第3章 3.2指数函数的图象和性质（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（北师大版2019）

第三章　指数运算与指数函数 §3　指数函数 3.2　指数函数的图象和性质 基础过关练 题组一　指数(型)函数的图象 1.在同一坐标系内,当1<a<2时,函数y=(a-1)x与函数y=3-(a-2)x的图象可能是(　　) A　B　C　D　 2.已知函数y=ax、y=bx、y=cx、y=dx的大致图象如图所示,则下列不等式一定成立的是(　　) A.b+d>a+c　　　B.b+d<a+c C.a+d>b+c　　　D.a+d<b+c 3.函数f(x)=3|x|的图象是(　　) A　　　　B　　　　C　　　　D 4.已知函数f(x)=ax+b的部分图象如图所示. (1)求f(x)的解析式; (2)将f(x)的图象向左平移1个单位长度,得到g(x)的图象,求g(x)·f(-x)的最大值. 题组二　指数(型)函数的单调性及其应用 5. 设集合U=R, M={x|x<1},N=,则{x|x≥2}=　　(　　) A.∁U(M∪N)　　　B.N∪(∁UM) C.∁U(M∩N)　　　D.M∪(∁UN) 6.设a=1.4,则(　　) A.a>b>c　　　B.c>a>b C.c>b>a　　　D.a>c>b 7.函数f(x)=的单调增区间为(　　) A.(-∞,-1]　　　B.(-∞,1] C.[1,+∞)　　　D.[3,+∞) 8.设a>0且a≠1,函数f(x)=有最大值,则不等式>1的解集为　　　　.  9.若函数y=ax(a>0,且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值的差为,则a的值为　　　　.  10.已知指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象过点M,g(x)=f ,h(x)=f(x)+2g(x). (1)若f(x)>g(-x)+6,求x的取值范围; (2)判断h(x)在[0,+∞)上的单调性. 题组三　指数(型)函数性质的综合应用 11.函数f(x)=,x∈[-1,2]的值域是(　　) A.(-∞,8]　　　B. C.　　　D.(0,8] 12.已知函数f(x)=3x3+(e为常数,e=2.718 281…),且f(a2)+f(3a-4)>0,则实数a的取值范围是　　(　　) A.(-4,1)　　　 B.(-1,4) C.(-∞,-1)∪(4,+∞)　　　 D.(-∞,-4)∪(1,+∞) 13.已知[x]表示不超过x的最大整数,如[-1.2]=-2,[1.5]=1,[3]=3,若f(x)=,g(x)=f(x-[x]),则g=　　　　,函数g(x)的值域为　　　　.  14.已知函数f(x)=m+n的图象经过原点,且无限接近直线y=1但又不与该直线相交. (1)求f(x)的解析式; (2)函数g(x)=+f(x),x∈[0,2],求g(x)的最小值. 15.已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象经过点(4,4). (1)求a的值; (2)比较f(-2)与f(m2-2m)(m∈R)的大小; (3)求函数g(x)=a|x-1|(-3≤x≤3)的值域. 能力提升练 题组一　指数(型)函数的图象及其应用 1.函数f(x)=的图象大致是(　　) A　　　B　　　　 C　　　D 2.(多选题)已知a>0,且a≠1,则函数f(x)=xa-ax(x>0)的图象可能是(　　) A　　　　B　　　　C　　　　D 题组二　指数(型)函数的性质及其应用 3.已知函数y=ax-a-x(a>0,a≠1)在其定义域上递减,则函数f(x)=(　　) A.在(-∞,2)上递增,在(2,+∞)上递减 B.在(-∞,2)上递减,在(2,+∞)上递增 C.在(1,2)上递减,在(2,3)上递增 D.在(1,2)上递增,在(2,3)上递减 4.已知函数f(x)=-ax(a>1),则不等式f(2x2)+f(x-1)<0的解集为(　　) A.(-∞,-1)∪　　B. C.∪(1,+∞)　　D. 5.(多选题)已知函数f(x)=|ax-1|(a>0,且a≠1),则下列结论正确的是(　　) A.函数f(x)的图象恒过定点(0,1) B.函数f(x)的值域为[0,+∞) C.函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增 D.若直线y=2a与函数f(x)的图象有两个公共点,则实数a的取值范围是(0,1) 6.已知函数f(x)=的值域为R,则a的取值范围是(　　) A.[-1,2)　　　　B.(-1,2)　　　　C.　　　　D. 7.已知a>0且a≠1,函数f(x)=若f(x)在区间[0,2]上的最大值比最小值大,则a的值为(　　) A.或2　　　　B.或2　　　　C.2或　　　　D. 8.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=2x. (1)求函数f(x)和g(x)的解析式,并判断函数f(x)的单调性; (2)求函数F(x)=g(2x)-af(x)-1,x∈[0,1]的最小值. 答案与分层梯度式解析 第三章　指数运算与指数函数 §3　指数函数 3.2　指数函数的图象和性质 基础过关练 1.A　由1<a<2,得0<a-1<1,所以y=(a-1)x是减函数,且其图象与y轴交于点(0,1),排除C,D,又a-2<0,所以y=3-(a-2)x是增函数,且其图象与y轴交于点(0,3),排除B,故选A. 2.B　如图,作出直线x=1,其与各函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c,d,a,b, 故c>d>a>b,所以b+d<a+c.故选B. 3.B　f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=3|-x|=3|x|=f(x),故f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称, f(0)=30=1,故排除C,D;当x>0时,f(x)=3x>1,排除A.故选B. 4.解析　(1)由题图可知f(0)=1+b=-1,f(1)=a+b=0,解得a=2,b=-2,所以f(x)=2x-2. (2)依题意可得g(x)=f(x+1)=2x+1-2, 所以g(x)·f(-x)=(2x+1-2)(2-x-2)=2-2×2x+1-2×2-x+4=6-2(2x+1+2-x). 因为2x+1>0,2-x>0,所以2x+1+2-x≥2,当且仅当2x+1=2-x,即x=-时,等号成立, 所以g(x)·f(-x)=6-2(2x+1+2-x)≤6-4, 故g(x)·f(-x)的最大值为6-4. 5.A　函数y=在R上单调递减,则N=x<2=x={x|-1<x<2}. 对于A,M∪N={x|x<2},因此∁U(M∪N)={x|x≥2},A符合; 对于B,∁UM={x|x≥1},因此N∪(∁UM)={x|x>-1},B不符合; 对于C,M∩N={x|-1<x<1},因此∁U(M∩N)={x|x≤-1或x≥1},C不符合; 对于D,∁UN={x|x≤-1或x≥2},因此M∪(∁UN)={x|x<1或x≥2},D不符合. 故选A. 6.B　因为y=为增函数,1.44<, 所以1.4,即c>a, 因为y=1.2x为增函数, 所以1.4,即a>b, 故c>a>b.故选B. 7.A　令x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥3, 所以f(x)的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞), 易知t=x2-2x-3的图象开口向上,对称轴为直线x=1,y=在[0,+∞)上单调递增, 所以y=在(-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增, 因为y=在 R上单调递减, 所以f(x)=在(-∞,-1]上单调递增,在[3,+∞)上单调递减, 即f(x)=的单调增区间为(-∞,-1]. 故选A. 解后反思　求复合函数的单调区间时要把握“同增异减”的原则,另外要注意函数的定义域对单调区间的影响. 8.答案　{x|2<x<3} 解析　∵函数f(x)=有最大值, ∴0<a<1,∴y=ax在定义域上单调递减, 不等式>1即>a0, ∴x2-5x+6<0,解得2<x<3, 故不等式的解集为{x|2<x<3}. 9.答案　或 解析　当a>1时,函数y=ax在[1,2]上单调递增,y的最大值为a2,最小值为a, 故有a2-a=,解得a=或a=0(舍去); 当0<a<1时,函数y=ax在[1,2]上单调递减,y的最大值为a,最小值为a2, 故有a-a2=,解得a=或a=0(舍去). 综上,a=或a=. 易错警示　解决与指数函数单调性(最大(小)值)有关的问题时,要注意底数对单调性的影响,当底数含有参数时,要注意对参数分类讨论. 10.解析　(1)由题意得,解得a=9, ∴f(x)=9x,g(x)=, ∴f(x)>g(-x)+6可整理为9x-3x-6>0, 令3x=t(t>0),则t2-t-6=(t+2)(t-3)>0, ∴t>3,即3x>3,∴x>1. ∴x的取值范围是(1,+∞). (2)由题可知h(x)=9x+, 任取x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2, 则h(x1)-h(x2)= =( =( =( =·()-2]. ∵x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2, ∴>30=1, ∴·(·()-2>0, ∴h(x1)-h(x2)<0,即h(x1)<h(x2), ∴h(x)在[0,+∞)上单调递增. 11.B　令g(x)=x2-2x,x∈[-1,2], 则g(x)min=g(1)=-1,g(x)max=g(-1)=3, 所以g(x)∈[-1,3], 又y=2x在R上单调递增, 所以2-1≤f(x)≤23,即≤f(x)≤8.故选B. 12.D　f(x)的定义域为R,关于原点对称, f(-x)=3(-x)3+=-f(x), 所以f(x)是R上的奇函数, f(a2)+f(3a-4)>0,即f(a2)>-f(3a-4)=f(4-3a), 易知f(x)是R上的增函数,故a2>4-3a,即a2+3a-4>0,解得a>1或a<-4, 所以实数a的取值范围为(-∞,-4)∪(1,+∞), 故选D. 13.答案　 解析　g. 令t=x-[x],则t∈[0,1),则g(x)=f(t)=, ∵y=在R上单调递减, ∴≤,故g(x)的值域为. 14.解析　(1)∵f(x)的图象无限接近直线y=1但又不与该直线相交,∴n=1, 又∵f(x)的图象经过原点,∴f(0)=m+1=0,即m=-1, ∴f(x)=-+1. (2)由(1)得g(x)=+1,x∈[0,2], 令t=,则t∈, 即g(t)=t2-t+1=,t∈, 故当t=,即x=1时,g(x)取得最小值,为. 15.解析　(1)因为f(x)=ax的图象经过点(4,4), 所以a4=4,又a>0且a≠1,所以a=. (2)因为>1,所以f(x)=()x在R上单调递增, 又因为m2-2m-(-2)=(m-1)2+1>0, 所以m2-2m>-2,所以f(-2)<f(m2-2m). (3)当-3≤x≤3时,-4≤x-1≤2,则0≤|x-1|≤4, 所以()0≤()|x-1|≤()4, 即1≤()|x-1|≤4, 所以g(x)的值域为[1,4]. 能力提升练 1.B　函数f(x)的定义域为R,关于原点对称, 且f(-x)==f(x),所以函数f(x)是偶函数,排除A,D; 令f(x)=0,得x=0,且只有一个解,排除C,故选B. 2.ABC　当0<a<1时,函数y=xa在(0,+∞)上单调递增,y=ax在(0,+∞)上单调递减, 因此函数f(x)=xa-ax在(0,+∞)上单调递增, f(0)=-1,f(a)=0,函数图象为曲线,A可能; 当a=1时,f(x)=x-1,在(0,+∞)上的图象是不含端点(0,-1)的射线,B可能; 当a>1时,令a=2,则f(x)=x2-2x,有f(2)=f(4)=0,此时f(x)的图象与x轴有两个交点, 当x∈(0,+∞)时,随着x的无限增大,y=ax的增长速度比y=xa的增长速度大, 因此存在正数x0,当x>x0时,恒成立,即f(x)<0,C可能,D不可能.故选ABC. 3.C　由-x2+4x-3≥0解得1≤x≤3,即函数f(x)=的定义域为[1,3], 因为y=ax-a-x=ax-在其定义域上递减,所以0<a<1, 当x∈(1,2)时,y=单调递增,y=ax(0<a<1)单调递减,所以f(x)单调递减; 当x∈(2,3)时,y=单调递减,y=ax(0<a<1)单调递减,所以f(x)单调递增. 故选C. 4.A　令u=ax,a>1,则y=-u(u>0). u=ax在定义域内单调递增,y=-u在定义域内单调递减, 根据复合函数“同增异减”的单调性判断原则知f(x)单调递减, 因为f(-x)=ax-=-f(x),f(x)的定义域为R,关于原点对称,所以f(x)为奇函数. 因为f(2x2)+f(x-1)<0, 所以f(2x2)<-f(x-1)=f(1-x), 所以2x2>1-x,所以x∈(-∞,-1)∪. 故选A. 5.BC　y=|ax-1|的图象可由y=ax的图象向下平移1个单位长度,再将x轴下方的图象翻折到x轴上方得到,分a>1和0<a<1两种情况,如图所示: (a>1)　(0<a<1) 对于A,函数f(x)的图象恒过定点(0,0),故A错误; 对于B,函数f(x)的值域为[0,+∞),故B正确; 对于C,函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,故C正确; 对于D,由图象知,当直线y=2a与函数f(x)的图象有两个公共点时,0<2a<1,即0<a<,故D错误. 故选BC. 6.C　当x≥1时,f(x)=-1,函数t=x2+2x-2的图象开口向上,对称轴为直线x=-1,故函数t=x2+2x-2在[1,+∞)上单调递增,又y=2t在其定义域内单调递增,所以函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,故f(x)≥f(1)=1, f(x)在[1,+∞)上的值域为[1,+∞); 当x<1时,设函数f(x)的值域为A,因为函数f(x)的值域为R,所以(-∞,1)⊆A, 而当x<1时,f(x)=(2-a)x+3a,必有解得-≤a<2, 所以a的取值范围是.故选C. 7.D　①当0<a<1时,函数f(x)在[0,1]上单调递减,在(1,2]上也单调递减. ∵f(0)=a0=1>-1+a,∴f(x)的最大值为1, 而f(2)=-2+a<a=f(1),∴f(x)的最小值为-2+a, ∴1-(-2+a)=,解得a=,符合题意. ②当a>1时,函数f(x)在[0,1]上单调递增,在(1,2]上单调递减. ∵f(1)=a>-1+a,∴f(x)的最大值为a, 而f(2)=-2+a,f(0)=a0=1, 当a∈(1,3)时,-2+a<1,∴f(x)的最小值为-2+a,∴a-(-2+a)=,无解; 当a∈[3,+∞)时,-2+a≥1,∴f(x)的最小值为1,∴a-1=,解得a=,符合题意. 综上所述,实数a的值为或.故选D. 8.解析　(1)∵f(x)+g(x)=2x①, ∴f(-x)+g(-x)=2-x, ∵f(x)为定义在R上的奇函数,g(x)为定义在R上的偶函数, ∴-f(x)+g(x)=2-x②, 联立①②,得g(x)=(2x-2-x). f(x)在R上单调递增,证明如下: 任取x1,x2∈R,且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=, ∵x1<x2,∴>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), ∴f(x)在R上单调递增. (2)F(x)=g(2x)-af(x)-1=(2x-2-x)-1, 令t=2x-2-x,x∈[0,1],易知t单调递增,则t∈, 22x+2-2x=+2=t2+2, 令h(t)=,t∈, 当≤0,即a≤0时,h(t)在上单调递增,则h(t)min=h(0)=0; 当0<,即0<a<3时,h(t)在上单调递减,在上单调递增,则h(t)min=h; 当≥,即a≥3时,h(t)在上单调递减,则h(t)min=ha. 综上所述,当a≤0时,F(x)的最小值为0; 当0<a<3时,F(x)的最小值为-; 当a≥3时,F(x)的最小值为a. 16 学科网（北京）股份有限公司 $$