第一章 预备知识（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（北师大版2019）

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 第一章　预备知识 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.命题“∀x∈Z,|x|∈N”的否定为(　　) A.∃x∈Z,|x|∉N`　　　　B.∀x∈Z,|x|∉N C.∃x∉Z,|x|∉N`　　　　D.∀x∉Z,|x|∉N 2.已知集合A={x|x2+2x-8>0},B={x|x-a>0},若B⊆A,则实数a的取值范围为(　　) A.a≥2　　　　B.a>2　　　　C.a≥4　　　　D.a>4 3.下列命题是真命题的是(　　) A.若x,y∈R且x+y>2,则x,y中至少有一个值大于1 B.∀x∈R,x<x2 C.a+b=0的充要条件是=-1 D.∃x∈R,x2+2≤0 4.给出下面三个推导过程: ①因为a,b是正实数,所以≥2=2; ②因为a∈R,且a≠0,所以+a≥2=4; ③因为x,y∈R,xy<0,所以≤-2=-2. 其中正确的推导为(　　) A.①②　　　　B.②③　　　　C.①③　　　　D.①②③ 5.若关于x的不等式ax-b>0的解集为{x|x<1},则关于x的不等式>0的解集为(　　) A.{x|x<-2或x>1}`　　　　B.{x|1<x<2} C.{x|x<-1或x>2}`　　　　D.{x|-1<x<2} 6.关于x的方程x2+(a-2)x+5-a=0在x∈{x|2<x<4}上有两个不相等的实根,则实数a的取值范围是(　　) A.-6<a<-2　　　　B.-6<a<-4　　　　C.-<a<-4 7.已知a>1,b>,且2a+b=3,则的最小值为(　　) A.1　　　　B. 8.已知集合A={a1,a2,…,an},任取1≤i≤j<k≤n,ai+aj∈A,aj+ak∈A,ai+ak∈A中至少有一个成立,则n的最大值为(　　) A.3　　　　B.5　　　　C.7　　　　D.9 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知命题p:∀x∈[0,],a≥x2,命题q:∃x∈R,x2+4x+a=0,若命题p与命题q均为真命题,则实数a的可能取值为(　　) A.　　　　D.4 10.已知x,y,u,v,s,t均为实数,下列命题正确的是(　　) A.已知x>y>0,则存在正数t,使成立 B.“xt2≥yt2”是“x≥y”的充分不必要条件 C.若x>y>0,s>t>0,0>u>v,则 D.若x,y均为正数,且满足x+,则x>y 11.记max{a,b}=已知x>0,y>0,x+2y+xy=30,则(　　) A.xy的最大值为18`　　　　B.x+2y的最大值为12 C.x+y的最小值为8-3`　　　　D.max{x+2,2y+2}的最小值为8 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.满足M⊆{a1,a2,a3,a4},且M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}的集合M为　　　　.(只需要写出一个满足条件的集合即可)  13.设常数a∈R,集合A={x|(x-1)(x-a)≥0},B={x|x≥a-1},若A∪B=R,则a的取值范围为　　　　.  14.某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件: ①男学生人数多于女学生人数; ②女学生人数多于教师人数; ③教师人数的两倍多于男学生人数. (1)若教师人数为4,则女学生人数的最大值为　　　　;  (2)该小组人数的最小值为　　　　.(第一空2分,第二空3分)  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知集合A={x|(x+2)(5-x)≤0},B={x|2a+1<x<3a+5}. (1)若a=-2,求A∪B; (2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,求实数a的取值范围. 16.(15分)已知a,b,c∈R且a>0,b>0,c>0. (1)若ab=1,求的最小值; (2)若a+b+c=1,求证:ab+bc+ca≤. 17.(15分)已知关于x的不等式x2-≤0. (1)当a=1,b=4时,解不等式; (2)若不等式仅有一解,求+b的最小值. 18.(17分)湖北省孝感市第六届运动会于2023年10月18日在孝感市体育馆开幕,此次运动会有两个吉祥物孝孝、感感.它们是以少年董永、七仙女的故事为蓝本,融合了运动、微笑、奔跑等创意元素而创造出的可爱运动卡通形象,寓意运动员敢于拼搏,微笑面对胜负,体现了深厚的孝感文化底蕴和地域文化特点.由市场调研分析可知,当前该吉祥物的产量供不应求,某企业每售出x千件该吉祥物的销售额为W(x)千元,且W(x)=且生产的成本包括固定成本4千元,材料等成本2千元/千件.记该企业每生产销售x千件该吉祥物的利润为f(x)千元. (1)求函数f(x)的解析式; (2)该企业要使利润最大,应生产多少千件该吉祥物?最大利润为多少? 19.(17分)若集合A具有以下性质: ①0∈A,1∈A; ②若x,y∈A,则x-y∈A,且x≠0时,∈A. 则称集合A是“好集”. (1)分别判断集合B={-1,0,1},有理数集Q是不是“好集”,并说明理由; (2)设集合A是“好集”,求证:若x,y∈A,则x+y∈A; (3)设集合A是“好集”,分别判断下面命题的真假,并说明理由. 命题p:若x,y∈A,则必有xy∈A; 命题q:若x,y∈A,且x≠0,则必有∈A. 答案与解析 第一章　预备知识 1.A　∵全称量词命题的否定是存在量词命题, ∴命题“∀x∈Z,|x|∈N”的否定为“∃x∈Z,|x|∉N”.故选A. 2.A　易得A={x|x>2或x<-4},B={x|x>a},若B⊆A,则a≥2.故选A. 3.A　对于A选项,假设x,y都不大于1,即x≤1且y≤1,由不等式的性质可得x+y≤2,与题设矛盾,假设不成立,故原命题为真命题; 对于B选项,当x=1时,x=x2,故原命题是假命题; 对于C选项,若a=b=0,则=-1,故原命题是假命题; 对于D选项,∀x∈R,x2+2>0,故原命题是假命题. 故选A. 4.C　①因为a,b是正实数,所以是正实数,符合基本不等式的条件,故①推导正确; ②a∈R,且a≠0不符合基本不等式的条件,所以②推导错误; ③由xy<0,得均为正数,符合基本不等式的条件,故③推导正确. 5.D　因为关于x的不等式ax-b>0的解集为{x|x<1},所以关于x的方程ax-b=0的根为x=1,且a<0,所以a-b=0,即b=a. 故不等式<0,解得-1<x<2. 因此,不等式>0的解集为{x|-1<x<2}.故选D. 6.D　因为关于x的方程x2+(a-2)x+5-a=0在x∈{x|2<x<4}上有两个不相等的实根, 所以<a<-4.故选D. 7.C　∵a>1,b>,且2a+b=3, ∴a-1>0,2b-1>0,4(a-1)+(2b-1)=1, 故[4(a-1)+(2b-1)] =4+=5+4=9, 当且仅当a=时“=”成立.故选C. 8.C　不妨设a1>a2>…>an,若集合A中的正数个数不小于4,取(i,j,k)=(1,2,3),可得a2+a3=a1,取(i,j,k)=(1,2,4),可得a2+a4=a1,此时a3=a4,不符合集合中元素的互异性,因此集合A中的正数至多有3个,同理,集合A中的负数至多有3个. 又考虑A={3,2,1,0,-1,-2,-3},符合题意,所以n的最大值为7. 故选C. 9.AD　对于命题p,∵∀x∈[0,],a≥x2, ∴a≥=3,∴a≥3. 对于命题q,∵∃x∈R,x2+4x+a=0,∴Δ=42-4a≥0,解得a≤4. 若命题p与命题q均为真命题,则3≤a≤4,只有A,D满足. 故选AD. 10.AC　对于A,,因为x>y>0,t>0, 所以t(y-x)<0,所以当x-t<0时,, 所以存在正数t,使成立,所以A正确; 对于B,当xt2≥yt2时,x≥y不一定成立,当x≥y时,xt2≥yt2成立, 所以“xt2≥yt2”是“x≥y”的必要不充分条件,所以B错误; 对于C,因为x>y>0,s>t>0,所以xs>yt>0,因为0>u>v, 所以-v>-u>0,所以-vxs>-uyt>0, 所以vxs<uyt,所以,所以C正确; 对于D,当x==2,此时x<y,所以D错误. 故选AC. 11.ACD　由题意得xy=30-(x+2y)≤30-2-1时,等号成立,故C正确; max{x+2,2y+2}=所以当y=3时,其有最小值,且最小值为8,故D正确.故选ACD. 12.答案　{a1,a2}(答案不唯一) 解析　∵M∩{a1,a2,a3}={a1,a2},故M中必有元素a1,a2,又M⊆{a1,a2,a3,a4},∴M中可能有元素a3,a4,进而可写出M. 13.答案　{a|a≤2} 解析　当a>1时,A={x|(x-1)(x-a)≥0}={x|x≤1或x≥a}, ∵B={x|x≥a-1},A∪B=R,∴a-1≤1,解得a≤2,∴1<a≤2; 当a=1时,A={x|(x-1)2≥0}=R,B={x|x≥0},A∪B=R,符合题意; 当a<1时,A={x|(x-1)(x-a)≥0}={x|x≤a或x≥1}, 由B={x|x≥a-1},且A∪B=R,得a-1≤a,恒成立,∴a<1. 综上,a的取值范围为{a|a≤2}. 14.答案　(1)6　(2)12 解析　设女学生、男学生、教师人数分别为x,y,z(x,y,z∈N+),则z<x<y<2z. (1)当z=4时,4<x<y<8,故x的最大值为6. (2)易知z的最小值为3,当z取最小值3时,3<x<y<6,则x=4,y=5,x+y+z=4+5+3=12,故该小组人数的最小值为12. 15.解析　(1)解不等式(x+2)(5-x)≤0,可得x≤-2或x≥5,所以A={x|x≤-2或x≥5}.(2分) 当a=-2时,B={x|-3<x<-1},(4分) 所以A∪B={x|x<-1或x≥5}.(6分) (2)由“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,得B⫋A.(8分) 当B=∅时,有2a+1≥3a+5,解得a≤-4,满足题意;(10分) 当B≠∅时,有2a+1<3a+5,解得a>-4, 要使B⫋A,则或a≥2.(12分) 综上所述,实数a的取值范围为∪[2,+∞).(13分) 16.解析　(1)因为ab=1,a>0,b>0, 所以≥4,(4分) 当且仅当即a=b=1时取等号. 所以的最小值为4.(7分) (2)证明:因为a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,b2+c2≥2bc, 所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac,当且仅当a=b=c时等号成立,(9分) 将a+b+c=1两边平方得a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1, 所以ab+bc+ac+2ab+2bc+2ac≤1,(13分) 即ab+bc+ac≤时取等号.(15分) 17.解析　(1)当a=1,b=4时,不等式为x2-2x+≤0,(2分) 即4x2-8x+3≤0,解得,(5分) 故不等式的解集为.(7分) (2)由题意可知ab≥0, 若不等式x2-=0,(9分) 所以ab=b-1>0,即b>1,a=,(11分) 故=4,(13分) 当且仅当b-1=,即b=2时取等号, 所以+b的最小值为4.(15分) 18.解析　(1)依题意可知总成本为(2x+4)千元,即f(x)=W(x)-(2x+4),(3分) 则f(x)=(6分) 即f(x)=(8分) (2)当0<x≤5时,f(x)=2x2+18x-4=2,(10分) 所以当x=5时,f(x)取得最大值,最大值为136;(12分) 当5<x≤12时,f(x)=194-=154, 当且仅当2(x-1)=,即x=11时取等号.(14分) 因为154>136,所以当x=11时,f(x)取得最大值,最大值为154. 所以该企业要使利润最大,应生产11千件该吉祥物,最大利润为154千元.(17分) 19.解析　(1)集合B不是“好集”. (1分) 理由:假设集合B是“好集”. 因为-1∈B,1∈B,所以-1-1=-2∈B,这与-2∉B矛盾.所以集合B不是“好集”.(3分) 有理数集Q是“好集”.(4分) 理由:因为0∈Q,1∈Q,对任意的x,y∈Q,有x-y∈Q,且x≠0时,∈Q,所以有理数集Q是“好集”.(6分) (2)证明:因为集合A是“好集”,所以0∈A. 若x,y∈A,则0-y∈A,即-y∈A.所以x-(-y)∈A,即x+y∈A.(8分) (3)命题p,q均为真命题.理由如下:(9分) 任取x,y∈A,当x,y中有0或1时,显然xy∈A. 当x,y均不为0,1时,由定义可知x-1,∈A, 即∈A,所以x(x-1)∈A.(11分) 由(2)可得x(x-1)+x∈A,即x2∈A.同理可得y2∈A.(13分) 若x+y=0或x+y=1,则(x+y)2∈A.若x+y≠0且x+y≠1,则(x+y)2∈A. 所以2xy=(x+y)2-x2-y2∈A,所以∈A.(15分) 由(2)可得∈A,所以xy∈A. 综上可知,xy∈A,即命题p为真命题. 若x,y∈A,且x≠0,则∈A,即命题q为真命题.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$