由已知得Δ=4-4a, (不等式ax2+2x+1>0对应方程根的情况不确定,要对判别式Δ=4-4a是大于0、等于0还是小于0进行讨论) 当Δ=0,即a=1时,不等式为x2+2x+1>0,所以x≠-1, 即不等式ax2+2x+1>0的解集为{x|x≠-1}; 当Δ<0,即a>1时,不等式的解集为R; 当Δ>0,即0<a<1时,由ax2+2x+1=0可得x1=,x2=, 所以不等式ax2+2x+1>0的解集为xx<或x>. 综上,当a=1时,不等式的解集为{x|x≠-1};当a>1时,不等式的解集为R;当0<a<1时,不等式的解集为xx<或x>. 4.解析　(1)(二次项系数含有参数的一元二次不等式恒成立问题,要分二次项系数为0与不为0两种情况讨论) 当m=0时,y=-1<0恒成立,满足题意; 当m≠0时,由题意得解得-4<m<0. 综上所述,m的取值范围是{m|-4<m≤0}. (2)不等式y<(m+1)x-3,即mx2-mx-1-(m+1)x+3<0,可化为(mx-1)(x-2)<0. (解二次项系数含有参数的一元二次不等式,首先要对二次项系数为正、为负、为0进行分类讨论) 当m=0时,原不等式就是x-2>0,解得x>2. 当m<0时,<2,原不等式可化为(x-2)>0,解得x<或x>2. 当m>0时,原不等式可化为(x-2)<0, 与2都是正数,要对它们的大小进行分类讨论 若m=,则原不等式就是(x-2)2<0,解集为⌀; 若0<m<,则>2,解原不等式得2<x<; 若m>,则0<<2,解原不等式得<x<2. 综上所述,当m<0时,原不等式的解集为;当m=0时,原不等式的解集为{x|x>2};当0<m<时,原不等式的解集为x2<x<;当m=时,原不等式的解集为⌀;当m>时,原不等式的解集为. 思想方法　在本章中,分类讨论思想主要应用于解含参数的不等式,有以下几种情况: (1)二次项系数含参数且没有给出具体范围时,要分二次项系数大于0,等于0,小于0三种情况讨论; (2)对应方程的根无法判断大小时,要分类讨论; (3)若判别式含参数,则在确定解的情况时需分Δ>0,Δ=0,Δ<0三种情况进行讨论. 5.C　方程ax2+bx+c+a=0的两根为m,n,即ax2+bx+c=-a的两根为m,n,且m<n. 可转化为y=ax2+bx+c与y=-a图象的交点的横坐标为m,n,且m<n. 当a>0时,如图1,结合函数图象可知,x1<m<n<x2; 　 当a<0时,如图2,结合函数图象可知,x1<m<n<x2. 综上,x1<m<n<x2.故选C. 6.ACD　A选项,由二次函数的图象开口向上,得a>0, 由对称轴为直线x=-=1,得b=-2a<0, 由图象与y轴的交点在y轴正半轴上,得c>0, 所以abc<0,因此|abc|+abc=-abc+abc=0,因此A正确; B选项,因为a>0,所以1-a<1, 由函数y=ax2+bx+c的图象知,当a≤x≤1-a<1时, ax2+bx+c的最大值为a·a2+a·(-2a)+c=a3-2a2+c,因此B错误; C选项,因为b=-2a,所以ax4+bx2=ax4-2ax2, a(x2-2)2+b(x2-2)=ax4-4ax2+4a-2a(x2-2)=ax4-6ax2+8a, 故不等式ax4+bx2>a(x2-2)2+b(x2-2)可变形为4ax2-8a>0, 因为a>0,所以不等式为x2>2,解得x>或x<-,因此C正确; D选项,t=x2+bx+1=+1-, 当x=-时,t取得最小值,最小值为1-,故t≥1-. y=t2+bt+1=+1-, (根据两函数有相同的最小值以及t的取值范围求解) 所以当t=-时,y取得最小值,最小值为1-,且-≥1-, 因此b2-2b-4≥0,所以(b-1)2≥5,即|b-1|≥,因此D正确. 故选ACD. 思想方法　数形结合思想在本章主要体现在三个“二次”的关系中,解题时要充分利用二次函数的图象,分析一元二次方程的根与一元二次不等式的解集. 7.AD　关于x的不等式0≤ax2+bx+c≤1(a>0)的解集为{x|-1≤x≤2}, (不等式0≤ax2+bx+c恒成立,将条件进行转化) 所以不等式ax2+bx+c≤1(a>0)的解集为{x|-1≤x≤2},且Δ=b2-4ac≤0. (将不等式的解集的端点转化为对应一元二次方程的根) 由根与系数的关系知解得 所以Δ=(-a)2-4a·(-2a+1)=9a2-4a≤0,解得0≤a≤,又a>0,所以0<a≤, 所以3a+2b+c=3a-2a-2a+1=-a+1, (利用a、b、c的关系,将3a+2b+c转化为关于a的表达式,进而求出范围) 由0<a≤得≤-a+1<1,因此≤3a+2b+c<1,结合选项知选AD. 8.解析　(1)∵a>0,b>0, ∴a+b≥2, 由已知得a+b=ab-8, (利用基本不等式将原等式转化为关于的不等式,解不等式求取值范围) ∴ab-8≥2,即()2-2-8≥0, 因此(+2)(-4)≥0, ∵+2>0,∴-4≥0,解得ab≥16, 当且仅当即a=b=4时,等号成立, 所以当a=b=4时,ab取最小值,最小值为16. (2)由已知得===++5, (把ab-8用a+b表示,将分式转化为齐次分式,考虑到分式的分母是单项式,运用除法将分式转化为积为定值的和式,运用基本不等式求解) ∵a>0,b>0, ∴++5≥2+5=9, 当且仅当即时,等号成立, 所以当a=,b=时,取最小值,最小值为9. 思想方法　转化与化归思想在本章中的应用主要体现在不等式恒(能)成立问题与最值之间的转化,一元二次不等式与二次方程、二次函数之间的转化. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$