第2章 4_1 函数的奇偶性（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（北师大版2019）

第二章　函数 §4　函数的奇偶性与简单的幂函数 4.1　函数的奇偶性 基础过关练 题组一　奇偶性的概念及图象特征 1.(多选题)下列说法不正确的是(　　) A.偶函数的图象一定与y轴相交 B.若f(0)=0,则函数f(x)是奇函数 C.若f(-2)≠f(2),则函数f(x)不是偶函数 D.图象过原点的奇函数必是单调函数 2.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是(　　) 3.若函数f(x)(f(x)≠0)为奇函数,则必有(　　) A.f(x)f(-x)>0　　　B.f(x)f(-x)<0 C.f(x)<f(-x)　　　D.f(x)>f(-x) 4.已知偶函数f(x)的部分图象如图所示,且f(3)=0,则不等式xf(x)<0的解集为　　　　　　　.  题组二　奇偶性的判定 5.已知y=f(x),x∈(-a,a),F(x)=f(x)+f(-x),则F(x)(　　) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数,也是偶函数 D.既不是奇函数,也不是偶函数 6.(多选题)下列函数中,其图象关于y轴对称的是(　　) A.y=x+　　　B.y= C.y=　　　D.y=x- 7.(多选题)下列函数是偶函数且在(0,+∞)上单调递增的是(　　) A.y=x　　　B.y=x2 C.y=(x-1)2　　　D.y=|x| 8.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=; (2)f(x)=; (3)f(x)= 题组三　奇偶性的应用 9.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x+1,则f(1)+g(1)=(　　) A.3　　　　B.1　　　　C.-1　　　　D.-3 10.已知函数f(x)=ax2+a是定义在区间[2a,a2+1]上的偶函数,若g(x)=f(x-2),则g,g(3)的大小关系为(　　) A.g<g(3)　　　B.g>g(3) C.g　　　D.g(3)<g 11.(多选题)已知函数f(x)是定义在区间[-3,3]上的偶函数,且在区间[0,3]上是单调函数,f(3)<f(1),则(　　) A.f(-1)<f(-3)　　　B.f(0)>f(-1) C.f(-1)<f(1)　　　D.f(-1)>f(3) 12.设f(x)是定义在[-2,2]上的偶函数,当x≥0时,f(x)单调递增,若f(1-m)-f(m)<0,则实数m的取值范围是(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 13. 已知f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,f(-2 015)=0,则xf(x)>0的解集为(　　) A.(-∞,-2 015)∪(2 015,+∞)　　　 B.(-∞,-2 015)∪(0,2 015) C.(-2 015,0)∪(0,2 015)　　　 D.(-2 015,0)∪(2 015,+∞) 14.已知函数y=f(x)是定义在区间[-1,1]上的奇函数,且∀x1,x2∈[-1,1],当x1<x2时,总有f(x1)<f(x2),则不等式f(1-x)+f(1-3x)<0的解集为(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 15.若函数f(x)=(x+m+1)(x2-m)为奇函数,则m=　　　　.  16.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x. (1)现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,请补全函数f(x)的图象,并根据图象写出函数f(x)(x∈R)的单调递增区间; (2)直接写出函数f(x)(x∈R)的值域; (3)求出函数f(x)(x∈R)的解析式. 17.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-x2+2x. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上是单调的,求实数a的取值范围. 能力提升练 题组一　奇偶性的判定 1.已知F(x)=(x3-2x)f(x),且f(x)是定义在R上的奇函数, f(x)不恒等于零,则F(x)(　　) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数,也是偶函数 D.既不是奇函数,也不是偶函数 2.下列函数是偶函数的是(　　) A.f(x)=x3-　　　 B.f(x)= C.f(x)=(x-1)·　　　 D.f(x)=|2x+5|+|2x-5| 3.函数f(x)=的图象大致是(　　) A　　　B C　　　D 4.已知定义在R上的函数f(x)满足对任意x1,x2∈R,有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1,则(　　) A.f(x)是偶函数　　　B.f(x)是奇函数 C.f(x)-1是偶函数　　　D.f(x)-1是奇函数 题组二　函数奇偶性的综合应用 5.定义在R上的偶函数f(x)满足对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有 <0且f(3)=0,则不等式(2x-3)f(x)>0的解集是(　　) A. B.∪(3,+∞) C.(-∞,-3)∪ D.(-∞,3)∪(3,+∞) 6.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且函数f(x+1)的图象关于原点对称,若f(0)=1,则f(-1)+f(2)=(　　) A.0　　　　B.-1　　　　C.1　　　　D.2 7.已知函数f(x+2)是偶函数,当x1,x2∈[2,+∞)(x1≠x2)时,[f(x1)-f(x2)](x1-x2)<0恒成立,设a=f(1),b=f ,c=f ,则a,b,c的大小关系为(　　) A.c<b<a　　　B.b<a<c　　　　 C.c<a<b　　　D.a<b<c 8.函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,若对任意x∈[0,t-1],均有f(x-t)≥f(2x),则实数t的最大值是(　　) A.　　　　B.2　　　　C.　　　　D.3 9.已知函数f(x)=g(x)=xf(x),若g(2m)<g(1-m),则m的取值范围是(　　) A.　　　　 B. C.(-∞,-1)∪ D. 10.已知函数f(x)为奇函数,当x≥0时,f(x)=x3++m-2,则f(f(-1))=　　　　.  11.已知函数f(x)=. (1)证明:f(x)为偶函数; (2)用定义证明:f(x)在(1,+∞)上单调递减; (3)当x∈[-4,-2]时,求f(x)的值域. 12.已知函数f(x)=是定义在R上的奇函数. (1)求f(x)的解析式; (2)证明:f(x)在[1,+∞)上单调递减; (3)求不等式f(1+2x2)+f(2x-x2-9)>0的解集. 13.已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,f(x)<0,且f(1)=-2. (1)求f(0)的值,并判断f(x)的奇偶性; (2)判断f(x)的单调性,求f(x)在区间[-3,3]上的最大值; (3)若f(x)<m2-2am+2对任意x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围. 答案与分层梯度式解析 第二章　函数 §4　函数的奇偶性与简单的幂函数 4.1　函数的奇偶性 基础过关练 1.ABD　A项,若定义域不包含0,则图象与y轴不相交;B项,令f(x)=x2,此时满足f(0)=0,但f(x)不是奇函数;易知C项中说法正确;D项,图象过原点的奇函数不一定是单调函数.故选ABD. 2.B　奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,观察选项知B中图象关于y轴对称,是偶函数,故选B. 3.B　∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x), 又f(x)≠0,∴f(x)f(-x)=-[f(x)]2<0. 4.答案　(-∞,-3)∪(0,3) 解析　补全f(x)的图象如图所示. 当x>0时,要使xf(x)<0,则f(x)<0,所以0<x<3, 当x<0时,要使xf(x)<0,则f(x)>0,所以x<-3, 所以xf(x)<0的解集为{x|x<-3或0<x<3}. 5.B　∵F(x)的定义域为(-a,a),关于原点对称,且F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x),∴F(x)是偶函数. 6.BC　函数图象关于y轴对称,即函数为偶函数,通过分析选项知A、D为奇函数,B、C为偶函数,故选BC. 7.BD　对于A,y=x为奇函数,不符合题意; 对于B,y=x2为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,符合题意; 对于C,y=(x-1)2的图象关于直线x=1对称,所以该函数不是偶函数,不符合题意; 对于D,y=|x|为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,符合题意. 故选BD. 8.解析　(1)依题意得x2-1≥0,且1-x2≥0,即x=±1, 因此函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,且f(x)=0. ∵f(-x)=-f(x), f(-x)=f(x), ∴f(x)既是奇函数,也是偶函数. (2)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称, ∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. (3)易得函数f(x)的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.任取x∈D, 当x>0时,-x<0,∴f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x); 当x<0时,-x>0,∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数. 9.C　由题意得f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),则f(1)+g(1)=f(-1)-g(-1)=(-1)3-1+1=-1. 故选C. 10.B　由题意得,2a+a2+1=(a+1)2=0,所以a=-1, 所以f(x)=-x2-1,所以g(x)=-(x-2)2-1, 易得函数g(x)的图象开口向下,对称轴为直线x=2, 因为<|3-2|, 所以g>g(3).故选B. 11.BD　因为函数f(x)在区间[0,3]上是单调函数,3>1,且f(3)<f(1), 所以函数f(x)在区间[0,3]上单调递减. 由偶函数的性质,知函数f(x)在区间[-3,0]上单调递增. 对于A,-3<-1<0,故f(-3)<f(-1),故A错误; 对于B,0>-1,故f(0)>f(-1),故B正确; 对于C,f(-1)=f(1),故C错误; 对于D,f(3)=f(-3)<f(-1),故D正确. 故选BD. 12.D　因为f(x)是定义在[-2,2]上的偶函数,且当x≥0时,f(x)单调递增, 所以由f(1-m)<f(m)可得 解得<m≤2, 所以实数m的取值范围是.故选D. 13.A　由f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,可得f(x)在(-∞,0)上单调递增,f(0)=0,f(2 015)=-f(-2 015)=0,画出f(x)的大致图象如图所示, xf(x)>0等价于或 解得x>2 015或x<-2 015, 所以不等式xf(x)>0的解集为(-∞,-2 015)∪(2 015,+∞).故选A. 14.D　由题意得f(x)在区间[-1,1]上单调递增, 不等式f(1-x)+f(1-3x)<0,即f(1-x)<-f(1-3x), 因为函数y=f(x)是定义在区间[-1,1]上的奇函数,所以f(-x)=-f(x), 所以f(1-x)<f(3x-1), 则解得<x≤, 故原不等式的解集为. 故选D. 15.答案　-1 解析　函数f(x)=(x+m+1)(x2-m)的定义域为R, 由f(x)是奇函数,得f(-x)+f(x)=0, 即(-x+m+1)(x2-m)+(x+m+1)(x2-m)=0, 即2(m+1)(x2-m)=0, 而x2-m不恒为0,则m+1=0,解得m=-1. 16.解析　(1)根据偶函数的图象关于y轴对称,作出函数在R上的图象,如图. 结合图象可得f(x)的单调递增区间为(-1,0),(1,+∞). (2)f(x)的值域为[-1,+∞). (3)当x>0时,-x<0,因为当x≤0时,f(x)=x2+2x, 所以f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x. 因为f(x)为偶函数,所以f(x)=x2-2x, 所以f(x)= 17.解析　(1)设x<0,则-x>0, 则f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x, 又函数f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x), 所以x<0时, f(x)=x2+2x. 当x=0时,满足f(x)=-x2+2x, 所以f(x)= (2)根据(1)作出函数f(x)的图象,如图所示: 结合函数f(x)的图象,知所以1<a≤3, 故实数a的取值范围是(1,3]. 能力提升练 1.B　依题意得F(x)的定义域为R,且F(-x)=(-x3+2x)f(-x)=(x3-2x)f(x)=F(x),所以F(x)是偶函数,故选B. 2.D　选项A, f(x)=x3-(x≠0),定义域关于原点对称, f(-x)=-x3+=-f(x),所以f(x)是奇函数; 选项B, f(x)=(-1≤x≤1,且x≠0),定义域关于原点对称, f(-x)==-f(x),所以f(x)是奇函数; 选项C, f(x)=(x-1)·(-1≤x<1),定义域不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数,也不是偶函数; 选项D, f(x)=|2x+5|+|2x-5|(x∈R),定义域关于原点对称, f(-x)=|-2x+5|+|-2x-5|=|2x+5|+|2x-5|=f(x),所以f(x)是偶函数.故选D. 3.B　函数f(x)=的定义域为R,关于原点对称, 由f(-x)=-=-f(x),可得f(x)为奇函数,则函数f(x)的图象关于原点对称,可排除选项C; 当x>0时, f(x)>0,可排除选项A、D.故选B. 解题模板　已知函数解析式判断函数图象,一般先判断函数的奇偶性,再判断函数值的符号,必要时还可用特殊值判断. 4.D　解法一:令x1=x2=0,则有f(0)=2f(0)-1,解得f(0)=1;令x1=-x,x2=x,则有f(0)=f(x)+f(-x)-1,整理可得f(x)+f(-x)=2,因此函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数,A,B错误;对于f(x)+f(-x)=2,变形可得[f(x)-1]+[f(-x)-1]=0,因此函数f(x)-1是奇函数,故C错误,D正确. 解法二:设F(x)=f(x)-1,由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1,可得f(x1+x2)-1=f(x1)-1+f(x2)-1,则F(x1+x2)=F(x1)+F(x2).令x1=x2=0,得F(0)=0;令x1=x,x2=-x,得F(0)=F(x)+F(-x)=0,所以F(x)=f(x)-1是奇函数,故选D. 5.C　由题意得f(x)在[0,+∞)上单调递减, 因为f(x)是偶函数,所以f(x)在(-∞,0)上单调递增,又f(3)=0,所以f(-3)=f(3)=0. 作出函数f(x)的大致图象如图所示, 所以当x<-3或x>3时,f(x)<0,当-3<x<3时,f(x)>0, 不等式(2x-3)f(x)>0等价于或 即或解得<x<3或x<-3, 故不等式(2x-3)f(x)>0的解集为(-∞,-3)∪.故选C. 6.B　由f(x)是定义在R上的偶函数,知f(-x)=f(x), 因为f(x+1)的图象关于原点对称,所以f(x)的图象关于点(1,0)对称,即-f(x)=f(2-x), 令x=1,则-f(1)=f(1),即f(-1)=f(1)=0, 令x=2,则f(2)=-f(0)=-1, 所以f(-1)+f(2)=0-1=-1.故选B. 7.C　∵当x1,x2∈[2,+∞)(x1≠x2)时,[f(x1)-f(x2)]·(x1-x2)<0恒成立,∴f(x)在[2,+∞)上单调递减, ∵f(x+2)是偶函数,即f(2+x)=f(2-x),∴f(x)的图象关于直线x=2对称, ∴a=f(1)=f(3),c=f, 又f(x)在[2,+∞)上单调递减, ∴f,即f, ∴b>a>c,故选C. 8.A　因为区间[0,t-1]有意义,所以t-1>0,即t>1, 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,f(x-t)≥f(2x),所以|x-t|≥|2x|, 两边平方并化简得3x2+2tx-t2≤0, 设g(x)=3x2+2tx-t2,其图象的对称轴为直线x=-,因为-<0,所以g(x)=3x2+2tx-t2在[0,t-1]上单调递增, 则g(x)max=g(t-1)=4t2-8t+3≤0,解得≤t≤, 又因为t>1,所以1<t≤,所以t的最大值为. 故选A. 9.D　易知f(x)的定义域为R. 若x>0,则-x<0, f(-x)=-2x-x2=-(2x+x2)=-f(x),若x<0,则-x>0, f(-x)=x2-2x=-f(x), 又f(0)=0,∴f(x)是奇函数, 由g(x)=xf(x)得g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x), ∴g(x)是定义在R上的偶函数, 易得g(x)=当x≥0时,g(x)=x3+2x2, ∵y=x3在[0,+∞)上单调递增,y=2x2在[0,+∞)上单调递增, ∴g(x)在[0,+∞)上单调递增, ∵g(2m)<g(1-m),∴g(|2m|)<g(|1-m|), 因此|2m|<|1-m|,即4m2<(1-m)2,解得-1<m<, 故实数m的取值范围为,故选D. 10.答案　-8- 解析　∵函数f(x)为奇函数,且在x=0处有意义, ∴f(0)=m-2=0, ∴当x≥0时,f(x)=x3+, ∴f(-1)=-f(1)=-(13+)=-2, ∴f(f(-1))=f(-2)=-f(2)=-(23+. 温馨提示　对于奇函数f(x)的求值问题,要注意当f(x)在x=0处有意义时,f(0)=0这一隐含条件的应用. 11.解析　(1)证明:易得函数f(x)的定义域是{x|x∈R,且x≠±1},关于原点对称. 任取x∈{x|x∈R,且x≠±1}, 都有f(-x)==f(x), ∴f(x)为偶函数. (2)证明:当x>1时, f(x)=, 任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=, ∵1<x1<x2,∴x1-1>0,x2-1>0,x2-x1>0, ∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), ∴f(x)在(1,+∞)上单调递减. (3)由(1)(2)知函数f(x)在[-4,-2]上单调递增, ∴f(x)min=f(-4)=, f(x)max=f(-2)==1, ∴f(x)的值域为. 12.解析　(1)∵函数f(x)为定义在R上的奇函数, ∴f(0)=0,f(-1)=-f(1), ∴b+2=0,, ∴b=-2,a=3.∴f(x)=. (2)证明:任取x1,x2∈[1,+∞),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)= =, ∵x1-x2<0,1+>0,1-x1x2<0, ∴f(x1)-f(x2)>0,∴f(x)在[1,+∞)上单调递减. (3)由f(1+2x2)+f(2x-x2-9)>0,得f(1+2x2)>-f(2x-x2-9). ∵函数f(x)为奇函数, ∴f(1+2x2)>f(x2-2x+9), 又∵1+2x2≥1,x2-2x+9=(x-1)2+8>1,且f(x)在[1,+∞)上单调递减, ∴1+2x2<x2-2x+9,即x2+2x-8<0,解得-4<x<2. ∴原不等式的解集为{x|-4<x<2}. 13.解析　(1)令x=y=0,则f(0+0)=2f(0),所以f(0)=0. 令y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0, 所以f(x)=-f(-x)对任意x∈R恒成立, 所以f(x)为奇函数. (2)任取x1,x2∈R,且x1<x2,则x2-x1>0, 则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,所以f(x2)<f(x1), 所以f(x)在R上为减函数. 当x∈[-3,3]时,f(x)单调递减, 所以f(x)max=f(-3), 因为f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=3×(-2)=-6,且f(x)为奇函数, 所以f(-3)=-f(3)=6, 故f(x)在区间[-3,3]上的最大值为6. (3)由(2)知f(x)在区间[-1,1]上单调递减, 所以f(x)≤f(-1)=-f(1)=2, 因为f(x)<m2-2am+2对任意x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立, 所以m2-2am>0对任意a∈[-1,1]恒成立, 令g(a)=-2am+m2,则即 解得m>2或m<-2. 故实数m的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞). 2 学科网（北京）股份有限公司 $$