第4章 §2 对数的运算（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（北师大版2019）

第四章　对数运算与对数函数 §2　对数的运算 基础过关练 题组一　对数的运算性质 1.(多选题)已知a=lg 2,b=lg 3,则(　　) A.a+b=lg 6　　　B.=log34 C.2+=log212　　　D.b-a=lg 2.我们知道,任何一个正数N可以用科学记数法表示成a×10n(1≤a<10,n∈N)的形式,此时lg N=n+lg a(0≤lg a<1),当n>0时,称N的位数是n+1.根据以上信息可知350的位数是(lg 3≈0.477 12)(　　) A.23　　　　B.24　　　　C.25　　　　D.51 3.计算lg 2-lg +3lg 5-log32×log49=　　　　.  4.已知f(ex)=xlg 7,则f(2)+f(5)=　　　　.  5. 已知a=log3log38·log2,则a+b+c= 　　　　.  6.(1)已知logx8=6,求x的值; (2)已知log3(x2-10)=1+log3x,求x的值. 题组二　换底公式 7.已知3x=5y=a,且=2,则a的值为(　　) A.　　　　B.15　　　　C.±　　　　D.225 8.牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化:如果物体的初始温度为T0,则经过一定时间t后的温度T将满足T-Ta=·(T0-Ta),其中Ta是环境温度,h称为半衰期.现有一杯85 ℃的热茶,放置在25 ℃的房间中,如果热茶降温到55 ℃需要10分钟,则热茶从85 ℃降温到45 ℃大约需要多少分钟(lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)(　　) A.12　　　　B.14　　　　C.16　　　　D.18 9.log23×log34×log48=　　　　.  10. 把满足log23×log34×…×log(n+1)(n+2),n∈N*为整数的n叫作“贺数”, 则在区间(1,50)内所有“贺数”的和是　　　　.  11.已知2a=32,loga2·log4x=a,则log5x+logx5=　　　　.  题组三　对数运算的综合应用 12. 已知某种垃圾的分解率为v,与时间t(月)满足函数关系式v=abt(其中a,b为非零常数),若经过12个月,这种垃圾的分解率为10%,经过24个月,这种垃圾的分解率为20%,那么这种垃圾完全分解,至少需要经过(参考数据:lg 2≈0.3)(　　) A.48个月　　　B.52个月 C.64个月　　　D.120个月 13.a克糖水中含有b克糖,糖的质量与糖水的质量比为,这个质量比决定了糖水的甜度,如果再添加m克糖(假设全部溶解),生活经验告诉我们糖水会变甜,对应的不等式为(a>b>0,m>0),这个不等式称为糖水不等式.根据糖水不等式,下列不等式正确的是(　　) A.log85<log1610　　　 B. C.　　　 D. 14.(多选题)已知910>109,912>1011,1112>1211,设a=log1211,b=,则下列结论中正确的是(　　) A.a<b　　　　B.c>b　　　　C.a>d　　　　D.c>d 15.已知函数f(x)=则f(log23)=　　　　.  16.若正数x,y满足2+log2x=1+log3y=log6(2x+y),则的值为　　　　.  17.若a,b是方程2(lg x)2-lg x4+1=0的两个实数根,求lg(ab)·(logab+logba)的值. 18.已知x,y,z为正数,3x=4y=6z,2x=py. (1)求p的值; (2)求证:. 19.(1)已知lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,求lg; (2)甲、乙两人同时解关于x的方程:log3x-blogx3+c=0,甲看错了常数b,得两根为3和,乙看错了常数c,得两根为和81,求这个方程正确的根. 答案与分层梯度式解析 第四章　对数运算与对数函数 §2　对数的运算 基础过关练 1.AD　对于A,lg 6=lg(2×3)=lg 2+lg 3=a+b,故A正确; 对于B,log34=≠,故B错误; 对于C,log212=log2(4×3)=log24+log23=2+,故C错误; 对于D,lg =lg 3-lg 2=b-a,故D正确.故选AD. 2.B　lg 350=50lg 3≈23.856=23+0.856,则350的位数是23+1=24.故选B. 3.答案　2 解析　原式=lg 2+2lg 2+3lg 5-2××log32×log23=3(lg 2+lg 5)-1=3lg 10-1=2. 4.答案　ln 7 解析　令t=ex,则x=ln t(t>0),则f(t)=ln t·lg 7(t>0),所以f(x)=ln x·lg 7(x>0). 则f(2)+f(5)=ln 2·lg 7+ln 5·lg 7=lg 7·(ln 2+ln 5)=lg 7·ln 10=ln 7. 5.答案　 解析　a=log323·log32·, 所以a+b+c=-. 6.解析　(1)因为logx8=6,所以x6=8, 所以x=. (2)因为log3(x2-10)=1+log3x, 所以log3(x2-10)=log3(3x), 所以解得x=5. 7.A　∵3x=5y=a,∴xlg 3=ylg 5=lg a,∴,则2=, ∴lg a2=lg 15,∵a>0,∴a=,故选A. 8.C　根据题意得55-25=·(85-25),解得h=10, ∴45-25=·(85-25),即,则t=10×≈16.故选C. 9.答案　3 解析　原式=log23×=log28=3. 方法技巧　对数式恒等变形的常用策略:一看底数,底数不同时用换底公式化不同底为同底;二看真数,利用对数的运算性质将真数进行适当变形.解题时还要考虑对数恒等式及特殊值. 10.答案　52 解析　因为log23×log34×…×log(n+1)(n+2)=×…×=log2(n+2), 且log24=2,log28=3,log216=4,log232=5,log264=6,……, 所以当n+2=4,8,16,32,即n=2,6,14,30时,log2(n+2)为整数, 所以在区间(1,50)内所有“贺数”的和是2+6+14+30=52. 11.答案　 解析　因为2a=32=25,所以a=5, 所以loga2·log4x=log52·lolog52·log2x =×5, 即log5x=4,所以x=54, 所以log5x+logx5=log554+lo. 12.B　由题意可得解得 所以v=·, 这种垃圾完全分解,即当v=1时,有1=·,即2t=2012, 则t=log22012=12log220=12log2(4×5)=24+12log25=24+12×≈52. 故选B. 13.A　对于A,由lg 8>lg 5,lg 2>0得log85==log1610,故A正确; 对于B,,故B错误; 对于C,由题意得,故C错误; 对于D,由糖水不等式得,所以,故D错误.故选A. 14.BCD　由题意知a,b,c,d都大于零, 1112,因为1112>1211,所以>1,故a>b,A错误; 912,因为912>1011,所以>1,故c>b,B正确; 因为b-d=>0,所以b>d,又a>b,故a>d, C正确; 910,因为910>109,所以>1,故c>d, D正确. 故选BCD. 15.答案　 解析　由已知得f(log23)=f(log23+1)=f(log23+2)=f(log23+3)=f(log224)=. 16.答案　12 解析　因为2+log2x=1+log3y=log6(2x+y), 所以log2(4x)=log3(3y)=log6(2x+y), 设log2(4x)=log3(3y)=log6(2x+y)=k, 则2k=4x⇒x=2k-2,3k=3y⇒y=3k-1,6k=2x+y, 所以=22×31=12. 17.解析　原方程可变形为2(lg x)2-4lg x+1=0, ∵a,b是方程2(lg x)2-lg x4+1=0的两个实数根, ∴lg a+lg b=2,lg a·lg b=, ∴lg(ab)·(logab+logba) =(lg a+lg b)· =(lg a+lg b)· =(lg a+lg b)· =2×=12. 18.解析　设3x=4y=6z=t,t>1, 则x=log3t,y=log4t,z=log6t. (1)∵2x=py,∴2log3t=plog4t=p·. ∵log3t≠0,∴p=2log34=4log32. (2)证明:∵·logt4=·2logt2=logt2, ∴. 19.解析　(1)lg=lg 3=lg 3+lg =lg 3+lg 5=lg 3+lg =lg 3+(1-lg 2)≈0.477 1+×(1-0.301 0)=0.826 6. (2)原方程可化为(log3x)2+clog3x-b=0,由题意得log33+log3=-12=-b, 故c=1,b=12, 则原方程为(log3x)2+log3x-12=0, ∴log3x=-4或log3x=3,∴x=或x=27, 即这个方程正确的根为27和. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$