第2章 2.2函数的表示法（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（北师大版2019）

第二章　函数 §1　生活中的变量关系　§2　函数 2.2　函数的表示法 基础过关练 题组一　函数的表示方法 1.观察下表: x -3 -2 -1 1 2 3 f(x) 5 1 -1 -3 3 5 g(x) 1 4 2 3 -2 -4 则f(f(-1)-g(3))=(　　) A.-1　　　　B.-3　　　　C.3　　　　D.5 2.如图,四边形OABC为直角梯形,AB∥OC,BC⊥OC,AB=1,OC=BC=2,记梯形OABC位于直线l:x=t(0<t≤2)左侧的图形的面积为f(t),则函数y=f(t)的图象大致为(　　) A　　　B　　　　 C　　　D 3.如图,某灌溉渠的横断面是等腰梯形,底宽为2,渠深为1.8,斜坡的倾斜角为45°.(无水状态不考虑) (1)试将横断面中水的面积A(h)表示成水深h的函数; (2)确定函数A(h)的定义域和值域. 题组二　函数解析式的求法 4.已知函数f(x-1)=x2-1,则f(x)=(　　) A.x2　　　B.x2+2x C.x2-2x　　　D.x2-2x+2 5.已知函数g(-6,则g(x)的最小值是(　　) A.-6　　　　B.-8　　　　C.-9　　　　D.-10 6.已知f(2x+1)=3x-2,且f(a)=4,则a=(　　) A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5 7.已知函数f(x)满足2f=1+x,其中x∈R且x≠0,则函数f(x)的解析式为　　　　　　　.  8.已知函数f(x)=x2+2x-1,g(x)为一次函数,若g(f(x))=2x2+4x+3,则g(x)=　　　　.  9.已知函数f(x)满足af(x)+f(-x)=bx,其中a≠±1,求函数f(x)的解析式. 题组三　分段函数及其应用 10.已知f(m)=其中[m]表示不超过m的最大整数,则f(5.2)=　　(　　) A.3.71　　　　B.4.24　　　　C.4.77　　　　D.7.95 11.已知f(x)=若f(x)=3,则x的值是(　　) A.1　　　B.1或 C.1,或±　　　D. 12.函数f(x)=x+的图象是(　　) A　　　　B C　　　D 13.具有性质f=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数:①f(x)=x-;②f(x)=x+;③f(x)=满足“倒负”变换的函数是(　　) A.①②　　　B.①③　　　　 C.②③　　　D.① 14.(多选题)已知函数f(x)的图象由如图所示的两条线段组成,则(　　) A.f(f(1))=3 B.f(2)=f(0) C.f(x)=-x+1+2|x-1|,x∈[0,4] D.∃a>0,不等式f(x)≤a的解集为 15.已知函数f(x)= (1)画出函数f(x)的图象; (2)当f(x)≥2时,求实数x的取值范围. 能力提升练 题组一　函数的表示方法及应用 1.已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是{1,2,3},其对应关系如表: x 1 2 3 f(x) 2 1 3 　 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 则方程g(f(x))=x+1的解组成的集合为(　　) A.{1}　　　B.{2}　　　　 C.{1,2}　　　D.{1,2,3} 2.如图,点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动,M是CD的中点,则当P沿A→B→C→M运动时,关于点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y=f(x)的图象大致是(　　) 题组二　函数解析式的求法 3.定义在R上的函数f(x)满足f(x-1)=2f(x),当0<x≤1时,f(x)=x(x+1),则当1<x≤2时,f(x)=(　　) A.x(x-1)　　　B.x(1-x) C.　　　D. 4.(多选题)已知f(2x+1)=x2,则下列结论正确的是　　(　　) A.f(-3)=4　　　B.f(x)= C.f(x)=x2　　　D.f(3)=9 5.已知函数f(x)的定义域和值域都为R,且f(0)=1,若对任意x,y∈R,都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,则f(2 021)=(　　) A.0　　　　B.1　　　　C.2 022　　　　D.2 021 6.已知一元二次函数f(x)满足f(x+1)=f(x)-4x+2. (1)若f(0)=1,求f(3)的值; (2)若f(2)<2,证明:f(x)<4. 7.(1)已知函数f(x-3)=x2-4x+6,求f(x)的解析式; (2)已知f(x)+2f=3x-2,求f(x)的解析式. 题组三　分段函数及其应用 8.已知函数f(x)=则方程x2-f(x-1)=1的解的集合为　　(　　) A.{-2,0}　　　B.{-2,1} C.{-2,0,1}　　　D.{0,1} 9.函数f(x)=的值域是(　　) A.[-1,3]　　　B.[-1,4]　　　　 C.[-2,4]　　　D.[-2,2] 10.已知函数f(x)=则使得f(x)≥1成立的x的取值范围为(　　) A.[-1,1]　　　B.(-1,1) C.(-1,+∞)　　　D.[-1,+∞) 11.已知函数f(x)=若f(f(x))=2,则x的取值范围是　　　　.  12.若函数f(x)=的值域为R,则实数a的取值范围是　　　　.  13.如图,等腰梯形ABCD中,∠B=∠C=45°,底边BC的长为7 cm,腰长为2 cm,当一条垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线l把梯形分成两部分,设BF=x cm(0<x<7),左边部分的面积为y cm2,试写出y与x的函数解析式. 14.某一时期,一种疫情使全球海运受到极大影响,为此各相关企业在积极拓展市场的同时,也积极进行企业内部细化管理,某集装箱码头在货物装卸上进行大力改进,改进后单次装箱的成本C(单位:万元)与货物量x(单位:吨)满足函数关系式C=3+x,单次装箱的收入S(单位:万元)与货物量x的函数关系式为S=已知单次装箱的利润L(单位:万元)满足L=S-C,且当x=2时,L=3. (1)求k的值; (2)当单次装箱货物量为多少吨时,单次装箱的利润最大?最大为多少? 答案与分层梯度式解析 第二章　函数 §1　生活中的变量关系　§2　函数 2.2　函数的表示法 基础过关练 1.D　由题表得f(-1)=-1,g(3)=-4,f(3)=5, ∴f(f(-1)-g(3))=f(-1-(-4))=f(3)=5, 故选D. 2.C　易得OA所在的直线方程为y=2x, 当0<t≤1时,梯形OABC位于直线l:x=t左侧的图形是直角三角形,两直角边长分别为t,2t,则f(t)=×t×2t=t2;当1<t≤2时,梯形OABC位于直线l:x=t左侧的图形是直角梯形,其上底为t-1,下底为t,高为2,则f(t)==2t-1. 所以f(t)=由一次函数和二次函数的性质和图象可知,函数y=f(t)的图象大致为选项C.故选C. 3.解析　(1)依题意灌溉渠中水的横断面是等腰梯形,其下底为2,上底为2+2h,高为h,所以A(h)=·h=h2+2h(0<h≤1.8). (2)由(1)知,函数A(h)=h2+2h的定义域是(0,1.8], 显然A(h)=(h+1)2-1在(0,1.8]上随h的增大而增大,又当h=0时,h2+2h=0,当h=1.8时,h2+2h=6.84,所以函数A(h)的值域为(0,6.84]. 4.B　解法一:∵f(x-1)=x2-1=(x-1)2+2(x-1), ∴f(x)=x2+2x. 解法二:令t=x-1,则x=t+1, ∵f(x-1)=x2-1, ∴f(t)=(t+1)2-1=t2+2t, 则f(x)的解析式是f(x)=x2+2x. 5.A　∵g(+2)2-10,∴g(x)=x2-10(x≥2),∴g(x)min=g(2)=-6. 6.D　令t=2x+1,则x=, 所以f(t)=3×, 所以函数f(x)的解析式为f(x)=, 所以f(a)==4,解得a=5. 故选D. 7.答案　f(x)=(x≠1) 解析　2f=1+x①, 用-x替换x,可得2f=1-x②, 由①②可得f-x, 令t=,则t≠1,x=,所以f(t)=, 所以f(x)=(x≠1). 8.答案　2x+5 解析　因为g(x)为一次函数,所以可设g(x)=kx+b(k≠0),则g(f(x))=k(x2+2x-1)+b=kx2+2kx+b-k=2x2+4x+3, 则解得所以g(x)=2x+5. 9.解析　在原式中以-x替换x,得af(-x)+f(x)=-bx, 所以消去f(-x),得f(x)=. 10.C　f(5.2)=1.06×(0.5×[5.2]+2)=1.06×(2.5+2)=4.77.故选C. 11.D　当x≤-1时,令x+2=3,得x=1,舍去; 当-1<x<2时,令x2=3,得x=-(舍去)或x=; 当x≥2时,令2x=3,得x=,舍去. 综上,x的值为.故选D. 12.C　函数f(x)=x+作出函数图象,如图,故选C. 13.B　对于①,f=-f(x),满足“倒负”变换. 对于②,f=f(x)≠-f(x),不满足“倒负”变换. 对于③,当0<x<1时,f=-x=-f(x); 当x=1时,f=0=-f(x);当x>1时,f=-f(x),满足“倒负”变换. 故选B. 14.AC　由题图得,f(x)= f(1)=0,f(0)=3, ∴f(f(1))=f(0)=3,故A正确; f(2)=2-1=1≠f(0),故B错误; 对于C,当0≤x≤1时,f(x)=-x+1-2x+2=-3x+3,当1<x≤4时,f(x)=-x+1+2x-2=x-1,故C正确; 由题图可知,若不等式f(x)≤a的解集为,则-3×+3=m-1,解得m=,故D错误. 故选AC. 15.解析　(1)函数f(x)的图象如图所示. (2)当x≤0时,由x2=2得x=-舍去), 当x>0时,由4-2x=2得x=1, 结合图象知,当f(x)≥2时,x≤-或0<x≤1, 所以实数x的取值范围为(-∞,-]∪(0,1]. 能力提升练 1.C　当x=1时,g(f(1))=g(2)=2=1+1, ∴x=1是方程的解; 当x=2时,g(f(2))=g(1)=3=2+1, ∴x=2是方程的解; 当x=3时,g(f(3))=g(3)=1≠3+1, ∴x=3不是方程的解. ∴方程的解组成的集合为{1,2}. 2.A　当P在AB(不包括点A,包括点B)上时,S△APM=·BC·AP=,0<x≤1; 当P在BC(不包括点B,包括点C)上时,S△APM=1-S△ADM-S△PCM-S△ABP=,1<x≤2; 当P在CM(不包括点C,M)上时,S△APM=.结合选项知A正确. 3.C　当1<x≤2时,0<x-1≤1, 所以f(x)=. 故选C. 4.AB　令t=2x+1,则x=, 因为f(2x+1)=x2,所以f(t)=, 则f(x)=,故B正确,C错误; f(-3)==4,故A正确; f(3)==1,故D错误. 故选AB. 5.C　当x=0时,f(1)=f(0)f(y)-f(y)+2=2, 当y=0时,f(1)=f(x)f(0)-f(0)-x+2=2, 因此f(x)=x+1,所以f(2 021)=2 022. 6.解析　(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 因为f(x+1)=f(x)-4x+2, 所以a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+bx+c-4x+2, 即2ax+a+b=-4x+2, 所以解得故f(x)=-2x2+4x+c, 因为f(0)=1,所以c=1, 所以f(3)=-18+12+1=-5. (2)证明:由(1)得f(x)=-2x2+4x+c, 因为f(2)<2,所以-8+8+c<2,解得c<2, 又因为f(x)=-2x2+4x+c=-2(x-1)2+2+c≤2+c, 所以f(x)<4. 7.解析　(1)令t=x-3,则x=t+3. 因为f(x-3)=x2-4x+6, 所以f(t)=(t+3)2-4(t+3)+6=t2+2t+3, 故f(x)=x2+2x+3. (2)f(x)+2f=3x-2①, 将x用替换,可得2f(x)+f -2②, ①②联立,消去f,解得f(x)=(x≠0). 8.B　当x≥1时,f(x-1)=x-1,则x2-f(x-1)=1,即x2-x+1=1,解得x=1或x=0(舍去); 当x<1时,f(x-1)=1-x,则x2-f(x-1)=1,即x2+x-1=1,解得x=-2或x=1(舍去). 综上所述,x=1或x=-2.故选B. 9.C　当-3≤x≤0时,f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2, 则当x=-1时,f(x)min=-2,当x=-3时,f(x)max=4-2=2,则f(x)∈[-2,2]; 当0<x≤5时,f(x)=x-1∈(-1,4]. 综上所述,f(x)∈[-2,4].故选C. 10.D　当x≤1时,由f(x)≥1可得,-x2+2≥1,即x2≤1,所以-1≤x≤1; 当x>1时,由f(x)≥1可得,x+-1≥1, 即x2-2x+1=(x-1)2≥0,该式恒成立,所以x>1. 综上可得,使得f(x)≥1成立的x的取值范围为[-1,+∞).故选D. 11.答案　{2}∪[-1,1] 解析　设f(x)=t,则f(t)=2, 当t∈[-1,1]时,满足f(t)=2,此时-1≤f(x)≤1,无解;当t=2时,满足f(t)=2,此时f(x)=2,即-1≤x≤1或x=2.故答案为{2}∪[-1,1]. 12.答案　[-1,0] 解析　当x≥1时,f(x)=x+≥2=4,当且仅当x=2时等号成立. 当x<1时,f(x)=ax2+2x+3,若a=0,则f(x)=2x+3,其值域为(-∞,5),此时函数的值域为R,满足题意. 若a>0,则函数f(x)=ax2+2x+3的图象开口向上,不满足题意; 若a<0,函数f(x)=ax2+2x+3图象的对称轴为直线x=-, 当-≥1,即-1≤a<0时,f(x)<a+5,要使函数的值域为R,则a+5≥4,所以-1≤a<0; 当-<1,即a<-1时,f(x)≤f+3,要使函数的值域为R,则-+3≥4,解得-1≤a<0,舍去. 综上所述,当-1≤a≤0时,f(x)的值域为R. 13.解析　如图,分别过点A,D作AG⊥BC,DH⊥BC,垂足为G,H.因为四边形ABCD是等腰梯形,∠B=∠C=45°,AB=2 cm,所以BG=AG=DH=HC=2 cm,又BC=7 cm,所以AD=GH=3 cm. ①当点F在BG(不含点B)上,即x∈(0,2]时,y=S△BFE=x2; ②当点F在GH(不含点G)上,即x∈(2,5]时,y=2+(x-2)·2=2x-2; ③当点F在HC(不含点H,C)上,即x∈(5,7)时,y=-(x-7)2+10. 所以y与x的函数解析式为 y= 14.解析　(1)由题意可得L= 因为x=2时,L=3, 所以3=2×2++2,解得k=18. (2)由(1)可得当0<x<6时,L=2x++2, 所以L=2(x-8)++18≤-2+18=6,当且仅当2(8-x)=,即x=5时取等号. 当x≥6时,L=11-x≤5. 所以当x=5时,L取得最大值6. 所以单次装箱货物量为5吨时,单次装箱的利润最大,为6万元. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$