精品解析：新疆乌鲁木齐三中2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年新疆乌鲁木齐三中八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本题共9小题，每小题3分，共27分）在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的． 1. 下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是(　 　) A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 等腰三角形的一个角是，则它的底角是（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 以下尺规作图中，一定能得到线段AD=BD的是(　　) A. B. C. D. 5. 如图，已知六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙 6. 下列判断中正确的是（　　） A. 四边形的外角和大于内角和 B. 若多边形边数从3增加到n（n为大于3的自然数），它们外角和的度数不变 C. 一个多边形的内角中，锐角的个数可以任意多 D. 一个多边形的内角和为1880° 7. 如图，长方形沿折叠，使D点落在边上的F点处，，那么等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形中，垂直平分，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. 平分 C. D. 9. 如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（　　　） A. B. C. D. 不能确定 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 10. 工人师傅做门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是___________． 11. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则该多边形是________边形． 12. 如果点和点关于轴对称，则_______． 13. 如图，在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，且的面积是4，则的面积是______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，有一个，已知，，，，则点B的坐标为______． 15. 如图，等边△ABC的周长为18cm，BD为AC边上的中线，动点P，Q分别在线段BC，BD上运动，连接CQ，PQ，当BP长为_____cm时，线段CQ+PQ的和为最小． 三、解答题：（共55分） 16. 如图，在中，是边上的高，平分交边于E，，．求的度数． 17. 如图，点B、D、C、F在一条直线上，且BD=FC，AB=EF． （1）请你只添加一个条件（不再加辅助线），使△ABC≌△EFD，你添加的条件是 . （2）根据你添加的条件，证明△ABC≌△EFD． 18. 如图：△ABC中，AB=AC，E为线段BA延长线上一点，AD平分∠EAC，求证：ADBC． 19. 实验探究是数学学习的重要方法．通过剪拼验证“三角形的内角和等于”时，小明给出如图1的拼合方法，发现了证明的思路，并给出了不完整的“已知”和“求证”，请你补充完整，并写出“证明”的过程． 已知：如图2， ； 求证： ． 20. 如图所示，已知在△ABC中，AB=AC，BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且BD和CE相交于O点. （1）试说明△OBC是等腰三角形； （2）连接OA，试判断直线OA与线段BC的关系，并说明理由. 21. 如图，在平面直角坐标系中，． （1）在图中作出关于轴对称的； （2）写出点的坐标：_____，_____，_____； （3）求的面积； （4）在轴上画出点，使的值最小． 22. （1）尝试探究：如图1，是等边三角形，，，连接，求的度数． （2）类比延伸：如图2，是等边三角形，，连接，平分，交 于 ，交 于，求的度数． （3）拓展迁移：在（2）的条件下，试猜想之间有怎样的数量关系？并给出证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年新疆乌鲁木齐三中八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本题共9小题，每小题3分，共27分）在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的． 1. 下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是(　 　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据轴对称图形与中心对称图形的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； B、是中心对称图形，故本选项错误； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项正确． 故选D． 【点睛】本题考查的是轴对称图形，熟知轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质的图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合是解答此题的关键． 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此可解． 【详解】解：A、，长度为的三条线段不能组成三角形，不合题意； B、，，长度为的三条线段能组成三角形，符合题意； C、，长度为的三条线段不能组成三角形，不合题意； D、，长度为的三条线段不能组成三角形，不合题意； 故选B． 3. 等腰三角形的一个角是，则它的底角是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，等腰三角形中两个底角相等，此题中一个角是，有可能是顶角，也有可能是底角，分两种情况讨论即可求解． 【详解】解：∵ 等腰三角形两个底角相等， 设给定角为． 若为顶角，则底角度数为． 若为底角，则底角度数为． ∴ 底角为或． 故选：D． 4. 以下尺规作图中，一定能得到线段AD=BD的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本作图，前面三个作图AD分别为三角形高线、角平分线和中线，第四个作了AB的垂直平分线，从而得到DA=DB． 【详解】A．AD为BC边的高； B．AD为角平分线， C．D点为BC的中点，AD为BC边上的中线， D．点D为AB的垂直平分线与BC的交点，则DA=DB． 故选：D． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质． 5. 如图，已知六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键；根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：甲：由不能判断两个三角形全等，故不符合题意； 乙：由能判断两个三角形全等，故符合题意； 丙：∵， 而丙图形中第三个角（未知的角）为：， ∴与丙图中有两角及其夹边对应相等， 由能判断两个三角形全等，故符合题意； 故乙和丙符合题意， 故选：B． 6. 下列判断中正确的是（　　） A. 四边形的外角和大于内角和 B. 若多边形边数从3增加到n（n为大于3的自然数），它们外角和的度数不变 C. 一个多边形的内角中，锐角的个数可以任意多 D. 一个多边形的内角和为1880° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征，还需要懂得挖掘此题隐含着边数为正整数这个条件． 【详解】A、四边形的外角和等于内角和，故错误； B、正确； C、一个多边形的内角中，锐角的个数最多有3个，故错误； D、一个多边形的内角和为1880°时，边数为，边数不为正整数，故错误． 故选B． 【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和的关系，会根据公式进行正确运算、变形和数据处理． 7. 如图，长方形沿折叠，使D点落在边上的F点处，，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查折叠问题，直角三角形的性质，关键是由折叠的性质得到． 由长方形的性质得到，求出，由折叠的性质得到，则，得到． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得到：， ∴， ∴． 故选：D． 8. 如图，四边形中，垂直平分，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. 平分 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，先由垂直平分线的性质得，，再证明，故平分，然后运用证明，即可作答． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，，故A选项成立， ∵， ∴， ∴， ∴平分，故B选项成立， ∴． 在和中， ∵， ∴．故D选项成立， 没有可证明的条件，故C选项不一定成立， 故选：C． 9. 如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（　　　） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=AC即可． 【详解】过P作PF∥BC交AC于F. 如图所示： ∵PF∥BC，△ABC是等边三角形， ∴∠PFD=∠QCD=60，△APF是等边三角形， ∴AP=PF=AF， ∵PE⊥AC， ∴AE=EF， ∵AP=PF，AP=CQ， ∴PF=CQ. ∵在△PFD和△QCD中, ∴△PFD≌△QCD(AAS)， ∴FD=CD， ∵AE=EF， ∴EF+FD=AE+CD， ∴AE+CD=DE=AC， ∵AC=1， ∴DE=. 故选：B. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 10. 工人师傅做门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是___________． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 11. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则该多边形是________边形． 【答案】八 【解析】 【分析】本题考查多边形内角和与外角和，根据题意，设该多边形的边数为，由题意列方程求解即可得到答案．熟记多边形内角和与外角和是解决问题的关键． 【详解】解：设该多边形的边数为， 这个多边形的内角和为， 多边形的内角和是它的外角和的3倍， ，解得， 故答案为：八． 12. 如果点和点关于轴对称，则_______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了点坐标与轴对称“在平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标相等、纵坐标互为相反数”，熟练掌握点坐标与轴对称变换规律是解题关键．根据在平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标相等、纵坐标互为相反数求出的值，代入计算即可得． 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴ ∴ 故答案为：20． 13. 如图，在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，且的面积是4，则的面积是______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的面积公式：底高．依据三角形的面积公式及点D、E、F分别为边、、的中点，推出，从而求得的面积． 【详解】解：设以为底边的高为， 则， 点D、E、F分别为边、、的中点， ， 同理可得，，，， ， ． 故答案为：1． 14. 如图，在平面直角坐标系中，有一个，已知，，，，则点B的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形．过点作轴于点，证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ∵，轴， ∴， 又，， ∴， ∵，， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 15. 如图，等边△ABC的周长为18cm，BD为AC边上的中线，动点P，Q分别在线段BC，BD上运动，连接CQ，PQ，当BP长为_____cm时，线段CQ+PQ的和为最小． 【答案】3． 【解析】 【分析】连接AQ，依据等边三角形的性质，即可得到CQ＝AQ，依据当A，Q，P三点共线，且AP⊥BC时，AQ+PQ的最小值为线段AP的长，即可得到BP的长． 【详解】如图，连接AQ， ∵等边△ABC中，BD为AC边上的中线， ∴BD垂直平分AC， ∴CQ＝AQ， ∴CQ+PQ＝AQ+PQ， ∴当A，Q，P三点共线，且AP⊥BC时，AQ+PQ的最小值为线段AP的长， 此时，P为BC的中点， 又∵等边△ABC的周长为18cm， ∴BP＝BC＝×6＝3cm， 故答案为3． 【点睛】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 三、解答题：（共55分） 16. 如图，在中，是边上的高，平分交边于E，，．求的度数． 【答案】的度数为． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线定义，由平分交边于，得，再根据三角形内角和定理得，又，则，最后由直角三角形的性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵平分交边于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 17. 如图，点B、D、C、F在一条直线上，且BD=FC，AB=EF． （1）请你只添加一个条件（不再加辅助线），使△ABC≌△EFD，你添加的条件是 . （2）根据你添加的条件，证明△ABC≌△EFD． 【答案】（1）AC=DE； （2）证明： 即 在和中， 【解析】 【分析】（1）根据题目中给出的两组对边相等，可以再添加一组对边或一组对角相等利用SSS或SAS证明全等即可； （2）根据（1）中添加的条件选择对应的方法证明即可. 【详解】（1）AC=DE （2）略 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键. 18. 如图：△ABC中，AB=AC，E为线段BA延长线上一点，AD平分∠EAC，求证：ADBC． 【答案】 证明：∵AB=AC， ∴∠C＝∠B． ∵AD平分∠EAC， ∴∠EAD＝∠DAC． ∵∠C+∠B=∠EAC=∠EAD+∠DAC． ∴∠EAD＝∠B ∴ADBC． 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠B，再根据角平分线的性质得到∠EAD＝∠DAC，再根据外角定理得到∠C+∠B=∠EAD+∠DAC，进而得到∠EAD＝∠B，故可得到ADBC． 【详解】略 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 19. 实验探究是数学学习的重要方法．通过剪拼验证“三角形的内角和等于”时，小明给出如图1的拼合方法，发现了证明的思路，并给出了不完整的“已知”和“求证”，请你补充完整，并写出“证明”的过程． 已知：如图2， ； 求证： ． 【答案】 解：已知：如图2，； 求证：． 证明：， ， ， ， ． 故答案为：． 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的判定和性质，关键是由平行线的性质推出．判定，由平行线的性质推出，于是． 【详解】略 20. 如图所示，已知在△ABC中，AB=AC，BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且BD和CE相交于O点. （1）试说明△OBC是等腰三角形； （2）连接OA，试判断直线OA与线段BC的关系，并说明理由. 【答案】 （1）∵ 在△ABC中，AB=AC， ∴ ∠ABC=∠BCA， ∵ BD、CE分别平分∠ABC、∠BCA， ∴ ∠ABD=∠CBD ，∠ACE=∠BCE， ∴ ∠OBC=∠BCO， ∴ OB=OC， ∴ △OBC为等腰三角形； （2）直线AO垂直平分BC 【解析】 【分析】（1）根据对边对等角得到∠ABC=∠ACB，再结合角平分线的定义得到∠OBC=∠OCB，从而证明OB=OC； （2）首先根据全等三角形的判定和性质得到OA平分∠BAC，再根据等腰三角形的三线合一的性质得到直线AO垂直平分BC． 【详解】（1）略 （2） 在△AOB与△AOC中， ∵， ∴△AOB≌△AOC（SSS）， ∴∠BAO=∠CAO， ∴直线AO垂直平分BC．（等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合） 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，综合利用了全等三角形的判定和角平分线的定义，对各知识点要能够熟练运用． 21. 如图，在平面直角坐标系中，． （1）在图中作出关于轴对称的； （2）写出点的坐标：_____，_____，_____； （3）求的面积； （4）在轴上画出点，使的值最小． 【答案】（1） 如图所示； （2）；； （3）6.5 （4） 【解析】 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，写出点的坐标，以及最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据A、B、C三点的坐标及关于y轴对称的点的坐标特征即可写出； （3）根据分割法即可求出的面积； （4）连接，与轴交于点，使的值最小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵与关于轴对称，， ∴点的坐标为：； 故答案为：； 【小问3详解】 解：的面积； 【小问4详解】 解：如图，连接，与轴交于点，点即为所求． 22. （1）尝试探究：如图1，是等边三角形，，，连接，求的度数． （2）类比延伸：如图2，是等边三角形，，连接，平分，交 于 ，交 于，求的度数． （3）拓展迁移：在（2）的条件下，试猜想之间有怎样的数量关系？并给出证明． 【答案】（1） ； （2） ； （3）；证明： 连接，延长至点，使得，连接； ∵是等边三角形，且， ∴， ∵平分， ∴垂直且平分（三线合一）， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴即， 在中，， ∴，即． 【解析】 【分析】（1）通过，可得；根据等边三角形可求出的度数，从而得到的度数，进而得出结果； （2）根据三角形的内角和定理可以得出等量关系： ，然后列等式求解即可； （3）连接，延长至点，使得，连接；通过倒角得出，从而证明，然后得到，最后转化边得出结论； 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； ∴的度数是； （2）设，如图： ∵， ∴， ， ∴． （3）略 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质；熟练运用这些定理实现边与角的转化是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $